Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Взаимное расположение круга Мизеса и шестиугольника Треска, построенных для данного материала с помощью аксперимента на простое растяжение, показано на рис. 153, а. Теоретические значения пределов текучести при других напряженных состояниях, получаемые с помощью условия Мизеса, будут отличаться от вычисленных из условия Треска. Чтобы из двух обсуждаемых условий текучести выбрать более подходящее для данного материала, нужно провести дополнительный эксперимент, в котором осуществлялось бы не простое растяжение или сжатие, а какой-либо другой тип напряженного состояния.
Ясно, что можно было бы с самого начала определять пре- дел текучести в опыте с некоторым произвольно выбранным 460 Гл. Х. Теория пластичности путем нагружения, найти соответствующую точку'поверхности текучести в пространстве напряжений и провести через нее поверхность Мизеса или поверхность Треска. Так, если бы мы произвели эксперимент на чистый сдвиг (который осуществляется, например, при кручении тонкостенных цилиндрических труб), то, принимая или условие Мизеса, или условие пг аппп Я -саспгапппе г(гапгпгп Ппсппсгсеппп и) Гаем А- сасгпапппе саспига сйапгг ,й рис. 153.
Взаимное расположение круга Мизеса и щестиугольиика Треска, построенных с помощью овыгов (а) иа простое растяжение, йг = й, и (б) чистый сдвиг 'рз = — 1с. — з ггр' = О (4.27) и шесть соотношений между полными, упругими и пластичес- кими деформациями ем = агу + ем. У (4.:28) Треска, получили бы соответственно окружность или шестиугольник, показанные на рнс.
153, б. Для й или й в этом случае имели бы й = те или йх = те 'у'3гД, где те — предел текучести данного материала при чистом сдвиге. В качестве примера рассмотрим полную О полней системе уравнений равновесия систему уравнений для определения наидеальио-пластического пряженного и деформированного состоя- тела с условием ний, возникающих при изотермическом текучести Мизеса равновесии идеально-пластического тела, удовлетворяющего условию пластичности Мизеса. Во-первых, в эту систему уравнений входят три уравнения равновесия $4.
Примеры иоделвй пластических тел В упругой области при отсутствии разгрузок из пластических состояний в предыдущей истории имеем ец = 0 и— (4.29) и уравнения равновесия вместе, например, с законом Гула и соотношениями, выражающими компоненты тензора деформаций через компоненты вектора перемещений, представляют собой полную систему уравнений для определения рп и зи. В пластической области У,(~) = —., 'й'„, Уе(3) =0 (4.30) йгт в общем случае не равны нулю, для замыкания системы уравнений можновоспользоваться ассоциированным законом "зн = 2оь ' ри 3 3 Й~ ' (4.31) который представляет собой систему дифференциальных уравнений, и условием пластичности.
Для определения ря и з,"; в общем случае получается система связанных между собой дифференциальных уравнений. Однако встречаются ван1ные простые случаи, когда задачу об определении напряженного состояния идеально-пластического тела можно решить независимо от задачи об определении остаточных пластических деформаций.
Например, допустим, что мы имеем задаП|юскме вапряжевяее я деформированное чу об определении плоского напряженсостоквйя как примеры ного состояния находящегося в равноетатвчееки определимых весии пластического тела. Тогда, согласпластических задач но определению плоского напряженного состояния, оси декартовой системы координат х, у, г всегда можно выбрать так, чтобы рз, — — р,з = ры = 0 (1з = О), ар'т, рзз и рт' были бы вообще отличными от нуля и зависели бы только ') от х и у.
Уравнения равновесия в этом случае сводятся к следующим двум уравнениям: — + —. = — Х, — -'- — = — У, (4. 32) ар ар ар арах ду ' дх ' ду где Х (х, у) и г (х, у) — компоненты массовых сил. Если к этим двум уравнениям добавить условие пластичности ((рн, р1т, ры й~ ь ) ') Си.
стр. 481. 462 Гл. Х. Теория пластвчноств то система уравнений для определения трех отличных от нуля компонент тензора напряжений р", рзз и р" в пластической области становится замкнутой. Отсюда следует, что если дополнительные краевые условия заданы в напряязениях, то в случае плоского напряженного состояния можно определить значения рв независимо от решения задачи об определении деформаций. Другим примером использования условия пластичности для замыкания системы уравненийв напряжениях может служить случай плоского деформированного состояния пластического тела, находящегося в равновесии под действием ааданной на его поверхности системы напряжений тз„.
В етом случае по определению плоского деформированного состояния оси кооРдинат х, У, г можно выбРать так, чтобы ез~з = егз = г г Р г = Езз =- О, а Еп, Еез И Ем бЫЛИ бЫ ВООбЩЕ ОТЛИЧНЫМИ От НУЛЯ и зависели только от х и у. Заметим, что случаи плоского напряженного и плоского деформированного состояний вообще не совпадают друг с другом. Так, например, в случае плоского напряженного состояния пз ассоциированного закона в форме (4.31) вытекает, что Незз деьз = О, но 32)ею = — 2В (Рз" + Р"), т. е. Йезз + О в общем случае.
