Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 85
Текст из файла (страница 85)
(3.45) Наличие равенств (3.45) является доказательством первой части высказанного утверждения, выраженной равенствами (3.41). Наряду с соотношением (3,44) рассмотрим систему линейных уравнений для переменных г': —. г' = О (1 = 1, 2,..., и). (3.46) дьи дл) Очевидно, что общее решение однородной системы (3.46) можно представить в виде г'= „Я Х„г"1 (3.47) где Хь — некоторые вроиввольные множители, а гт', га', ..., г"— система )с линейно независимых решений (3.46), кани(ое нз которых можно рассматривать как функцию переменных х'. Легко проверить, что решения г ' мол<но определить формулами д(„(Хе (л',..., л"),..., Х (а',..., не)) (3.48) так как прн дифференцировании тождественно выполняющихся в переменных х' соотношений 1 = О получим равенства д(„дХ, д!. дьа О,, 2 и) дХ1 дл) дХе дле дл) Отсюда следует, что формулы (3.48) дают решения системы (3.46).
т) Множество допуствмнх аначеннй *е может распадаться на несколько областей, для которых целое число я ~ 1 разлнчно. $3. Основные соотношения в теории пластических тея 449 Из независимости функций 1,(Х1) следует, что система функций (3.48) образует полную систему )г линейно независимых решений уравнений (3.46).
Сравнивая (3.44) и (3.46), видим, что для решений (3.46), равных х', верны общие формулы; д! х' = ~ )« — (! = 4, 2,..., я). (3.49) — 1 Этим доказаны ') равенства (3.42). ,е(окажем теперь обратное предложение: из (3.43) и (3.49) следует, что функция о (х', х',..., х") с точностью до аддитивной постоянной по и' — однородная функция первой степени от х', х', ..., х". Положим Х хг = —.
х1 = Ф (х хх ..., х"), дс дх' тогда дФ, дХ1 —. = Х; + х' —.' . дх1 дхг На основании (3,49), (3.48), (3,47), (3,43)и (3,46) получим дХ. д! дХ1 дХ1 что приводит к равенствам дФ дс —.- = Хд = —. дх' дх' Отсюда следует, что (3.50) с = Ф + сопз$ дФ . дс Ф = Х;х' = —. х1 = — х'. дх' дх~ (3.51) ') Возможность перехода от (3.43) к (3.49) при 4 = 1 в некоторых конкретных случаях была указана в заметке Д. Д. Ивлева (ДАН СССР, г. 176, уй 3, 1967). Усовершенствование кашего первоначального общего доказательства при х = 1 на случай й,ь 1 дано Я. А.
Камсияржем. 15 л. и. седов, гом 2 Равенство (3.54) показывает, что функция Ф (х', х', ..., х")— однородная функция первой степени от аргументов х', х', ..., х". Постоянная в равенстве (3.50) равна нулю, если, кроме соотношений (3.43) и (3.49), имеет место дополнительное равенство о = х'Хь В общем случае постоянная в (3.50) может от- 450 Гл.
Х. Теории иластичиости личаться от нуля и иметь вид у~уь где у' и У; — некоторые дополнительные к х' и Х; переменные. Предыдущие выводы получены при условии, что среди переменных х'имеются отличные от нуля (т. е. в случае модели пластического тела действительно осуществляется процесс пластического деформирования). Соотношения (3.45) показывают, что в точечном и-мерном пространстве с координатами Х; при некоторых данных значениях параметров т, допустимы только те точки Хо которые принадлежат поверхностям с уравнениями /„ (Х,) = О, ю = 4,2, ...,й ~ О.
В частности, для точек Х;, для которых ~„(Х~) = О, а /„, (Х;) + О для всех ю + т, верны более простые формулы: д/„ "д " дХ, Введем в рассмотрение всевозможные точки с конечными координатами Ха, не лежащие на каких-либо поверхностях (Х;) = О, соответствующих данной однородной функции первой степени б(х)=хХ~ (3. 52) при некоторых данных значенних т,.
