Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Наоборот, в рамках линейной теории упругости и сильно упрощенной схематизированной постановки задачи это обстоятельство является хорошим отражением действительности. Использование модели линейно упругого тела в атой задаче, так же как и широко используемые идеализации во многих других случаях 1абсолютно твердое тело, поверхности сильных разрывов, явление удара и т. д.), связано с некоторыми аффектами, которые в той или иной степени противоречат опыту. Важно, однако., чтобы такие противоречия не имели существенного значения для распределения искомых величин в основной части тела и для получения нужных выводов при решении поставленных задач ').
Рассмотрим теперь подробно характер напряженного и деформированного состояния вблизи концов щели, когда на бере- ~) См. Г. Н е й б е р, Концентрация вапряжеквй, ОГИЗ, 1947, стр. 193. ') Небесполезно подчеркнуть, что появление в расчетных данных схематвзнрозаввмх задач теории упругости большвхвлн даже бесковечвых напряжений ве обязательно приводит в действвтельвоств к общему нлн местному разрушеввю матеряала. з 2. Концентрация вапряженвй 515 гах щели действуют произвольные поверхностные силы с главным вектором н главным моментом, равными нулю.
Рааделепяе общей стати- Регпение статической задачи линейной теоческой задачи о напра- рин упругости об определении напряженжеяко-деформированном ного и деформированного состояний в непа частные задачи котором теле со щелшо под действием заданной системы внешних нагрузок, которую мы назовем задачей М, можно искать как сумму решений двух следующих статических задач: задачи Е об определении напряженного и деформированного состояний в сплошном теле без щели под действием заданной системы внешних нарузок за / // /// // Р/г 1Ф 4/2 + ~+~~ р/" Ряс. 173. Виры свмметркчнмх нагрузок яа злемватах протязопслежяых берегов щели: 1 — ясрмальяая симметричная нагрузка, П вЂ” касательная актискмметрвчяая нагрузка, 1П вЂ” нормальная автяскмметркчяая я 17 — касательная симметричная нагрузка. вычетом внепзних сил, действующих на бортах щели, л задачи Ж об определении напряженного и деформированного состояний в том же теле со щелью, когда только по берегам щели действуют внешние поверхностные силы.
Эти силы слагаются из внешних нагрузок, действующих по берегам щели в исходной задаче И, и из сил, равных по величине и противоположных по направлению силам напряжений, возникающих в местах берегов щели в задаче Е. Очевидно, что решение задачи й1 в точках, соответствующих концам щели, не будет иметь особенностей, поэтому характер особенностей в распределении напряжений в исходной задаче Ч будет совпадать с особенностями распределения напряжений в задаче 6.
Произвольную нагрузку, действующую на любом элементе берега щели, можно представить как сумму четырех типов симметричных нагрузок, изображенных на рис. 173, приложенных в соответствующих точках противоположных берегов щели. Таким образом, в случае прямолинейной щели ~х~ ( а, у = О решение указанной выше задачи 6 (для произвольного статически эквивалентного нулю распределения внешних нагрузок по берегам щели) можно представить как соответствующую сумму решений некоторых частных задач й для таких частных распределений нагрузок, в которых нормальные и касательные 17 ° Гл. Х1.
Плоские задачи и теория трещви поверхностные нагрузки в соответствующих точках противоположных берегов щели одинаковы по величине. При атом разбиении будут отличаться друг от друга тольдо четыре частные за- ау Рис. 174. Пример разбкевия конкретной задачи К на частные вкды задач о.. Щель в бескокечпой плоскости дачи И, И1, ИП, ИУ, в которых на соответствующих элементах противоположных берегов щели действуют нагрузки только одного из четырех типов, указанных на рис. 173. Очевидно, что в случае полной статически уравновешенной системы сил на щели в каждой из этих четырех задач также получится статически уравновешенная система сил. Пример такого разбиения для определенной задачи приведен на рис. 174.
