Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Компоненты тензора деформаций еп, е.„, с„можно затем определять с помощью закона Гука (1ЛО), Компонента с, определится при этом однозначно, а сп и сзз — только с точностью до произвольной аддитивной линейной функции от х и у. Эта линейная функция х и р будет фиксирована, если задать рзз или с за, согласно (1 Л1). После этого компоненты вектора перемещений сс определятся с помощью формул (1.7); входящие в эти формулы функции сс, (х, у) и ыз (х, у) по известным сгм с„и з,з найдутся при решении уравнений (1.8) с точностью до плоскопараллельных перемещений, определяющих движение тела как твердого в плоскости хр, Подчеркнем еще раз, что постоянные А, В, С в (1.7) и (1.9) остаются неопределенными, если заданы только граничные условия в напряжениях на боковой поверхности тела, В случае плоского деформированного еское дефориирекзяисе состояния (плоской деформации) по оп- состокиие ределению принимается, что езз=О А=В=С=О.
(1Л5) Соотношения закона Гука (1„9) приобретают вцд Гл. Хдн Плоские задачи и теория трещин Компонента р„определяется иа соотношения р„= Л (едд+ езз) или рзз= а (рд, + рзз). (1.17) В случае плоской деформации перемещения, согласно (1.7), (1 15), имеют вид и =- юд (х, у), и = юз (х, у), ги = О. Плоское наиряжеииое состояние Тогда из закона Гука получается Л езз = . (еы 'р езз), (1.10) а остальные соотношения закона Гука приобретают вид р„= Л' (с„+ езз) + 2регп рзз = Л* (едд + ез,) '; 2регж р„= 2рздз, (1.20) д] Си. сноску иа стр.
ЛЗ1. Плоская деформация реализуется при нагружении цилиндрического тела по внешней цилиндрической поверхности и по его объему силами, статически эквивалентными нулю, параллельными плоскости ху и не зависящими от з, когда плоские торцовые сечения Х, и Х, цилиндРа, параллельные плоскости ху Рг (рис,162), закреплены так, что длина цилиндра фиксирована (иг = 0), а Х, и Х, могут без трения (рдз= раз=.О) перемещаться параллельно плоскости ху.
В этом слуз' чае при отсутствии начальных нас пряжений можно удовлетворить рис. 1а2. плоская дефо н я ВСЕМ УРаВНЕНИЯМ И УСЛОВИЯМ, ЕСЛИ принять, что точки тела получают перемещения, параллельные плоскости ху и не зависящие от з. Воли плоская деформация происходит без изменения объема (сам материал сжимаем, Л =г-. с), то е„, — ', е„= О, поэтому для таких деформаций имеем Рдд = 2Рсм Рзз — 2Ре„, Р„= 2Рсщ, Рзз =- О. В случае плоского напрнженного состояния по определению принимают'), что Р„= О. (1 18) 1 1.
Плоские задачи теории упругости где Х = —. 2хр Х+2р ' Заметим, что зти соотношения полностью совпадут с соотпошепиями (1Л6), выражающими соответствующие равенства для случая плоской деформации, если в последних заменить Х па Хе. Так как в плоской задаче езз — линейная функция от х и у, то соотношение (1,19) приводится к виду Х (едд + е,з) + () + 2дд) (Ах + Ву + С) =- О или, согласно (1.8), к виду Х ~ — '+ —,ы'~ +(1+ 2р,)(Ах+ Ву+ С) = О.
(1.21) Это соотношение накладывает ограничения на характер иаменепия одд и ю при реализации в линейно-упругом теле плоского напряженного состояния. Плоское напряженное состояние реализуется лишь в тех случаях, когда перемещения в плоскости г = О удовлетворяют соотношению (1,21). При плоском деформированном состоянии таких ограничений па перемещения одд и одз кет, В самом деле, по любым заданным юп юе можно определить, согласна (1.8), компонеяты едд, ед„езз, а далее, используя(1.16), найти рды р„, рио Найденные таким образом компоненты рдг будут удовлетворять условию совместности (1.12). Из уравпений равновесия (1.13) можпо затем найти соответствующие массовые силы Е„, Рю а из граничных условий (1.14) определить соответствующие усилия уд„ на боковой поверхиости тела.
Из (1.21) видно, что плоские деформированные состояния, когда езз.††Πи, следовательно, А = — В = — С = О, будут и плоскими напряженными состояниями, если деформации происходят без изменения объема дыд дмд едд+езз= д дд- д =О дх ду (материал сжимаем и Х конечно). В общем случае, очевидно, плоское деформированное состояние не является плоским напряженным состоянием, так как в плоском деформированном состоянии вообще раз+ О.
При плоском напряженном состоянии, согласно последней формуле (1.7), точки плоскостей г = сопзд получают линейные относительно х и у перемещения вдоль оси г. Следователько, система параллельных плоскостей г = сопзе = а переходит при плоском напряженном состоянии в систему наклоненных к оси г плоскостей г= а+ (Ах+ Ву+ С)а. (В рамках линеаризировакпой теории в выражении малой величины Гл. Х1. Плоские задачи и теорий трешки ггз= л — а координаты точек среды х, у, озможно взять в начальном состоянии, так как добавки, обусловленные перемещениями и, и, скажутся только в малых второго порядка, которые следует отбросить в развиваемой линейной теории.) На основании изложенного ясно, что реализовать на практике плоское напряженное состояние можно в достаточно искусственных условиях, однако аналогичные соотношения имеют место в случае обобщенного плоского напряженного состояния, которое имеет большое практическое значение.
