Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 77
Текст из файла (страница 77)
1Х. Теория упругости 404 —" — (йе — г4д = О (10,25) где (10.20) В соответствии с условием при у-+- со следует потребовать, чтобы йз — У4> О, Ьз — л'3> О, (10.27) поверхности полупространства (рл =- 0 прн у =- 0) имеют вид р",'= — рм=О р,'"= — р„=О р = — рэли=О (10-22) Если использовать закон Гука, выражения зы через ьо в случае бесконечно малых деформаций и формулы (10.19), выражающие компоненты и~ через потенциалы ~р и ф, то можно легко установить, что третье условие удовлетворяется автоматически, а два первых приводятся к виду ,+ — .—,— .'- 1 л дар л е е дг(р д'-ф а,—,—,'-(а, — 2а.,) —,— 2а.',— ~ =О, ' дуз ' ' д*' ' дхдд Л=е — '..1 дьо д'Е д"-ф 1 — + —., — — —,,'~ =о.
дх ду дч'-' дх" !л=-о Кроме краевых условий (10.23), для получения конкретных решений уравнений (10.20) и (10.21) необходимо воспользоваться еще дополнительными условиями о поведении решения при у — ~- и х-+. -- и, вообще говоря, начальными условиями. Можно также изучать установившиеся стоячие илн прогрессивные волны и т. п. Существование поверх- Покажем, что среди решений поставленностных воли Ревев ной задачи имеются решения, которые представляют собой поверхностные волны.
Для етого рассмотрим плоскопараллельное двия;ение при отсутствии внешних сил, соответствующее распространению вдоль положительной оси х прогрессивной синусоидальной волны с частотой ы, волновым числом Й и апплитудой, зависящей от у, т, е. предположим, что ф еде — и ( (у) ф едлх- и 4~ (у) (10.24) и будем искать такие решения волновых уравнений (10.20) и (10.21) (при Ф и Ч' равных нулю), которые убывают с ростом расстояния от свободной поверхности, т. е.
при у-+- с . Подставив (10.24) в (10.20) и (10.21), получим следующие уравнения для определения функций / (у) и д (у): 405 1 10. Уаругне волны в изотропной среде так как в противном случае / и // будут порноднческими функНиями от у и условие при у -+. со не удовлетворится, не получится поверхностной волны. Из условия (10.27), вытекает, что скорость м й2 йс с= — = аа — — — ас— й й й поверхностной бегущей волны должна быль меньше скорости распространения объемных поперечных волн ас ~ а„. Коли ввести обозначении /сз — /сс = г-', йз — й = ес, (10. 28) то общие решения уравнений (10.25) можно записать в виде / = Ае-'"+ А е'", д = Вес'а —,— В е'", 1.
— 1 где А, В, А и  — постоянные. Очевидно, что:1„н В необходимо положить равными нулю, так как иначе возмущения в упругой среде прн у -е- будут возрастать. Для ср и ф получаются следующие выражения: ср = Аессм™ь"", ф = Вед» вЂ” о- б (10.29) Рассмотрим теперь граничные условия (10.23) при у = О. П случае решения (10.29) они сводятся к двум однородным уравнениям для А и В: а~се'А — (ас — 2а,)Ай' + 2ассВсйе = О, — 2Ас/сг + (с' + /с')В =- О. Подставив сюда выражения для г н з из формул (10.28), получим А 2йе — — ".' й';1+ йсВй Уйэс й-', = О, (10.80) — 2Асй )/ йз — /с, + В (2/с' — /сс) = О.
Условие совместности этих уравнений, т. е. обращение детерми- нанта этой системы в нуль, дает уравнение ( 2Й вЂ” — , 'Й,') ай — А',) = о' Ф Ес — Ф 1 Ф вЂ” ч1, се которое с учетом обозначений (10.28) и — = с = — приводится к виду 40ь Рл. 1Х. Теория упругости Равенство (10.31), т. е. условие существования поверхностных волн, является уравнением для определения скорости а = 1/О распространения таких волн.
Это уравнение называется уравнением Рэлея, который установил существование поверхностных волн в упругих телах. Покажем, что при заданных ат и а, уравнение Рэлея (10.31) имеет единственный действительный положительный корень, удовлетворяющий условию с( а2, т. е. покажем, что вблизи свободной поверхности полупространства, занятого любой изотропной упругой средой, характеризующейся постоянными )2 и 22, могут распространяться поверхностные волны рассматриваемого типа и что скорость распространения этих волн единственным образом определяется значениями параметров Ламе 12 и р.