Если в исходной задаче л щель была свободна от напряжений, то для решения соответствующей общей задачи ч. достаточно рассмотреть только два типа (1 и 11) частных задач и.. Для изучения особенности решения вблизи концов щели вместо тела-пластины конечных размеров со щелью рассмотрим бесконечную плоскость, ослабленную прямолинейной щелью (х( ( а, у = О, и предположим, что берега щели свободны от внешних напряжений. Для выяснения поведения напряжений в атом случае достаточно подробно рассмотреть только две задачи И и И?, в постановку которых в этом случае будет входить требование об отсутствии напряжений в бесконечности (при з =- оо рсч = О). Рассмотрим задачу И. Предположим, Щель под действием что на берегах щели (х( я а, у =- 0 дейпормальпой свпмотр™й ствует некоторая нормальная нагрузка, нагрузки симметрично распределенная относительно оси х (рис.
175). Граничные условия на берегах щели в данном случае имеют вид р?ю = реп = д(х), р~~> = р<т1= О при )л)(а, у = О, (2.6) где я(х) — известная конечная функция. 517 1 2. Ковцентрацнв напряжений Основываясь на том, что рж = О при )х( ч. а, у =- О, будем искать решение в предположении, что 1 1 апач Ф(з) = 2 Е1(з), Ч" (з) = 2 зЕ~(г), Ег =— где Е~ (г) — неизвестная функция. Тогда из (1.36) получим ры = ВеЕ, — у1ш Е;, р„= Ве Е, + у )ш Е;, рм = — уйеЕ;. На основании общей формулы (1.43) для плоской деформа- ции в рассматриваемом случае получаются следующие простые формулы для перемещений '): 2(ьи = (1 — 2з) Ве Е,' — у 1ш7„ 2ро =- 2 (1 — с) 1ш Ев — у Ве Е, (2.8) где Ег ~— функция, определенная условием Ег .= ИЕгв/й.
На 1 1~ чщ1г Рве. 175. Свммвтрвчво распределенная по берегам щели нормальная нагрузка. Величины, отвссявжеся к верхнему борту, отмечены индексом (2), а к нвхснвму — вндвксом (1). основании (2.7) граничное условие (2.6) на берегах щели (х( ( а, у = О принимает вид ВеЕт= — у(х) при (х~(а, у=О. Для получения решения рассматриваемой задачи достаточно найти регулярную вне разреза, убывающую на бесконечности функцию комплексного переменного Ег (г), действительная часть которой принимает при данном х одинаковые заданные значения на берегах разреза (х) ~( а, у = О. Если принять, что в бесконечности перемещения, определяемые формулами (2.8), равны нулю, то согласно (2.8) функция Ег (з) должна иметь на бесконечности порядок по крайней мере 1/гз.
Решение таким образом сформулированной задачи об определении функции Ег (х) по заданной действительной части на ') В случае обобщенного плоского напряженного состояния для перемвщв ввй в срединной плоскости получаются такнв жв формулы, в которых 1 — 2а в 1 — с следует заменить на (1 — о)/(1 + о) в 1/(1 + о) соответственно. 518 Гл. Х1.
Плоские задачи и теорвя трещвн разрезе дается формулой ') б сов 2 о Зб (1 — яп — яп — ), $' 2яг 2 « . б . 36« = '(1+ вш — яп — ) а сов яп — сов —, -, К 2яг (2.11) Р«« = «гг Рж = )гг Соответствующие асимптотические выражения для перемещений в случае плоской деформации имеют вид аг г, ,, 61 и = — — 1,' — сов — (1 — 2с+ в1п' — ~ 2я 2 2) ' Гг . б/ абт и = — )г' — яп — (2 — 2с — сова — ~ . У 2я 2(, 2(' (2.12) В Эффективное построение функции (2.
9) дано Л. И. Седовым в 1934 г. см., например, «Плоские аадачи гидродииамики и аеродииамикие, М.— Л., 1950 г., стр. 51, формула (1.9). Формула (1.9) отличается от (2.9) только множителем «, так как здесь аадаиа ве мнимая, а действительная часть искомой функции. О Г в(и У'а* — ~~ (2.9) — а В силу единственности реп«ения сформулированной задачи зта формула определяет искомое решение задачи. С помощью (2.9) и (2.7) легко вычислить искомые компоненты напряжений в любой точке плоскости г.
На основании формулы (2.9) легко опредеАсвмптотическве выраже- лить поведение решения вблизи обоих вия для ко«пюнент напра- концов щели. Вблизи правого края щели женийи перемещений вблизи положим г — а =- ге«е, где г — малая величина. Из (2.9) следует, что при малых г = (г — а! верна асимптотическая формула: вг 21(г) =, где 7«г = = ~ д(з) ~/ — «Ц. (2.10) Р 2я (« — а) Величина )гг вообще отлична от нуля.