Очевидно, что точки Х,и не могут реализоваться в действительном процессе при х' + О, но они могут реализоваться, когда все х'= О, т. е. б = О, и, следовательно, имеет место обратимость. Точки поверхностей ~ (Х;) = О в пространстве Х~ можно рассматривать как границы обратимых процессов. Напомним, что неравенство б+ О указывает на необратимость процесса. Таким образом, необратимые процессы соответствуют граничным точкам, удовлетворяющим равенствам Г (Х„Х,) =О. Из (3.49) и (3.52) следует условие б = л Л,„Х; дх -и О, ау (3.
53) Ю дгз которое доля<но выполняться во всех точках Х», удовлетворяющих (3.45), в частности, для каждой отдельной поверхности Уд (Х,) = О.' При определенном выборе функций ~д(Х,) условие (3.53) фиксирует знаки соответствующих функций Лд. Множители Л„можно положить равными единице при соответствующем определенном выборе функций ~ (см. сноску на стр. 439).
Принцип (3.9) и условие бз и О (когда функция б, (е~)— однородная функция первой степени) аналогичны по своей 4 4. Примеры моделей пластических тол 451 природе и приводят к похожим выводам (знаки Й„и Х„), однако они не являются полностью эквивалентными. Итак, применительно к теории пластичности полученные выводы можно представить в следующем виде. Из термодинамических равенств т" = Т с*, се = сх(си~, з",ь Т, т,), (3.54) дсе — е„= ст дсгп в общем случае следует существование по крайней мере одной связи / (т'~, стч, Т, )(,) = О, (3. 55) причем (3.56) еп= Х вЂ”, дт" Соотношение (3.56) вместе с условием (3.55) совпадает с ассоциированным законом, только если в выражении для тп дд гн — р12' де1'.
производная дР/дс,"; равна нулю или не зависит от е,'; при р = ро —— сопз1, так как в этом случае Кроме этого, в общем случае дополнительные соотношения (постулат) (3.40) и ассоциированный закон (постулат) (3.10) не эквивалентны, если функция с не является однородной функцией первой степени от переменных ей. 4 4. Примеры моделей пластических тел В качестве одного из примеров моделей пластических сред рассмотрим следующую модель идеально-пластического тела.
Примем, что частица среды ведет себя как Условие пластичности упругое тело, если касательное напряТреска жение р, на любой площадке меньше некоторой известной величины ее, и как пластическое тело, если касательное напряжение хотя бы на одной площадке в рассмариваемой точке равняетсяй. Постояннанй вообще различна для 15" 452 Гл. Х. Теория нластнчностн моделей различных конкретных материалов и моксет зависеть от температуры. Таким образом, постулируется, что свойства пластичности наблюдаются в тех точках тела, в которых (4 1) = и.
рх хсвх Условие (4.1) носит название условия пластичности Треска. В пространстве напряжений уравнение поверхности текучести в этом случае имеет вид 1 = ср (р") — й = О, (4.2) где ю (рн) представляет собой выражение максимального касательного напряжения р,,„в данной точке среды через компоненты тензора напряжений рп. Найдем вид функции р (ри) и ориентаПлощадки максвмааьных цию площадок, на которых в данной точке касательных нан яженнй тела достигаются максимальные касательные напряжения. Обозначим через р', р', ре главные компоненты тензора напряжений.
Рассмотрим сначала общий случай, когда р', р', ре различны между собой, а нумерация главных компонент тензора напряжений установлена так, что (4.3) р') р') р'. Составим выражение для квадрата касательного напряжения р„действующего в рассматриваемой точке на произвольной площадке с нормалью п (п„пх, пс) (4.4) Р'=Р— Р х и пп' Направив оси координат х', хх, х вдоль главных направлений тензора напряжений в данной точке, можем, очевидно (см.
