Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Коэффициент с в формуле (10.3) можно истолковать как теплоемкость при постоянных деформациях. Действительно, в теории упругости имеем Т с(з 11(е) 1 10. Упругие волны н иеотропной среде и, следовательно, с помощью (10.4) получаем Закон Гука согласно (2.25) и (10.5) в случае адиабатических процессов можно переписать в виде рн = [Х+ ~1,(е„а) рм+2ре —— (мЗХ+гр тс 7 = )сал)'г (заа) фн + 2)гемч (10.
6) где введено обозначение (ЗХ + 2р)с агре аа = рс (10.7) Ясно, что уравнения Ламе в случае адиабатических процессов имеют тот же вид (10.1), что и в случае изотермических процессов, если под )се них понимать Хал. В дальнейшем ради простоты письма вместо Х,д будем писать просто а и пользоваться обычными уравнениями Ламе (10.1), помня, что они годятся не только для описания изотермических процессов, но и адиабатических процессов в упругих телах, если в них а, равно Хаю Рассмотрим теперь распространение плоской упругой волны в неограниченной изотропной среде, т.
е. волны, в которой перемещение ес зависит только от одной иэ декартовых координат, например, х, и времени 1. Ради простоты предположим, что массовые силы К отсутствуют. В этом случае для компонент вектора перемощения гп из (10.1) получим следующие уравнения: Продольные н поперечные плоские волны дьсг 1 дсюг дхе е ди ад (10.8) д'иг 1 дсюс дсюс 1 дсюс дх' е дсе ' дхе е др ае а (10.9) где а, = )/ Р (10.10) ае = ~/ р . Р (10.11) Уравнения (10.8) и (10.9) представляют собой обычные волновые уравнения, величины а„и а, являются скоростями распространения возмущений (см.
1 17 гл. Ъ'П1). Видно, что скорости Гл. 1Х. Теория упругости распространения возмущений компоненты перемещения ш и компонент нз«и и~«различны. Следовательно, плоская упругая волна представляет собой две независимораспространязощиеся волны. В одной из них смещение (ш ) совпадает с направлением распространения самой волны. Такая волна называется продольной и распространяется со скоростью ам В другой смещение (го' = и«1 -( ш«й) лежит вплоскости, ортогональной к направлению ее распространения. Такая волна называется поперечной и распространяется со скоростью а,. Таким образом, в упругой среде существуют две скорости звука. В том случае, когда коэффициент Ламе и равен нулю, а, .= О, т.
е. поперечные волны не могут распространяться в упругой среде, в которой отсутствуют касательные напряжения. Для воздуха а, = 330 мосек, аз = О, для железа иг =- ТООО м,'с«и, а, = 3200 м/сеи. Иногда полезно рассматривать отношение двух скоростей звука — и- = ~Г2 — — ', (10.12) где а — соответствующий коэффициент Пуассона. Отмотим,что ага«не зависит от плотности р и соответствуюп1его модуля 10нга Ю упругой среды. В поперечной волне яе происходит изменения обьема частиц среды, так как в ней ш, =- О, а ш« и из не зависят от у и г и, следовательно, йт гп .= О.
Но в поперечной волне, как легко проверить, го$«о + О, и поэтому поперечная волна сопровождается «вращением» частиц среды. Напротив, продольные волпы сопровождаются изменением объема частиц среды (гйт «о = = ди«!дх+ О) и не сопровокздается их «вращенномэ (го« «и = 0). Разделение упругой волны на две незаПроетраистиенвые иохим виснмо распространяющиеся части можно провести и в случае произвольной (не- плоской) волны, распространяющейся в безграничном пространстве. Для этого сначала заметим, что вектор массовых сил, как и всякий другой вектор, мозкно представить в виде суммы двух векторов (см.
3 25 гл. згП!), один из которых является потенциальным, а другой — соленоидалькым: хз = афтаб Ф + гоь Ч«, (10.13) причем, не нарушая общности, можно принять, что д1т«Р = О. Допустим, далее, что мы ищем непрерывные дифференцируемые решения уравнений Ламе (10.1) во всем пространстве в виде (10.14) ив = ягаб ср+ гоЬ «р, 1 10. Упругпв волны в взотропяой среде 401 где ~р — скалярньш, а ф — векторный (гИг ф =- 0) потенциалы перемещения то. Подставив (10.13) и (10.14) в уравнение (10.1) (при (р = сопз1), получим дг~р З дгаг1 ~(Х+ 2р) Л~р+ рФ вЂ” р —,, ~ -';.
+гоВ(рЛ~>+ рФ вЂ” р д, ~ = О. (10.15) Взяв от обеих частей этого равенства операцию дивергенции, будем иметь Л~() ~ 2р)ЛГ ( РФ р и ) 0 дрч дп 1 т. е, функция (Х + 2р) Л~р -). рФ вЂ” р —, является непрерывной гармонической во всем пространстве и, следовательно, может быть либо постоянной величиной, либо некоторой функцией времени 1 (1). Но нарушая общности, функцию 1 (1) люжно считать равной нулю, если вместо потенциала гр ввести потенциал 1 Г ф =<( ~~(г 1)у(г)Ар. Р о Таким образом, для определения потенциала ~р получается уравнение 1 д'~р 1 Лр — —,„—,, = — —,Ф. (10.16) аа дн ав 1 1 Аналогично, если от обеих частей соотношения (10.15) взять операцию ротации, то получим го1 гог ~рЛф -( огР— р —,~ = О, д'ф З дР э' но по известной формуле векторного анализа (см.