Существование корня уравнения (10.31) непосредственно вытекает из того, что левая часть (19.31) положительна при 0 = 1~па и отрицательна при 0 — 2- а, так как разложение ее в степенной ряд в окрестности бесконечно удаленной точки, начинается с члена Единственность этого корня следует из отрицательности произ2 одной левой части уравнения Рэлея в промежутке 1/аа ( О< аа. Действительно, эта производная равна 80[202 — —,1 — 80 ),~ 02 — —, ~Г 02 — —,— а," аа 22 4 402 0' —— 492, 1 22 1/92 — —— 2 аа 1 ~/ 22 2 Ва [( а — —,))/Н' — —,)22 22 — —,— ( — —,) (2' — —,)) Π— — В~ — — „ 492 (~Š— —, — —,) 1 1 1 10, Упругие волны з пзотроппой среде 407 ()/в — — ', )/в — — — в (в: ')) в ( з ) аз аз з 3 48з Первое слагаемое этой сулыгы отрицательно, тик как (в — — ', ) - )/в — — ', )/в — — ', а второе,— так как среднее арифметическое величин 0' — (1/аз) и 0' — (1/аз) всегда болыпе их среднего геометрического, т.
е. (зв*- ', — ',) >з~ ' в — — ', )/в — ', . Приведем теперь данные, из которых следует, что скорость с распространения поверхностных волн близка к скорости аз распространения объемных поперечных волн. Возведя уравнение Рэлея (10.31) в квадрат н выполнив необходимые простые преобразования, получим в зд / ав $ Если ввести отнотпение $ = — = = —, то уравнению аз лаз 0аз (10.32) можно придать вид Скорость расироетреиеиип поверхностных волы ~е — 8$в -)- 8~з 3 — 2 — ', ~ — 16 (1 — —,', ) =.= О. (10.33) ав/ 'з / а то $ зависит только от соответствуво гдето коэффициента Пуассона среды.
Изотермнческий коэффициент о для всех известных материалов меняется в пределах от 0 до 1/2, отношение оз/аз Птсюда видно, что отношение $ зависит только от отношения аз/аз, которое постоянно для каждой данной упругой среды. 'зак как по (10.12) Гл. 1Х. Теория упругости при этом меняется в пределах от 1/)г 2 до О, а з, являющееся корнем уравнения (10.33),— в пределах от 0,874 до 0,955. На рис. 136 приведен график') зависимости $ от о. Рпс. 136. Зависимость отпошеппя скорости распространении волн Раяея к скорости поперечных объеогпых яозн от коеффпцпепта Пуассона.
Очевидно, что скорости распространения упругих волн а,, и и е не зависят от длины волны нлн от частоты колебаний, поэтому в упругой среде отсутствует дисперсия волн. Вычислим теперь компоненты вектора пеФоРмуны Длн пероне'Ненни ремещений иг, соответствугощне потенциа- лам (10.29) поверхностной волны. Ио (10Л9) и (10.29) имеем ге =- — + —:=-.
(Лгусе- тг — Ве -"') ек" ''--'* г, д.т ' дп д д и, = — — — = — — (Аге ™ г' Вг)се-мг) еггс™гг. т дп де Отношение постоянных Л я В согласно (10.30) вырагкается через $ следующим образом: — — "' — — 5 Ь вЂ” ' Р', (10.34) 2+бе ' 2+юг и постоянно для данного материала. Нользуясь (10.34), для компонент перемещений в поверхностной волне получим следующие выражения: юг = В (6(се ся — ее-ся) едем- о (10. 35) гет =- В1 (Ъге се — йе-"г) егге — гг где г и е выражаются через )с, а„а, и ег, а й при заданной частоте ы для данной среды единственным образом определяется ') Здесь принято, что е„с 1 10.
Увругие волны з изотропиой среде 40в значением скорости с распространения поверхностной волны или величиной Рещение задачи о распространении в направлении положительной оси х поверхностных вблизи свободной границы полу- пространства волн с произвольной частотой гэ и амплитудой В полностью построено. Аналогичное решение существует для волн, распространяющихся в отрицательном направлении оси х. Посмотрим, на каком расстоянии от границы полупространства у .=- 0 заметно сказываются смещения, вызванные поверхностнымн волнами. Для этого, очевидно, достаточно рассмотреть, как убывают с ростом ! у ~ множители е-аа и е '", Если, как обычно, назвать глубиной проникновения уг глубину, на которой амплитуда волны падает в 1/е раз, то у, = (1/г) для части перемещений, связанной с расгпнрением частиц среды, и у, =- (1~э) для части перемещений, связанной со сдвигом частиц.
Имеем 1 1 р гэас г у" „ 1 О ааковах убывания возмущений в волнах Рэлен ~~г Ьа — —, Г аа где Л вЂ” длина волны расширения, и 1 1 1 1 Л а где Л вЂ” длина волны сдвига, которая согласно граничным условиям равна длине волны расширения. В случае о = 1(2 получим Л Л Рг10 у .= у, г эаа 2л ' ° гсав= 2л Отсюда ясно, что глубина проникновения составляет только часть длины волны Л иразлнчна для различных частей поверхностной волны.
Смещения, соответствующие двумерным поверхностным волнам, составляют основную часть наблюдаемых при землетрясениях смещений слоев Земли, так как при удалении от эпицентра землетрясения объемные волны, распространяясь внутри Земли, значительно ослабевают. Поверхностные волны при землетрясениях приходят в место наблюдения несколько позднее поперечных пространственных волн, первыми приходят продольные пространственные волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
