Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Все площадки, проходящие через ось х, будут главными. Площадок, на которых рт — рт будет бесконечно много. Все они будут касаться круглого конуса с вершиной в рассматриваемой точке, осью, совпадающей с осью з, и углом раствора 90'. Мы установили вид функциональной зависимости рт~аах =- 7 (р'), т. е. установили, как вырая<аются максимальные касательные напряжения, возникающие на некоторых определенных площадках, проходящих через данную точку, через главные компоненты теиаора напряжений в этой точке. Теперь можно построить поверхность текучести Поверхиость текучести, соответствующая условию текучести Треска (4Л9) р' — р' = — 2я, 2 рт — р' = — 2я. р' — р' = 2л, рт ра 2ь р~ (4.20) Следовательно, граница упругой области Хр в пространстве главных напряжений р', р', р' образована шестью плоскостями (4.20). Зти плоскости, как видно из (4.20), попарно параллельны одной из координатных осей р', рт, ра и составляют углы в 4ба с двумя другими осями.
Линии пересечения плоскостей (4.20) параллельны прямой р' = рт = р'. Поэтому поверхность нагружения, соответствующая условию текучести Треска, представляет собой в пространстве главных соответствующую условию текучести Треска, в трехмерном пространстве главных напряжений р', рт, р'. Заметим, что главные компоненты р' симметричного тензора напряжений известным образом выражаются через инварианты тензора напряжений. Поэтому, если потребуется, можно составить уравнение поверхности текучести, соответствующей условию пластичности Треска, и в шести- мерном пространстве рс. Оно будет иметь достаточно сложный вид.
При всевозможных напряженных состояниях пластические свойства частицы согласно условию Треска могут проявиться только в том случае, когда выполнено хотя бы одно из следующих шести равенств: 456 Гл. Х. Теория иластичиости напряжений шестигранную призму, грани и ребра которой параллельны прямой р' = рз = рз (рис.
151). Расстояния от начала координат р' =- рз = рз = 0 до каждой из плоскостей (4.20) равны = = 72л., 2л 1Г ! дгал фг Р где через ф;(р~) = 0 обозначены уравнения (4.20) этих плоскостей, Если вычислить координаты точек пересечения ребер призмы с плоскостью р' -+ р' -(- ре = О, ортогональной прямой Рг Рис. 151.
Призма и шестиугольник Трссиз. линии р' = рз = рз, то окажется, что расстояния всех этих точек до начала координат р' = ре = рз = 0 одинаковы и равны 2 г'2 )с. Таким образом, в шестиугольник, представляющий собой сечение призмы плоскостью р' + рз + рз =- О, можно вписать окружность с центром в начале координат и описать вокруг него окружность с центром в той же точке.
Поэтому сечение призмы плоскостью, ортогональной прямой р'.=- р' = рз, представляет собой правильный шестиугольник, который называется шестиугольником Треска. Упругая область представляет собой внутренность шестигранной призмы. При всестороннем сжатии или растяжении, когда напряженные состояния таковы, что р' = рз = р', среда ведет себя как упругое тело вплоть до бесконечно больших значений компонент р'. Поверхность нагружения имеет., ребра (в плоскости р' + рз + р' = 0 граница упругой области имеет угловые точки).
Для идеально-пластического материала при постоянной температуре й = сопз1 ) О, призма Треска не меняется; для упрочняющегося материала, й ив. 1 4. Примеры моделей пластических тел 457 меняется при деформировании в зависимости от некоторых па- раметров )(„призма Треска может изменяться. Рассмотрим теперь вместо условия пластичности Треска функцию нагруження, предлозкенную Мизесом, Г (рг) = (Р' — рз)з + (р' — Рз)' + (р' — р')з — 8)с,з, (4.21) Функции натруженна Мизеса причем для идеально-пластических материалов Йз — некоторое постоянное для данного материала размерное число или функция температуры.
Уравнение поверхности нагружония в главных осях тензора напряжений в этом случае будет иметь вид (Рг Рз)з ( (Рз Рз)з + (Рз Рз)з 8(зз ~) (4 22) Физическая нптерпретацля условвя пластичности Мизеса (4.23) На самом деле, направляющие косинусы нормали и к такой пло- 3 щадке равны между собой, так как ~~ ~п; = 1, то и, = — пз = 1 1 = и, ==;; поэтому изформулы (4.6) непосредственно следует р 3' з з р зз з' т з Рчз;.-и~ь~> э (Р +Р- + Р РР РР РР) г ((Рь Ра)з+ (Рз Рз)з+ (Рз Рз)з] (Рз ( Рз .+ Рз ) з) Это условие пластичности впервые было сформулировано Максвеллом в письме к Томсону, см С. П.