(3.20) гл. 111), написать, что (4.5) р„' = р' п,' и р„'и = (р'пх)'. Сформулируем теперь задачу определения ориентации площадок, на которых в данной точке достигается р,с„„, как задачу отыскания таких направляющих косинусов нормали к площадке, для которых выражение (4.6) р,' = р' п' — (р'пс)х при условии, что Ф(л') = л~+ л', + па — 1 = О, (4.7) 1 4. Примеры моделей пластических тел 453 достигает максимального значения. Поставленная задача яв- ляется обычной задачей об определении условного экстремума функции (4.6). Для решения этой задачи составим уравнения Эйлера д (рз+ ХФ) =О дкз где )з — множитель Лагранжа. Уравнения (4.8) в раскрытом виде записываются следующим образом: р' и, — 2(рзпз3)р'и, 1-) из = О, р' пз — 2 (рйзз) рзп, + ) и, = О, (4.9) рззп 2 (р'пт) рзп сп )зиз = О. Очевидно, что эта система вия (4.7) имеет решения: и, = пз = О, пз = и, = О, пз = и, = О, уравнений при соблюдении усло- пз = 1, ).
= (Рз)з, пз = 1, ) = (р ) и, = 1, Х = (р')'. Эти решения следует отбросить, так как они соответствуют главным площадкам, на которых касательные напрязкения отсутствуют, т. е. р, достигает минимума. Покажем теперь, что система уравнений (4.9), (4.7) не имеет решения, в которых все три направляющие косинуса и; отличны от нуля. Уравнения (4.9) в этом случае можно записать в виде рз' — 2(р'пДрз'+ ). = 0 () = 1, 2, 3).
(4ЛО) р р=О, Исключив из уравнений (4ЛО), соответствующих у = 1,2, параметр Х с помощью уравнения (4.10), соответствующего ) = 3, получим уравнения (рз рз') 2 (рзиз) (рз )зз) О (4Л1) (р' — р' ) — 2 (рзпз) (р' — р') = О, которые в силу сделанного допущения (4.3) эквивалентны сле- дующим равенствам: з ) Р з 2 ( р з з ) р' + рз — 2 (р'из) (4.12) Отсюда получаем Гл. Х. Теория пластичности Рг + Рз 2 (Ргп,г + эзпзг) 0 (4.13) Из условия (4.7) в этом случае имеем пз — — 1 — пг, г г (4Л4) а пз должен определяться из уравнения (рз — рз) (1 — 2п',) О. (4.15) Следовательно, искомое решение имеет вид 1 п, = О, -~- и, = пз = =. Уй Аналогично получаются решения 1 — 'и =п ==, г — з= 1 + и, = пе =— г (4ЛО) пз — — О. Каждое из этих решений определяет две площадки, проходящие через одну из главных осей тензора напряжений и наклоненные к двум другим осям под углами 45' и 135'.
Подставляя (4Л6) в (4.6), получим искомые экстремальные значения касательных напряжений 1 з р-г — З ' р г — з ' ргз Экстремальные касательные напрян<ения равны полуразностям главных напряжений, действующих на двух площадках, пересекающихся вдоль той из главкых осей тензора напряжений, через которую проходит рассматриваемая площадка, экстремального значения р,. При условии (4,3) наиболыпим по величине будет напряжение Рг Рз (4Л8) Если, например, Ф =-р')р', что противоречит неравенству (4.3).
Поэтому необходимо искать такие решения сиотемы уравнений (4.9), (4.7), в которых один из направляююих косинусов пг равен нулю, а два других отличны от нуля. Пусть и, = О, а и, + 0 и и, + О, Тогда первое из уравнений (4.9) удовлетворяется тождественно, а два других сводятся к уравнениям (4.10), соответствующим ! = 2, 3. После исключения Х из этих уравнений и сокращения на р' — рз получим 5 4. Примеры моделев пластических тел 455 то поверхность тензора напряжений будет поверхностью вращения вокруг осик.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
