Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Плоские аадачи теории упругости от свойств материала. Если поперечное сечение тела ограничено контуром С, вдоль которого отсчитывается дуга л (рис. 164), то граничные условия в напряжениях на С неясно, очевидно, переписать в виде Р,.п = Р,.„(г) = Р„соз (п, х) + Р„соз (и, У) = ЗП Лу ЗЧГ и а ~аи~ + = ~ )~ Зу2 лц схбу цх лх ~ Зу ! ~ Раз — — Рха (8) = Рм соз (И, х) + Реа соз (тб, Р) = даП Ну дхГГ Ых Н ~ дб' 1 Зхду хх дха ах х8 ( дх ~'' (4.29) Покаакем теперь, что функция Эри является однозначной функцией, если контур С ограничивает односвязную область и если система внешних поверхностных сил статически эквивалентна У Р нулю.
Действително, если главный вектор внешних поверхностных сил равен нулю, то, очевидно, р„,да=О н ~ р„,оз=О, так как зти интегралы представляют собой проекции на оси л и у главного вектора снл напряясений, действующих на участок боковой по- ркс. т64. Выбор аоложиверхности единичной высоты, Отсюда толевых вапразлеккй коро помощью (1.29) непосредственно кали и к контуру с попе- вытекает, что производные функ- ческого тела и обхода с. цин Эри дУ/дх и д(Оду при обходе контура сохраняют свои значения.
Используем также условие равенства нулю главного момента внешних поверхностных сил относительно оси г. Будем иметь О ~ (Р лУ Р ех) Нг ~ ~ х ( д ) У Г а ( д ) х1 сЬ с с г « ~зп ап ) р аи ап = т — ~ — у+ — л Йа — г — Иу+ — Их. Ла ~ ду дх ( ' ~ ду дх с с Отсюда, так как контур С замкнутый, а дУ/ду и дади однозначны, вытекает, что функция Эри У при обходе контура С сохраняет свое значение. Аналогичные результаты можно получить для случая многосвязных областей, когда граница тела состоит из нескольких замкнутых контуров.
Для многосвязных областей Гл. ХП Плоские задачи и теория трещин 492 Бигармоническое уравнение и граничные условия для функции Эри или доа(( доа(( до(( до(( — — + —,, =О, где АС(= —,, ч- —, дхо дуо дхо д уо Таким образом, функция Эри удовлетворяет уравнению ЛЛ(1 = — О. (1.30) Уравнение (1.30) называется бигармоническим. Таким образом, проблема интегрирования в плоской задаче теории упругости сводится к интегрированию бигармонического уравнения (1.30) прн соответствующих граничных условиях и условиях однозначности для функции Эри (1 (х, у).
Если на боковой поверхности заданы и„, то с помощью (1.29) легко получаются граничные условия, которым должна удовлетворять функция Эри (((х, у) на контуре С. Действительно, из (1.29) в результате интегрирования вдоль С определяются производные функции Эри по координатам х и у в любой точке С дн 'д((~ (1 д (дн' дх (дх,о ода дх — — = '1 — -~ — ~ л=- — '1р ~(з = — г (з), о ~ ' а (1 31) д(( (д(1~ Г Ы (д(1~ — — — — — ! ((з =- ~ р„г((з = Х(з), ду ( ду )о З Но ( ду 1 а о где л — длина дуги С, отсчитываемая от некоторой произвольной точки О, (дЮдх)а н (дС(ду)о — значения производных в точке О, Х (г) и х' (г) — компоненты главного вектора поверхностных снл, действующих на участок боковой поверхности тела, опирающийся на дугу контура С от О до л и имеющий единичный размер вдоль оси г.
В дальнейшем будем называть Х (г) и У (г) компонентами снл, действующих на участке контура С от О до л. очевидно, что при равновесии имеется однозначность функции Г( (х, у) при соответствующем обходе один раз всех контуров и, вообще говоря, не обязательна однозначность при обходе отдельных контуров. Установим теперь уравнение, которому должна удовлетворять функция Эри для упругих материалов, подчиняющихся закону Гука, Подставляя выражения (1.28) для компонент тензора напряжений через функцию Эри в уравнение совместности (1.12), получим до((,, дп( до(( — +2 о + — =0, дхо дходуа ' ду' Плоские зыдыоы теории упругоаги Зная производные дсс'сдх и дб7/ду в каждой точке С, можно вычислить производные С7 по касательной и нормали к С: ссСС дСс Ых дУ ду дсс дСС стх дСС Иу + сСо дх Ыо ду сСз ' Ны дх сСы ду ды ' и с помощью интегрирования можно определить значения са- мой функции Зри в любой точке контура С: с7 (г) — с7 (О) = ~ ~ — — + — — ') ссг = ( — ) (х, — х,) + с" с дсс Ух дсс сСу 'С с' дС' 'с ,)( дх Уо ду дс/ ( дх 7о о + ~ д, с (Уо — Уо) '~-~!Х(г) ссУ вЂ” с (г) ссх), (1.
