Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Начало координат О выберем в центре круга. Если 0' — одно- связная конечная область, ограниченная замкнутым контуром С в плоскости г, то удобнее производить конформное отобралсение на внутренность единичного круга в плоскости Ьи считать, что некоторая внутренняя точка, выбранная за начало координат г = О, соответствует точке ь = О, Кривые р (х, у) = сопел в плоскости г, соответствующие окружностям р =- сопел в плоскости ~, будут замкнутыми линиями, окружающими точку г = О. Кривые 0 (х, у) = сопел в плоскости г — образы лучей 0 = сопел в плоскости ь будут все выходить из точки г = О и кончаться на С.
Контур С будет соответствовать окружности Г (р == 1). Если .'д — бесконечная область, границей которой является один замкнутый контур С, то отображение можно производить на внешность единичного круга в плоскости считая, что точки г = и Ь = со соответствуют друг другу. Линии р (х, у) = сопз$ будут охватывать контур С, а линии 0 (х, у) = сопел начинаться на С и уходить в бесконечность. Через каждую точку А области Э в плоскости г проходят две ортогональные линии р (х, у) = сопел и 0 (х, у) = сопел; примем их за координатные линии 8 (х, у) и р (х, у) соответственно.
Направления вдоль координатных линий р(х, у) и 0 (х, у) будем отсчитывать в сторону роста 0 (х, у) и р (х, у) соответственно (рис. 166). Введем в плоскости г векторы базиса эл = дэ'!др и э, = дэ'/д0. Очевидно, что направления единичных векторов з, у декартовой системы координат х и у совпадут с направлениями э, и э, в некоторой точке А (г = х ( ~) = = х (ре'з)), если их повернуть на угол а, который составляет вектор базиса э, с осью х в рассматриваемой точке А. 502 Гя. 1Х. Плоские задачи и теория трещин Подсчитаем коэффициент ед", на который следует умножить комплексное число, заданное в плоскости з, для того, чтобы получить соответствующее комплексное число в комплексной плоскости, определяемой векторами зд и вз, рассматриваемыми Рнс.
166. Копфорддное отобраяденяе и кряволдшсйная система координат р (х, у) и 8 (з, у). в данной точке А. Рассмотрим отрезок ддз вдоль координатной линии р (х, у) в плоскости з. Очевидно, что с)д х' (~) д)Ь е'" = — = ) ла ( ( х' (4) ) ) оь ) Но отрезок ддь, который соответствует в плоскости ь отрезку дг, лежит вдоль луча О =- сопз1, поэтому ~Ц !«~! ) )ь) Отсюда для величины а имеем «' (ь) х' К) ьз ь' х' К) евм — , — , . (1.46) х'(Ь)х'(ь) Д~ Р х'(Д Обозначим через р„, рв, рзв физические компоненты тензора напряжений в ортогональной криволинейной системе координат р, О в плоскости з.
На основании формул преобразования компонент тензора при переходе от декартовой системы координат х, у к декартовой системе координат, повернутой в каждой точке А плоскости з относительно х, у на угол Физические компоненты теизора напряжений и вектора перемещений в кривояинейаой системе координат 1, Плоские задачи теории упругости 503 а (х, у), получим Р = Р» сов' а + р; в 1п' сс + 2рм соз а в 1п а Рз = Роз совза+ р„яп'а — 2р„сова яп а, Р з = (Рзз — Рм) Яп а сов а + Р,, сов 2а. (1.47) Отсюда непосредственно можно вычислить следующие комбинации физических компонент тензора напряжений в рассматриваемой криволинейной системе координат: Рз '+ Рз Ры + Роз Рв — Ре т 2(Рзз = е (Р з — Рп+ 2(Рм) ) Обозначим через и„ив физические компоненты вектора перемещений в криволинеиной системе координат р (х, у), 0 (х, у), Очевидно, что формулы преобразования от и, и к и„аз имеют вид и,= пеева+ив)па, из= — аяпа -)-исова, Эти формулы удобно представить в виде и, + (из = с-и (и + (о).