Рассмотрим тонкую плоскую пластину Обобщекжж ~легкое толщиной 2Ь (рис. 163). Обозначим чеяапряжеявое состояяяе рез Й характерный продольный размер пластины; по предположению Ь(И(( 1. Плоскость ху совместим со срединной плоскостью пластины. Предположим,что пластина нагружена внепшими силами (в том числе и массовыми), Ркс. (63. К понятию обобщенного плоского напряженного состояния. Растяжение и сжатие пластккы силами, параллельными ее средквкой плоскостк. параллельными срединной плоскости и симметричными относительно плоскости ху.
Далее предположим, что отсутствуют внешние усилия па торцовых поверхностях, т. е. Рзз(х У +.Ь) =Ргз(х У гг-Ь) = Рте (х У+ Ь) = О (1.22) и, в частности, дрм(х, у, + а) дум(х, у, Ша) дх ду Так как, кроме того, компонента г", объемной силы, по предположению, равна нулю, то иа уравнения равновесия в проекции на ось з получим ве(*ус) ( О дг Таким образом, на торцовых поверхностях пластины компонента рзе не только сама обращается в нуль, но обращаются в нуль и ее производные. Поэтому для тонкой пластины компонента рзе является малой и в качестве приближения дальше положим р„= О всюду внутри пластины.
Плоские задачи теории упругости Два других уравнения равновесия д-Р— Π— + — + — +Р =О дргг дрм дргз д и д д дх ду да дх дв д. осредним по толщине пластины. С учетом равенств (1.22) и Ри(х У г) ~ = О, ь — ггз = — )эзз (х, у, з) ! = О -а получим др'„ др", , др др„ + и+Р,=О, — "+=' Э-Р =О, (1.2)) х дгу ' дх ду где Р" = — ~ Регги -и Р = — ~ Р;с(е. 2а -а (1.24) Так как р,з = — О, закон Гука имеот вид (1.20). Переходя в нем к средним значениям, получим Ргг = Х*(си+ езэ) + 2Реп. Рзз.= Э"*(еп'+ езз) ' 2(геи. Р„=2и гз, ) (1.25) где ди* сЭи* 1 гдо* , до*) егг = —, ез..=, ем = ~ 'Г дх ' ' ду ' 2 ду дх ~ ' Компоненты Рых, иа, х", ем* зависЯт только от кооРдинат х, У. Рассмотренное напряженное состояние, реализующееся в таких пластинах, работающих без изгиба, определяют как обобщенное плоское напряженное состояние ').
В силу линейности уравнений и граничных условий все соответствующие соотношения для плоского напряженного состояния сохраняют свой вид для осреднепных компонент в случае обобщенного плоского ') Подобное напряженное состояние пластины наамвают также безмоментимм. * т Г дх е,з = — ~ — ~й 26 д дх -л и Г й= — ~ игЬ, 2а -а 2а (ю(х У Л) — ж(х, У, — Ь)), (1.26) 'г Гл. Х1. Плоские задачи н теория трещин Эти уравнения показывают, что выражения Рм Ах — Рп бу, Рм 8 — Рщ Аl являются полными дифференциалами некоторых функций А (х, у) и В (х, у) соотнетственно. Таким образом, уравнения равновесия (1.27) приводят к существованию таких двух функций А (х, у) и В (х, р), что дл ав дА дВ Р„= — —, Рзе = —.
и Р„= —. ду ' "'" дх дх др Аналогично на основании последнего равенства мон'но сделать вывод о существовании такой функции (1 (х, у), которая подчиняется условиям дУ дх дп — = — А ду Следовательно, можно ввести такую функцию 0 (х, у), что компоненты тензора напряжений ры, р,з и р,з в плоской задаче представятся через нее следующим образом: РУ дз11 дЧУ Р» ~' ' Р>з дх> ' Р>е д д ' (1.28) Функция У (х, у) называется функцией напра>пений Эри.
Любая функция Эри У (х, у) определяет, согласно (1.28), распределение напряжений, удовлетворяющее уравнениям равновесии (1.27). Очевидно, что для данного распределения напря>копий функция Эри определяется только с точностью до несущественной произвольной аддитивной линейной функции от х и у. Формулы (1.28) являются следствием только универсальных уравнений равновесия, и поэтому они верны в случае плоских задач (1.2) в сплошных средах с произвольными свойствами (упругой, пластической и др.). Нетрудно видеть, что граничные условия в напряжениях выражаются в виде условий на функцию Эри также независимо напряженного состояния.
В дальнейшем не будем писать символы осреднения, имея в виду, что все результаты теории плоского напряженного состояния имеют место и для обобщенного плоского напряженного состояния. В неоднородных уравнениях равновесия Функция напра>пеняй Э н р еннй Эрн внешние массовые силы можно исключить, рассмотрев одно частное решение этих уравнений. Поэтому при решении плоских задач теории упругости будем исходить из системы однородных уравнений равновесия (1.27) $1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