12) дсс ) о где хо, уо и хо, у, — значенвя координат х, у, соответствующие точке О и лсобой точке г на контуре С. Заметим, что, как и следовало ожидать, усилия 77„, прилоясенные на контуре С, определяют значения функции Зри на С только с точностью до несущественной для распределения напряжений аддитивной линейной функции от х и у. Если контур С ограничивает одно- связную область, то коэффициенты этой линейной функции на единственном контуре С можно положить равными нулю. Еоли область, для которой ставится плоская задача, многосвязна, то эти коэффициенты можно считать равными нулю только на одном из контуров Сю а для других контуров их следует определять из условий однозначности перемещений с), Таким образом, если на контуре С' заданы векторы напрясссений 1э„, то решение плоской задачи может быть сведенокнахождению бигармонической функции с7 (х, у) в области, ограниченной С, по заданным на контуре С значениям самой этой функции и ее производной по нормали к контуру С.
Дадим физическое истолкование функ- Физичеекое иетолковэиие ции Зри. Для этого преобразуем интеграл, фуикц уикции Эри входящий в (1.32), следующим образом: о о ~ ( Х (г) ссу — У (г) сох) = ~ [ Х (г) с( (у — у ) — У (г) сс (х — х ) ] = о о =- (Х(г)(у-у.) -У(г)(х- х.и:— з — $ ((у — у,)аХ (г) — (х — х„)ссг' (г)), о но ссХ(г) = р„сссг, сс (г) = р„осЬ, а Х(0) = с' (О) = О.
с) См. ниже, стр. 497. 494 Гл. ХП Плоские задачи и теория трещиа Поэтому из (1.32) получим /до' з ди1 с' (з) — С(0) — ( — ) (л — хз) — ( —.) (у — ро) = (д ) ( дл,о = — ~ [рзг (у — у,) — р„, (х — л,) ) Иг, о т. е. значение функции Эри в произвольной точке з контура С с точностью до аддитивной линейной функции от х и у представляет собой главный момент внешних поверхностных сил, приложенных к участку контура С между некоторой начальной точкой О и рассматриваемой точкой з, вычисленный относительно этой последней точки. Из постановки задачи об определении теорема Мориса Пса" распределения напряжений при заданных нагрузках на границе поперечного сечения тела, когда функция Эри вполне определяется этими условиями (это имеет место, например, в том случае, когда область, ограниченная контуром С, односвязна), следует, что в рамках линейной теории упругости распределение напряжений не зависит от свойств материала, т.
е. от значений модуля Юнга и коэффициента Пуассона. Указанное важное свойство решений плоской задачи теории упругости составляет содержание теоремы М. Леви. Пользуясь зтим, можно заменять изучение напряжений, например, в металлических деталях изучением напряжений в моделях, изготовленных из прозрачных изотропных материалов, оптически чувствительных к возникающим в них деформациям. На этом основаны экспериментальные оптические методы исследования упругих тел. Очевидно, что соответствующие перемещения существенным образом зависят от характеристик упругих свойств материала. Остановимся теперь ка представлении Формула Гурса решения плоских задач теории упругости с помощью функций комплексного переменного.
Введем комплексные переменные: з = — х + тр, й =- х — ~у. При переходе от я, у к комплексным переменным зи гбигармоническое уравнение (1.30) преобразуется к виду (1.33) Следовательно, общее решение бигармонического уравнения моясно представить в виде П(з, з) = т~рт(з)+ л~рз(г) + т, (г) +)(з(й). (1.34) 1 1. Плоские аадачи теории упругости Для класса вещественных функций У (х, у) необходимо пологкить фа (2) = 1Р1 (2), Ка (2) К1 (2), где ф1 ~(2), К, (г) — функции, сопряженные с ф1 (г) и К, (г), т. е. получающиеся из них путем замены г на г и всех входящих в них постоянных комплексных коэффициентов на сопряженные с ними величины.
Опуская индекс 1, запишем вещественное решение бигармонического уравнения в форме Гуров У (х, у) =- гф(2) -1- гф(з) + К( ) + К(2). Проблема отыскания функции Зри и решение соответствующей плоской задачи сводятся к определению двух функций коашлексного переменного ф (2) и К (г), регулярных в области Ю, занятой упругим телом, и удовлетворяющих определенным граничным условиям. Для получения формул, выражающих Выражении компонент компоненты тензора напряжений через тенаоРа наприжений функции ф (г) и К (з), заметим, что и вектора перемещений чеРез функции иомплеиспо- дп дг1 дгг дгг 1 дгг дгг ! го переменного дл да + дв ' ду 1 да дй р и воспользуемся следующими распространенными в теории упругости обозначениями: ф' (2) = — „= Ф( ), К'(з) =- — = ф(з) дф ° лх К" (2) = 2Р'(г) = Ч" (2). Из (1.35) с помощью (1.28) непосредственно получим р„ = — ( — гФ'(з) — зги' (г) + 2 [Ф (г) -[- Ф (2)! — Ч'(з) — Ч"(2)), р„ = — [2Ф'(г) -г гФ'(г) + 2 [Ф (2) + Ф (2)! + Ч'(г) + Ч"(з)), р„ = — †' (гФ'(з) — зФ'(з) + Ч"(з) — Ч (2)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