(1.49) ~р (г) = ~р (х (~)) = ~р (ь), ф (г) = $ (х (Ц)) = ф (ь), Ф (з) = Ф (х ( ~)) = Ф ( Д, Ч" (в) =- Ч' (х ( ~)) = Ч" ( ь). При этом, очевидно, должно быть ~р'(г) = — = —,, = Ф(~), ~>'(з) =, = Ч" (9). ар ч'(О ° 'Р'(1) сг к'(э) ' к'(э) С помощью (1.48) и (1.37) легко получим р, + рв = 2 (Ф (ь) + Ф(ь)) = 4йе Ф(ь), Рз — Р, + 2(Р з = = (х (~) Ф' (~) + х' К) Ч" (~) ). ~ (1.39) (О Аналогично (1.49) с поъющью (1.43) приведется к виду ае + (из = ~ — ~Лср (9) — ", ср''(9) — ф (~)) . (1.51) Получим выражения для комбинаций (1.48) и (1.49) физических компонент тензора напряжений и вектора перемещений в системе координат р (х, у) и О (х, р) через комплексное переменное Ь. Для этого во всех функциях комплексного переменного г проведем замену переменной г = х (Ь) и сохраним для краткости прежние обозначения для новых функций 504 Гл.
ХП Плоские задачи н теория трещин Граничные условия дяя функций комплексного перемевного в няоскостн комплексного перемен- ного Граничное условие (1.45) в плоскости з на конуре С сводится к следующему граничному условию на контуре à — окружности р = 1 в плоскости (1.52) где у — дуга вдоль Г, а функция Н (у) определяется в результате перехода к криволинейным координатам и замены переменной г = х(ь) в правой части (1.45) и может считаться известной, если на контуре С заданы внешние поверхностные силы. Аналогично граничное условие (1.45') в перемещениях на контуре С сводится к следующему граничному условию на Г: Агре) — ф''(ь) — тр Я~) = С(у), (1,53) х' Я~) где 6(у) определяется в результате перехода к криволинейным координатам и замены переменной г = х(~) в правой части (1.45') и может считаться известной. Таким образом, поставленные выше основные краевые задачи об определении аналитических функций ~р(г) н т(з) свелись к задачам об определении функций ~р(х(4)) = гр( ь) Х(х(~)) = )((~) их(~) =- а зо вспомогательной плоскости комплексного переменного ь.
й 2. Концентрация напряжений Рм — Рм=ре Рта=О Раз=О Из решения различных задач и из опытов известно, что наличие резких изменений формы поверхности тела может приводить к значительным местным напряжениям, быстро затухающим по мере удаления от границы тела. Определение местных напряжений вблизи резких изменений формы поверхности тела или вблизи мест действия резко изменяющихся по координатам внешних сил составляет содержание проблемы концентрации напряжений.
Рассмотрим упругую неограниченную плоВеестороннее растященне скую пластину, всесторонне растягиваенво~коетн е кругоаын мую постоянными напряжениями ре на вырезом бесконечности. В этом случае в пластине имеет место обобщенное плоское напряя<енное состояние с равномерным распределением напряжений в плоскости ху, совпадающей со срединной плоскостью пластины: 1 2. Концентрация напряжений илн в цилиндрической системе координат р, О, з Рв=рв=ро Роо=О, Р„=О. Проведем окружность радиуса а с центром в начале координат и удалим мысленно внутренность круга.
Действие мысленно отброшенной части заменим поверхностными силами, приложенными по контуру окружности: Рв=рв=ро рво=О при р=а. Предположим теперь, что внешние напряжения на контуре окружности-выреза медленно (квазистатически) убывают до нуля. В этом случае в пластине произойдет перераспределение напряжений. Определим распределение напряжений в неограниченной равномерно растнгиваемой напряжениями ро = сонат на бесконечности плоской пластине с круговым вырезом радиуса а, на границе которого отсутствуют внешние силы.