Для частных случаев, когда функция д(х) имеет специальный вид, постоянная Йг может обращаться в нуль. Из (2.10) и (2.7) найдем искомые асимптотические вырая«ения для напряжений $2. Концентрация напряжений 519 Щель под действием касательной автвсвммет- ркчвой нагрузка рзз ---- О, ргз — — — Ь (х) при )х)~(а, у = О. (2.13) Условия (2.13) будут частично удовлетворены.
если положить Ф(г) = — 9 Еп(з), Рис. 176. Распределение автксимметричной касательной ва- (2.14) грузкк по берегам прямолии.йвой щели где Яп (з) — искомая функция, регулярная вне разреза и исчезающая в бесконечности. Из (1.36) получим р„=- 2 1ш Ип+ у Йе Я' и р„= — у Ве Я;„ р„= Ве Еп — у1ш Е;и (2.15) ') Физическое значение параметра кг было подробно кроаналиаировано Ирвином и положено в основу его теории трещвн (1957 г.). Видно, что асимптотические выражения для компонент напряжений и перемещений вблизи концов щели зависят только от значения величины Ьг.
Можно покааать, что поведение решения у концов щели в конечных пластинах имеет тот же вид. Для конечных пластин граничные условия и расположение щели в случае действия на берегах щели симметричной нормальной нагрузки определяют в асимптотических формулах у каждого края щели соответствующий параметр кг — к о з ф ф и ц и е н т и н т е н с и в ности пап р я ж е н и й '). Из линейности задачи следует, что если нагрузки возрастают пропорционально некоторому параметру, то коэффициент интенсивности напряжений возрастает пропорционально тому я;е параметру. В общем случае для данной щели кг ~ О даже при сколь угодно малых внешних нагрузках, наличие концентрации напряжений при малых нагрузках хорошо отвечает действительности и, вообще говоря, не связано с разрушением.
Рассмотрим теперь задачу Ж П, когда по берегам прямолинейной щели )х( ( а, у = О распределена антисимметричная касательная нагрузка (рис. 176). В этом слугае граничные условия на берегах щели в задаче Сь имеют вид 520 Гл. Х1. Плоские задачи и теория трещин Для компонент вектора перемещений в случае плоской деформа- ции будем иметь 2ри = 2(1 — 5)1ш Ю' + уКеЛп, 2ри =- — (1 — 5) Ке Е,', — у 1ш Еп, сИп г= — „,. (2.16) где Согласно (2.15) граничные условия (2.13) на берегах щели примут вид КеЕп= — й(х) при (х)(а, у=О.
а где йп = = ~ Ь(з)), — с$. 1 г /а+5 )г —,,1 — а (2.17) С помощью (2 17) и (2.15) получим асимптотические формулы для компонент тензора напряжений в атом случае Ьп . 6!, д Зб~ з)п — (2-)- соз 2 соз 2 ), Узи„' 2 ~'~т б . 6 Зб = соз — з1п — сов —, у'2„2 2 2 ' кп б I . б . 36 соз — ( 1 Рп = (2.18) Рж = Соответствующие асимптотические формулы для компонент вектора перемещений в случае плоской деформации имеют вид "и Г Г Е / г Е у =. — ~~' — соз — (1 — 25+ з(п р Р 2ч 2(, (2.19) При некоторых частных распределениях внешних нагрузок, особых размерах тела для данных нагрузок или подходящих размерах щели могут получиться решения, в которых яг Очевидно, что искомая функция Яп (г), имеющая порядок 1!гг в бесконечности, определяется также формулой (2.9), в которую вместо у(х) следует подставить Ь(х).
Асимптотическая формула для 7п (г) вблиАеииптотичеекие выражения для „о„иожщт жп „зи точки г =- а имеет вид женив и иеремещеивй ь~г вблвзи концов щели Хп(г) = у 2я (г — о) $2. Концснтрацня напряжений или кп обращаются в нуль. Однако во многих случаях, отвечающих действительности, при описании состояний равновесия тел у краев щели имеет место концентрация напряжений и постоянные йь и Йп отличны от нуля. С помощью аналогичных приемов с использованием функций комплексного переменного и формулы вида (2.9) легко решить задачи ьс типа 1П и 1У, при этом у краев щели возникают осо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
