Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 80
Текст из файла (страница 80)
(В ньютон ианской механике э'е(З'д»д»,Г) и т' (Зт, З», $», г) — радиусы-векторы подвижных точек среды,) Квадрат длины материального отрезка, определяемого бесконечно малым вектором с компонентами И~»„дс», дь», в начальном («недеформированном») состоянии равен оз» =- у»»П$Щ', в конечном (деформированном) состоянии оЪ' = б»ф~Щ>, а в промежуточном, соответствующем полной разгрузке, 422 Гл. Х.
Теория пластичности Ю 3) тензоры полных деформаций е' = зчэ'э' и Ь' = енэ'эЭ с компонентами 1 2 (2. 3) Таким образом, при научении действительного процесса доформирования для каждого момента времени наряду с полными деформациями можно рассматривать пластические, т. е. те, которые остались бы в частице, если бы ее из данного состояния полностью разгрузить, и упругие деформации, т. е.
те, которые снимаются прн такой разгрузке и воэникаэот вновь при повторном нагружении — при переходе от «разгруженного» состояния к актуальному напряженно-деформированному состоянию, Отметим сразу, что путем снятия всех внешних сил не всегда можно реализовать «разгруженное» состояние в теле конечных разморов, Действительно, при снятии всех внешних нагрузок в теле могут все >ко остаться внутренние напряжения. В частности, такая ситуация получается в примере, рассмотренном в 2 2 этой главы. Если в таких случаях все же ввести мысленно для каждого малого элемента тела разгруженное состояние так, чтобы сплошность всего тела не нарушилась, то точки объема тела образуют некоторую область У* в неевклидовом пространстве, поэтому метрика лн, вообще говоря, будет неевклидовой.
Компоненты метрического тенэора ля или тенэора пластических деформаций 2 з«"; = — (лн — ля) можно рассматривать как физические характеристики состояния пластических тел. Помимо метрики, можно вводить еще другие геометрические характеристики разгруженного многообразия в области $'* н наряду с лц рассматривать этн другие инвариантные характеристики как параметры состояния. Из формул (2.1), (2.2) и (2.3) видно, что при таком определении тенэоров пластических, упругих и полных деформаций для ковариантных компонент этих тензоров в лагранжевой системе координат верно равенство з;, = е,';+ з;'ь (2.4) т.
е. полные деформации равны сумме упругих и пластических. Отметим, что для конечных деформаций зто свойство аддитивности не выполняется для компонент с другим строением индексов в лагранжевой системе координат, а также для компонент с любым строением индексов (в том числе и чисто ковариантных) в системе отсчета, Это связано с тем, что (2.4) связывает компоненты тензоров в разных базисах, хотя и в одной 1 2.
Остаточкые деформации. Поверхвссть патружекпя 423 Поверхиость вагружевия вли поверхлость текучести г) См. Л. И. С е до в, Введение в механику оплошкой среды, Физматгиа, 1962, стр. 248. ') Это окределевле понятия пластичности к предела упругости можно усложиятьд вавример, можно принимать, что пределы упругости зависят ие только от авачевия самих вапряжепий, по и от их градвевтов, от температуры и других различных параметров. ') Преобрааоваиия пространственной системы координат л, у, х видуцируют соответствующие частвые преобрааовавия координат рй в девятимериом или в шестимериом простравствах напряжений. и той же лагранжевой системе координат г). В случае бесконечно малых относительных перемещений с точностью до малых высшего порядка можно считать, что равенство (2.4) выполняетгя для компонент с любым строением индексов и в любой системе координат. Простейшее определение свойства пластичности состоит в том, что пластические деформации в отличие от вязких появляются только в том случае, когда напряжения превосходят некоторый предел (предел упругости')) При достаточно малых напряжениях материал водет себя как упругий (или как жесткий, если упругими деформациями пренебрегают).
В связи с указанным основным свойством пластической среды в пространстве напряжений, т. е. в девятимерном пространстве, точки которого задаются аначениями компонент тепзора напряжений рл, можно отметить область л) р такую, что если для данного процесса точка рп лежит строго внутри области л)ю то частица ведет себя как упругое тело. В противном случае в частице могут возникать пластические (остаточные) деформации. Граница Х р области л)р представляет собой совокупность пределов упругости для всевозможных напряженных состояний, Компоненты тензора напряжения рЦ, взятые в декартовой пространственной системе координат л, у, х, можно рассматривать как декартовы координаты точек в области Юю В девятимерном евклндовом пространстве») ря в общем случае область л)р девятимерна, так как упругие напряжения могут быть в известной степени произвольными, а Х р восьмимерна, Область Хр симметрична, если рй = р»г, поэтому в этом случае можно рассматривать только шестимерную область Ю„ с пятимерной границей Хр в шсстимерном пространстве с координатами р", р", р'», ртт, р", р'».
