Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 98
Текст из файла (страница 98)
бенпости в распределении напряжений такого же вида, как и в зада- "Й чах 1 и 11. Очевидно, что при наличии массовых сил, подобных силе тяжести или системе сил инерции, при решении соответствующей динамической задачи теории упругости получится Рнс. 177. Крнволкнейная распределение напряжений, для ко- щель. торого вблизи концов щели будут иметь место асимптотические формулы с й~ и кп вообще не равными нулю. В динамических задачах )сь и ап зависят от переменных во времени внешних заданных поверхностных и массовых сил и от поля сил инерции. Учет тепловых эффектов в общем случае не изменяет поведения напряжений вблизи концов щели. Мы рассмотрели случай прямолинейной щели.
В общем случае щели могут быть криволинейными (рис. 177). Можно показать, что в случае плоской деформации для криволинейных щелеи асимптотические формулы для компонент тензора напряжений и вектора перемещений (2.11), (2.18), (2.12), (2.19) сохраняют свой вид в локальной системе координат г, д, указанной па рис. 177, где угол д отсчитывается от направления касательной к щели в ее конце. Для примера рассмотрим решения иекотоосестороннее Растяжения~ рых простейших задач.
плоскостн с прямолннейной щелью Пусть плоскость, ослабленная прямо- линейной щелью длины 2а, берега которой свободны от внешних напряжений, испытывает всестороннее растяжение напряжениями рс — сопз1 на бесконечности. Решение этой задачи с помощью параметрической комплексной переменной ~ можно получить из решения рассмотренной выше задачи о всестороннем растяжении плоскости, ослабленной эллиптическим отверстием, когда величина Ь меньшей полуоси эллипса-выреза стремится к пулю. С помощью предыдущих формул решение можно также получить иепосредствеино в плоскости з. В самом деле, очевидно, решение задачи 5 в этом случае имеет вид Рм=рсс=рс Рьс= 9.
522 Гл. Х!. Плоские задачи я теория трещви Поэтому для получения искомого решения достаточно рассмотреть только задачу И, когда по берегам щели приложено постоянное симметричное нормальное давление р,. Полагая в формуле (2.9) Ы($) =- р, (р„= — р, при у = О, ~х~ ~ а), получим, например, с помощью теоремы о вычетах а Г )/ ' — 4* — а Решение соответствующей задачи 5 в этом случае имеет вид 7,(з) = р,. Следовательно, для поставленной выше задачи М (2,20) Компоненты тензора напряжений определяются по формулам (2.7) и (2.20). Коэффициент интенсивности напряжений в данном случае согласно (2 10) определяется формулой а Й~ = = ~ у — Ы$ = — т И$ = Ра )/яа. (2,21) ро г /а+с ро Г а+с 3/па а ~ ч 3/па ° т' а' — Са -а — а Вид формулы для /гг непосредственно вытекает из теории размерностей.
В самом деле, в постановке задачи об определении напряжений для бесконечной плоскости фигурируют только две размерные постоянные р, и а (модуль Юнга согласно теореме М. Леви, см. стр. 494, несуществен). Так как размерность постоянной /гг совпадает с размерностью ра)/а, то ясно, что аг = сра1/а, где с — безразмерная постоянная. Из (2.21) следует, что с = )/я. Рассмотрим теперь упругую плоскость с Одяоосное растяжение прямолинейной щелью )х! ( а, я' = О, плоскости с прямолввей- берега которой свободны от напряжений, пой щелью в том случае, когда в бесконечности под углом Оа к оси х действуют постоянные растягивающие напряжения р, (рис. 178). Решение этой задачи с помощью параметрической комплексной переменной Ь можно получить из 1триведенного выше решения аналогичной задачи для плоскости с эллиптическим отверстием при Ь -а- 0(т — ь 1).
Решение этой же задачи непосредственно в плоскости г можно получить с помощью изложенного выше метода. $2. Концентрация иапряженвй 523 Вычислим коэффициенты интенсивности напряжений в этом случае. Для этого заметим, что при решении соответствующей задачи Ф получается, что на оси х действуют постоянные Рис. 178. Плоскость, ослабленная щелью ) с ( ~ а, у = О, поддействием растягивающнх усилий рс нод углом Ос к оси ю напряжения рж =. р, соз О, з1п О„р„=- рс з(псбс. Поэтому со гласно (2.10) и (2.17), аналогично (2.21), будем иметь )гг=.
р, у'япз1птй„йн= р, у'япз1пО,созО,. (2.22) Плоскость со щелью Рассмотрим еще задачу, когда на упрупод действием раекливи- 7ую плоскость со щелью (х( ~ а, у = 0 вжспп'х согревах~тонных действуют только две сосредоточенные сил, приложенных в середине ее берегов силы величины Р, приложенные к середине берегов щели так, как показано на рнс. 179. Полагая в (2.9) дД) =- Рб(0), где б(0) — дельта-функция, по определению дельта-функции ! будем иметь 27 (з) = ' .
(2.23) При атом из (2.10) получим, что (2.24) Р Аг ь~ Йа Если, кроме сосредоточен- рис. 778. П(ель под действием раси клинивающих сосредоточенных сил, ных расклинивающих сил, приложенных в середине ее берегов. приложенных в серединах сторон щели, упругая плоскость находится под действием всестороннего сжатия с напряжением ре = сопзь в бесконечности, Гл. Х1. Плоские задачи и теория трожии то функция 21 будет равна разности 1функций Яг, определенных формулами (2.23) и (2.20), Ро Роо (2. 25) (2.