Бигармоническое уравнение для определения функции Эри в полярных координатах имеет вид ( дв . 1 д, 1 двб ~дЧГ, 1 дУ 1 двГГ~ дрв ' р др ' рв дзв)~дрв р др рв ддв) Формулы(1.28), выражающие компоненты тензора напряжений через функцию Эри У в полярной системе координат, имеют вид 1 дУ 1 двУ двУ д ~1 двГ~ Р = — — + — —,, Рв= —. Рв= — — ~ — — ) ° р др р' дзв ' дрв ' в др ~р д0)' Очевидно, что напряженное состояние всесторонне растягиваемой пластины с круговым отверстием не зависит от угла О. Общий интеграл У(р) бигармонического уравнения, которое в этом случае сводится к уравнению имеет вид У = А1пр+Вр'1пр+ Ср'+В, где Л, В, С,  — произвольные постоянные.
Пользуясь этой формулой, получим рр — — —.,+ 2В1пр+ В+ 2С, А Рв Рв = — —, + 2В 1п р + ЗВ + 2С, А Р р =О. 506 Гл. ХП Плоские задачи и теория трещин Из граничных условий на контуре кругового отверстия и в бесконечности р =- О при р = а и Р, = ро при р = оо найдем, что А= — роа', В=О 2С=Ро. Поэтому решение рассматриваемой задачи в напряжениях представится формулами ао т Ро = Ро(1+ —,), р„=о, р„=о.
Ро маг —— 2Р = 21Ро), при Р = а. Так как Рре =- О, компоненты Ро, Р, и Р„являются главными компонентами тензора напряяоений. Прн р =" а Ро ) Рр = р„= О и наибольшее касательное напряжение т в каждой точке выреза определяется формулой (см, $4 гл. Х) Ро Ргг Прна р(оо ро)рр)рг =О Ре(2ро и Ро Рг* ( Ро. 2 Наконец, в бесконечности ре —— р, =- ЄЄ= О и Ро Ргг Ро 2 2 Таким образом, максимальное касательное напряжение Рис. 167. ЭпюРы напРЯгкений Рр, Ро вдоль 6 = сапог в неограниченной всесторонне растягиваемой плоской пластине с круговым вырезом р = а. На рис.
167 построены зшоРы напРЯжений Рр, Ро вдоль луча О = сопз1. Характерно, что компонента напряягения ре возрастает при подходе к границе кругового выреза, причем максимальное значение ро достигается на границе вырезанной окружности 507 1 2. Концентрация напряжений тмах = р, достигается в точках границы вырезанной окружности на бесконечном числе площадок, касающихся кругового конуса с верпшной в рассматриваемой точке контура выреза с углом раствора 90' и осью 9. Выше дано полное решение задачи в напряжениях для обобщенного плоского напряженного состояния; в случае плоского деформированного состояния решение в напряжениях для р, рэ и р,э будет тем же самым, однако р„будет отлично от нуля.
При атом на контуре выреза, так как для обычных материалов О ( а ( (1/2), будет верно неравенство рэ ) р„"> р, =- 0 (см. (1.17) ). Поэтому на границе выреза наибольшее касательное напряжение будет в этом случае равно Ра Рр = Рэ 2 В бесконечности рэ =- Ре Ра= ) Рж и ра (1 — 2с) 2 Таким образом, максимальное касательное напряжение р,хаах=ра достигается в этом случае также в точках границы выреза, но на площадках, проходящих через ось г и наклоненных к радиусу под углом -~;- 45'. Найденные выше решения двух задач теории упругости в напряжениях хорошо подтверждаются экспериментально, пока в пластине не возникают пластические деформации.
Предполонсим, что пластические деформации нозникают при достижении максимальным касательным напряжением своего предельного значения й — предела текучести при сдвиге, т. е. при тмах = я. В данном случае тмах =- ра достигается на контуре окружности- выреза. Следовательно, если ра ( я, то напряженное состояние в теле всюду упругое. Пластические деформации появляются впервые на контуре отверстия, когда растягивающие напряжения р, на бесконечности становятся равными я (р, = я). Нетрудно обобщить ре|пенпе предыдущей Однооеное растяжение задачи на случай плоского напряженного плоскости круговым состояния, возникающего при одноосном выреаом растяжении плоской неограниченной пластины с круговым вырезом р ~ а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