1 25 гл. У1П) гоС гог А = нгаг) Йг .4 — ЛА. Отсюда, если вектор А соленондальный, то го1 го1 А =- — Л.4. 1 д гад 1 2 ав дн в в 2 (10.1Т) Следовательно, в рассматриваемом случае непрерывный вектор д*ч рЛф + ргвг — р дг, является гармоническим вектором во всем пространстве, поэтому в безграничном пространстве получим, что векторный потенциал ф перемещений удовлетворяет уравнению Гл. гХ. Теория упругости Волновые уравнения в случае плоской аадачи и соответственно для перемещений тп (10.19) Легко видеть, что для заданных векторных полей а." и то функции Ф, Ч' и ~р, ту легко определяются из решения уравнений Пуассона, которые получаются из (10.18) или (10.19) после соответствующего дифференцирования и исключения одной из искомых функций. Аналогично уравнениям (10.16) и (10.17) уравнение Ламе (10.1) в случае плоской аадачи приводит к двум вообще Непосредственно очевидно, что формула (10.14) представляет собой решение уравнения Ламе (10.1), если Ф и ф являются произвольнымн решениями уравнений (10.16) н (10.17).
Уравнение (10.16) является обычным неоднородным волновым уравнением и, следовательно, часть тп перемещения тв, соответствующая скалярному потенциалу Т, переносится в пространстве со скоростью а,. Волна, распространяющаяся со скоростью ам сопровождается изменением объема среды и является безвихревой волнои сжатия или расширения.
Уравнение (10.17) также является неоднородным волновым уравнением и показывает, что частьтое перемещения то, соответствующая векторному потенциалу тр, перемещается в пространстве с другой скоростью ае. Эта волна является вихревой и не сопровождается изменением объема частиц, она называется волной сдвига, Волны сдвига и расширения наблюдаготся при землетрясениях, и по разности зарегистрированных значений моментов прихода возмущений от этих волн в пункт наблюдения Аг можно с большой степенью точности судить о расстоянии Ь до эпицентра землетрясения, так как М=Ь(' — — — ). г1 1г ,а. а1) ' Применим изложенные выше общие соображения к частному случаю плоской задачи в плоскости ху, когда составляющая массовых сил Р, н составляющая перемещения и~с равны нулю и все движение не зависит от координаты г. В случае плоской задачи общие формулы (10.13) и (10.14) в компонентах на декартовы оси координат можно записать в более простом виде через две скалярные функции от х и р.
Для внешних массовых сил Х' имеем Р = + —, )т = — — — (10.18) дФ дЧ' дФ дЧ' дх ду ' е ду дх $10. Упругие волны в кзотрозяой среде неоднородным скалярным волновым уравнениям для ~р и >(>> дЧр, дЧр 1 д-р — + — — — —,= — — Ф дх' ' д1>' > дм а а а (10.20) дчР д2 Р т ~-ф (10,21) дх'"' др"" аа дп Таким образом, аадача о распространении упругих волн в изотропной среде в безграничном трехмерном пространстве и в случае плоской задачи сводится к интегрированию двух обособленных волновых уравнений. Отсюда видно, что в однородной, изотропной, упругой среде, заполняющей безграничное пространство, любое малое возмущение может быть представлено с помощью наложения волн расширения и волн сдвига.
Если среда неоднородна или занимает ограниченную часть пространства, то могут возникать другие типы волн, например волны, распространяющиеся в окрестности границы среды. Такого рода волны будут рассмотрены ниже. Решения задач о распространении упру- Граничные условия гих колебаний в ограниченном пространот напряжений стае также можно строить с помощью реповерхяоств шения краевых задач для волновых уравнолупростраиства пений (10.16) и (10.17) или (10.20) и (10.21).
Однако вопрос о разделении упругих волн на волны сдвига и расширения в ограниченной упругой среде осложняется требования>я> учета граничных условий. Граничные условия могут связывать различные части упругой волны и наличие границ может порождать взаимодействие и расщепление волн. 1!аиболее простыми типами граничных условий являются такие, когда на граннце упругого тела перемещениягп или напря>кения р>" равны нулю (случай неподви>кно закрепленной или свободной поверхности упругого тела соответственно). Если поставить плеску>о задачу об определении упругих волн в ограниченном пространстве как задачу интегрирования волновых уравнений (10.20) и (10.21), то необходимо записать граничные условия через потенциалы ~р и >)>.
Общая задача о распространении упругих волн в ограниченном пространстве довольно сложна. Рассмотрим постановку частной плоской задачи (в плоскости ху) о распространении упругих волн в упругой среде, занимающей все полубесконочное пространство у ) О, когда на границе у = 0 напряжения обращаются в нуль. Граничные условия на свободной Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