24) и Коэффициент интенсивности напряжений согласно (2.21) будет представляться формулой р йг — = — Ро у по (2.28) Две пелуплескости, прижатые друг к другу папражеиием рои разъе- диияеиые двумя сосредо- точеивыми силами Р а=— Роя (2.27) Если бы на границе соприкосновения полуплоскостей имелись силы сцепления (например, за счет их склейки), то вблизи концов зазора была бы возможной концентрация напряжений и йг+ О. Рассмотрим теперь плоскую задачу, в которой две упругие полуплоскости с абсолютно гладкими границами, соприкасающиеся вдоль оси х, прижимаются друг к другу напряжением р, ортогональным оси х на бесконечности, и разъединяются двумя сосредоточенными силами Р, приложенными к каждой из полу- плоскостей в некоторой гд, сновения (рис.
180). ТреР между полуплоскостями при условии, чтона границе соприкосновения полу- плоскостей полностью отсутствуют силысцепления. Коэффициент интенсив- ности напряжений Ь| в Рис. 180. Две полуплескости, прижп- этом случае, очевидно, рамаомыо друг к другу иапряжепием Ро вен разности козффициенпа боскоиечиости и Разъедипяемые со- тов, определяемых фор- (2 24) (2 22) О, =-- и/2. Концентрация напряжений вблизи концов зазора, если силы сцепления между полуплоскостями полностью отсутствуют, возникнуть не может. Поэтому йг = О, и из (2.26) получается, что 525 2. Концентрация ивпряжеппй Постановка задачи о давлении жесткого штампа ва упругую повупяоскость .
На площадке контакта между полуплоскостью и штампом могут быть поставлены различные граничные условия. Рассмотрим некоторые из них. Наиболее простой случай имеет место Рве. $51. Жестквй штамп постоянной шпрвпм 2а, вдавлвваемый в упругую полуплоскость. тогда, когда поверхность штампа является абсолютно гладкой. В атом случае вертикальные перемещения упругой среды определяются углублением штампа как целого и профилем штампа. Следовательно„на участке контакта между штампом и полуплоскостью и =- У(х), роч = О, где через У(х) обозначены заданные вертикальные смещения профиля штампа, через и — вертикальные перемещения частиц УпРугой сРеды, а чеРез Рот — касательные напРЯжениЯ на площадках контакта упругой среды с поверхностью штампа.
В линейной теории упругости обычно рассматривают только малые У(х) и пологие п1тампы, позтому полагают рот — -- р,т(х, О). Граничные условие принимают вид и= У(х), рю —— О при )х)(а, у=О (2.28) и рте= рте=О при ~х()а, у=О.
Можно рассмотреть случай, когда поверхность произвольно нагруженного штампа жестко связана (спаяна) с частицами упругой полуплоскости. Тогда граничные условия записываются Представим себе упругую полуплоскость, в которую вдавливается абсолютно жесткое тело — штамп. Допустим сначала, что штамп контактирует с полуплоскостью по всей своей известной постоянной ширине 2а (рис.
18$). Сформулируем граничные условия. На свободной поверхности полуплоскости 526 Гл. Х1. Плоские задачи в теория трещин следующим образом: и =П(х), п= И(х)(РхэчЫО) пРи )х)(а, У=О, где 1)(х) и У(х) — горизонтальное и вертикальное смещения точек штампа. Воли в задаче о давлении штампа на упругую полуплоскость на площадке контакта между штампом и упругой средой имеются силы трения, то граничные условия принимают вид и = )' (х), р э ~ ~+ ) ( рээ ( при )х)(а, у= О, где ) — коэффициент трения. Ркс. 162. )Ксстквй штамп с эа- Еслиширннаучасткаконтаккруглснныыв краями. вдавлквас- та между поверхностью штампа ыый э упругую полуплоскость.
и упругой полуплоскостью за- ранее неизвестна (например, штамп имеет закругленные края (рис. 182)), то для определения границ поверхности контакта необходимы дополнительные условия. Нап)>имер, для гладкого штампа, на поверхности контакта которого с упругим телом полностью отсутствуют силы сцепления, принимается условие об отсутствии концентрации напряжений вблизи концов участка контакта. Это позволяет определить ширину участка контакта 21 так ясе, как ширину зазора в задаче, приведенной на рис. 180.
При наличии сил сцепления между материалом штампа н телом упрутого полупространства вблизи краев участка контакта возникнет концентрация напряжений '). Представим себе упругую плоскость с дву Аналогия между ээдачаык об Упругой плоскости ыя бесконечными разрезами вдоль оси х с прямолинейными щелямк (рис. 183, а). Пусть плоскость находится и давлеяпп пркмоуголь- под действием растягнвающих сил, привык штампов ка Упругу'о ложенных симметрично относительно оси х.
полуплоскость Из симметрии задачи следует, что нэ отрезке оси х, )х) ( а, о = О, р,э = О. В связи с этим очевидно, что если мысленно отбросить верхнюю полуплоскость, то действие ее на нижнюю полуплоскость можно заменить действием прямоугольного штампа с абсолютно гладкой границей, примыкающего к ниэкней полуплоскости ') Если имеет место концентрация напряжевнй, то пирнну участка контакта необходимо определять с помощью дополлятсльных данных о свой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