Граница области Т» поверхность — Х р называется поверхностью нагружения или поверхностью текучести. Обычно при рассмотрении упрочкяющихся материалов используется название «поверхность нагружения», а при рассмотрении идеально-пластических материалов— название «поверхность текучести», Гл. Х. Теория влаотичиости Идеально-нлаетичееиие среды и среды е уиро- чнен нем Теперь можно дать общее определение идеально-пластических и упрочняющихся материалов. При одноосном растяжении предел упругости (предел текучести) — предельное значение растягивающего напряжения— для идеально-пластического материала представляет собой постоянную, которая не зависит от величины пластической деформации, но может зависеть от температуры Т в, возможно, еще некоторых других параметров физико- химической природы рм не связанных непосредственно с деформациями (обычный вариант теории).
В то же время для упрочпязощегося материала предел упругости при одноРл л оспом растяжении изменяется при пластическом деформировании даже при постоянных Т и р;. В соответствии с этим в общем случае назовем упруго-пластическую или жестко-пластическую среду идеально-пластической, если для всех процессов доформирования, происходящих без изменения температуры и физико-химических свойств среды, поверхность Т.р в пространстве ря представляет собой фиксированную поверхность, и упрочняющейся, если Хр меняется при изменении величины пластических деформаций. При пластическом деформировании (деформировании с изменением величины пластических деформаций) с непрерывным переходом от упругих состояний к пластическим напряжения рп всегда изображаются точкой на поверхности Хр, т. е. в каждый момент времени совпадают с одним из пределов упругости (см.
для примера диаграмму одноосного растяжения, рис. 147). При изотермическом пластическом деформированяи идеально-пластического тела (и при постоянных )ь;) точка ри лежит на фиксированной поверхности 2; р или перемещается вдоль нее. При изотермнческом пластическом деформировании тела с упрочнением (при постоянных и,) изображающая состояние частицы точка в пространстве напряжений рп увлекает аа собой поверхность Т,ю которая перемещается в пространстве напряжений вслед за напряжениями, соответствующими процессу, в котором возникают пластические деформации (рис. 148, б).
$2. Остаточвыс деформации. Повврхиость пагружеиая 425 Уравнение поверхности текучести Х р для идеально-пластического материала можно записать в виде (2.5) ((р>1, у,.1, Т, уч) = О. л,, б) Рис. 148. Пластическое дсформированве ыдеальиопластичвского (а) и упрочияющегося (б) материалов. Из определения упрочняющихся материалов следует, что форма и расположение поверхности нагружения Е р в пространстве напряжений должны зависеть не только от ра>, Т, р;, но и от некоторых других параметров, обусловленных величиной пластических деформаций. В число таких параметров могут входить непосредственно компоненты тензора пластических деформаций з>>и Кроме е,"; или вместо них в качестве параметров, определяющих упрочнение, можно взять параметры >(„>(а,..., >(в, которые могут быть связаны с остаточнымидеформацнями з>1~ раалнчными, в частности неголономными, соотношениями.
Следовательно, уравнение поверхности нагружения для упрочняющнхся материалов можно записать в виде ) (рп>, у„, Т, рь ен, 1(,) —.- О. (2,6) Функция ~ называется функцией текучести или Функцией. наеруж ения. Если среда изотропна, то переменные илн постоянные физико-хнмнческие параметры р,— скаляры.В етом случае функция / зависит от тензора напряжений только через его инварианты (при р'> = р>' независимых может быть только три инварианта).
Отсюда легко получить соответствующие условия симметрии, которые должны быть присущи области Юр и поверхности текучести Х р для нзотропных идеально-пластических материалов. 4гз Гл. Х. Тв оркя пласткчноств В дальнейшем будем всегда считать, что знак функции выбран так, что внутри Я)ю т. е. в области, где материал ведет себя как упругое тело, имеем (2.7) Олрелелеппе процессов пластического пагруткввпя и разгрузки а для материала с упрочнением Н'1=;- —.~ пТ .г —,. Ырп+ д а'р; ~0. (2.9) дрч Ф3 При разгрузке, по определению, ое5=0, НХ,=.О, (2.10) Пластичоское нагружение определяется как процесс, в котором 1=0, 01=0, (2. И) причем для идеально-пластического материала г1= — ат+ —..
(р + — ар,, д1, д1 г, 1 дУ дрн д~6. (2,12) а для упрочняющегося материала Ф1 Для упрочняющихся материалов вводят также понятия активного магружения как процесса, в котором (2Л4) Дадим теперь определение процессов пластического нагружения и разгрузки. При одноосном растяжении разгрузка — это уменьшение величины рьп Прн произвольном деформировании разгрузка определяется как процесс, при котором точка ри в пространстве нанряженяй перемещается с поверхности Хр внутрь области Ур. Очевидно, что при этом некоторые нз компонент рс могут возрастать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