Наоборот, для плоского деформированного состояния Ыез = О и рЗЗ (р11 ) р22) 1 (4.33) й 5. Задача о кручении цилизщрического стержня из упруго-пластического материала без упрочиения Рассмотрим задачу о кручении цилиндрического стержня произвольного поперечного сечения из упруго-идеально-пластического материала. Выберем оси координат х, у и з так, как показано на рис. 154. т.
е. в общем случае рзз+ О. Из (4,31) вытекает, что в случае плоского деформированного состояния могут быть отличными от нуля четыре компоненты тензора напряжений р", р", р'2 и р", каждая из которых может быть функцией только х и у. Условие равновесия вдоль оси г удовлетворяется тождественно при отсутствии составляющих внешних массовых сил вдоль оси х. Для определения четырех компонент тензора напряжений имеем четыре уравнения: два уравнения равновесия (4.32), условие пластичности Г (р", йю ..., йз) =- О и связь (4.33) можду компонентами тензора напряжений. з 5.
Кручеиие упруго-пластического стержкя 463 Пркмезз для простоты, что отсутствуют внешние массовые силы и что боковая поверхность Я стержня свободна от нагрузок, т. е. Р„= О на Я. (5Л) На торцах Ез и з.з стержня Р„= У-- Р, + О, но р,з — -- О, т. е. на торцах стержня распределены касательные напряжения р„и р,з, под действием которых стержень находится в равновесии. Распределение внешних поверхностных сил на сз и с'з г определим согласно построенному решению, а сейчас отметим, что система поверхностных сил на Хз сводится к моменту ЗХ, а на Е, — к моменту — Лх. Если значение крутящего момента М достаточно велико, то в некоторых частях стержня кли во всем стержне могут возу пикнуть пластические деформации. Условие пластичности, которому удовлетворяет материал стержня, рассмотрим виже.
Требуется определить напряженное состояние стержня и возникающие в нем перемещения. Дальнейшие предположения позволят нам отделить задачу об определении распределения напряжений от задачи об определении перемещений. Рассмотрим решение этой задачи, аналогичное решению уже изученной вьппе задачи о кручении стержня из упругого материала (см. у 7, гл 1Х). Примем, что всюду внутри и на поверхности стержня Ры = Рзг = Ргз = Рзз =. О (5.2) Предположения о ком- поиеитах текаора капряжекий и только р,з и р,з отличны от нуля и подлежат определению.
При отсутствии внешних массовых сил из уравноний равновесия в проекциях на оси х и у вытекает, что компоненты р, и Р,з не должны зависеть от з, а УРавнение в пРоекции на ось з принимает вид дЯ' д.т Ри= д, 1 Рт=— (5.4) д)аз (*, з) + д)ч (с, к) Функция иаяркжеиий Это уравнение удовлетворится тождественно, если ввести функцию напра>келий К (х, у), через которую козшоненты рзз и рз, представляются по формулам 464 Гл. Х. Теория властячнести Легко видеть, что граничное условие (5.1) на боковой поверхности о стержня в проекциях на оси х и р в силу равенств (5.2) и выбора осей координат выполнится тождественно, а в проекции на ось з сведется к условию дЯ' дЯ' Р„сов(зз х)+Р„зсоз(и, У) — соз(и, х) — — сов (тз, Р) = дЯ дег дЯ =- — соз (л, у) + —;, соз (л, х) = — = О или ~7 = сопя~ (5.5') др на контуре С поперечного сечения стержня г).
Граничные условия на торцах стержня рассмотрим ниже. Если стержень имеет односвязное поперечное сечение, то, так как функция ~7 (х, р) определена с точностью до аддитивной постоянной, условие (5.5') можно написать в виде д(х,р)=О на С. (5.5) Условие пластвчвоетя и в пластическом состоянии, когда (5.6) Рзз + Рзз где й — заданная величина, постоянная для данного материала.
з г Покажем, по условие пластичности (о.б) для рассматриваемой частной задачи совпадает по форме как с условием пластичности Треска, так и с условием пластичности Мизеса. Условие пластичности Треска записывается через главные компоненты тензора напряжений р, ) р, ) рз следующим ') Аналогичное условие получена в 1 7 гл. 1Х. Условия пластячяеетя Треска н Мвзееа для рассматриваемой задачи Коли сечение стержня ограничено несколькими замкнутыми граничными контурами, то на одном из них можно принять, что л7 = О, а на других г = — Сд, где ф— некоторые постоянные, которые нужно определять в процессе решения задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