Т н м о ш е н к о, История науки о сопротивлении материалов„с краткими сведениями нз истории теории упругости и теории сооружений, Гостехнздат, 1957. Для модели пластического тела по Миаесу вместо условия пластичности Треска можно принять, что пластические свойства частицы могут проявиться только тогда, когда выполнено условие (4.22).
Условие пластичности (4,22) называется условием пластичности Мизеса '). Легко показать, что условие пластичности Мизеса эквивалентно условию, что пластические свойства частицы проявляются тогда, когда касательное напряжение Рч„, пгю на так называемой октаэдРической плоЩадке, проходящей через данную точку и разнонаклоненной ко всем трем главным осям р', рз, рз, достигает некоторойпредельной величины, а именно: Гл.
Х. Теории пластичности Отсюда ясно, что условие (4,23) будет выполняться, если принято условие пластичности Мизеса (4.22), и наоборот. Запишем условие пластичности Мизеса через главные компоненты девиатора Я тензора напряжений. Как известно, девиатором тензора напряжений называется тензор, компоненты которого ЯП определяются по формулам Я1у = ря — г!зУде, где У вЂ” первый инвариант тензора напряжений. Все три главные компоненты р' тензора напряжений отличаются от соответствующих компонент Я' его девиатора на одно и то же постоянное число '~сУ. Поэтому условие пластичности Миаеса записывается через главные компоненты девнатора тензора напряжений так же, как и через главные компоненты Запись условия Мизеса через проиокольные ко|нюненты ~теизора напряжений (у Яе)а + (Яс Яс)с + (Яо — у)с — Зй,' = О.
(4.24) Если в этом равенстве раскрыть скобки и сложить его с тож- дественно равным нулю квадратом первого инварианта девиа- тора тензора напряжений, то оно примет вид Я" + Як + Яо = — к,' нли ( (Я) = з й 8 с (4,25) где Хс (Я) = Яхс + Я,с + Я.с =- Я"Ясч — второй инвариант девиатора напряжений, Поэтому условие пластичности Мизеса может быть записано следующим образом через произвольные (не главные) компоненты тензора напряжений: з Я "Д~~" з 4п) з й'=О (42б) з ~~" з "! з где У = рх +р' +рз = риалы — первый инвариант тензора напряжений. Геометрическое построение поверхности текучести Мизеса С геометрической точки зрения поверхность нагружения (4.22) в пространстве главных напряжений представляет собой поверхность круглого цилиндра с образующими, параллельными прямой р' = р' = р*.
1 В силу того, что первый инвариант девнатора равен нулю, вектор с компонентами Я', Я', Я' в пространстве главных напряжений р', р', ро всегда должен лежать в плоскости т дв. Примеры моделей пластических тел р' + ре + ре = О, которая представляет собой плоскость, ортогональную прямой р' = р' = р'. По уравнению (4.25) модуль др -р41+ру' рвл явь ЯР уФИ+У+Яй ивеР-р' р' р' Рис.
х52. Цилиндрическая поверхность катру>копия Миаеса и разложение вектора напряжений ОЕ'иа девиаториую ОЮ и шаровую ив' составляющие. этого вектора постоянен, поэтому нормальное сечение цилин-. дрической поверхности нагружения Мизеса представляет собой круг радиуса 2ф'2~3 йт (рис. 152). Константы й и йх в условиях пластичности Треска и Мизеса можно определять Об определении постояипластичпости вросла и с помощью эксперимента. Пусть, напримиэеса с помощью мер, мы провели эксперимент на простое аксперимеита растяжение, так что ра и ра равны нулю, а р' + О, и определили значение р' = р'*, при котором наступает пластичность. Через точку р'*, О, 0 можно провести цилиндр Мизеса или призму Треска, в зависимости от того, какое условие пластичности мы хотим принять для рассматриваемого материала. Для констант й и йх будем соответственно иметь рве = 2й по (4.20) или р'* = 2й по (4.22).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
