Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 71
Текст из файла (страница 71)
На одной из этих кривых, например на внешнем контуре С, можно положить,~у равной нулю. Для получения единственного решения в постановку задачи при этом можно ввести условия, которые являются следствиями однозначности смещения юе=- а/ как функции координат. Именно, интеграл от дифференциала функции кручения / по любому замкнутому контуру С~ должен быть равен нулю. Поэтому, в частности, для внутренних конутров Ск, ограничивающих поперечное сечение, по (7.23) будем иметь Гл.
1Х. Теория упругости 368 Отсюда, воспользовавшись формулой Гаусса — Остроградского, получим д с(з 2~и~ дЯ (7.29) где Я» — площадь, заключенная внутри контура Сг, а д$7дп— производная по направлению внешней нормали к контуру Са в плоскости поперечного сечения стержня. г!сне, что функция напряжений (7.27), которую в полярных координатах моясно записать в виде ла — г~ У(х, у) удовлетворяет условию (7.29), если мы примем за контур Сг окружность некоторого радиуса Л, ( Л с центром в начале координат, и, следовательно, является функцией напряжений в случае кручения цилиндрической трубы внешнего радиуса Л.
Заметим, что решение уравнения Пуассона (7.25) в этом случае может содерясать член вида А 1п г (А = сопз1), который исключается для искомого решения с помощью условия (7.29). Функции 7, ф и К легко вычислить Менбраняая аналогия только для небольшого числа простейших областей, в то время как в технике используются работающие на кручение стержни весьма сложного поперечного сечения. Некоторые интересные данные о кручении стержней можно получить, пользуясь различными аналогиями, возмоя<ность проведения которых связана с тем, что математические задачи, поставленные для определения функций (, ф и л, встречаются и во многих других разделах математической физики.
В частности, можно установить аяалогию меясду задачей определения функции ~~ и задачей определения прогибов мембраны с постоянным катях<опием, возникающих под действием равномерно распределенной по ее поверхности нагрузки. Выведем уравнение для прогиба такой мембраны. Мембраной называется упругое тело, имеющее вид тонкой пленки, не сопротивляющееся изгибу, но сопротивляющееся растяжению.
Пусть однородная мембрана постоянной очень малой толн1ины Ь защемлена по плоскому контуру С, имеющему форму контура поперечного сечения стержня, кручение которого исследуется, причем в области защемлеяия на мембрану действует повсюду одинаковое постоянное по толщине мембраны натяжение Т. При отсутствии других внешних воздействий напряженное состояние мембраны будет везде одинаковым, на каждой площадке, перпендикулярной к поверхности мембраны, действует нормальное растягивающее напряжение Т.
Если з 7. Кручение цилиндрических стержней 369 принять среднюю плоскость мембраны за плоскость хОу де- картовой системы координат, то матрицу компонент тензора напряжений при отсутствии внешних нагрузок на поверхности мембраны я =+-Ы2 моя<но записать в виде Т ОО ОТО 0 ОО Ьй= Рассмотризз теперь равновесие такой мембраны под действием равномерно распределенной по ее поверхности "= — Ы2 поперечной нагрузки о (параллельной оси з), когда поверхность з — Ы2 мембраны свободна от нагрузки. Предположим, что натяжение Т столь велико, что прогиб зд мембраны (ю=юз(х,у, я=-0)) можно считать малым. Дальше примем, что изменением компонент р„= р„= Т и р„= 0 тензора напряжений в результате приложения нагрузки д можно пренебречь.
Компоненты р,з, р,з и р,з будут малыми порядка и~, их следует учитывать. Единичные векторы нормали к внешней поверхности мембраны с точностью до малых первого порядка на разных сторонах мембраны направлены противоположно, а их направляющие косинусы равны деэ дм д„, д, соя(п, х) = -~- — = + —, соя(пз у) = —; — =+ —, — дз -- дз ' ' — '- ду -- ду' соя (и., ) = + 1, (7.30) + р„соя(п, у)+ диз з) = Т вЂ” — Рзз = О, де + рисов(п, у) л- дж з) = Т вЂ” — рзз — — 0 дз р" = р„соя(п, х) + р„соя(п, р — р, со (п,х) + р„соя(п, ь я= — ,' в 2 (7.31) р", = рп соя(п, х) + р„соя (и, у) + ь 2 ' ( — раз=у при г= рз= О при з= -~- рзз соя (и, г) = где верхние знаки соответствуют нормали к деформированной поверхности мембраны з =- — Ы2, а нижние — нормали к деформированной поверхности з =.= Ы2. Граничные условия для компонент вектора напряжений тз", действующих на элементе внешней поверхности мембраны с нормалью п, с точностью до членов первого порядка малости дают 370 Гл.
7Х. Теория упругости Напишем уравнения равновесия в напряжениях. Имеем дрм дрл , .дрет дг ди ' д Из первых двух уравнений следует,что компоненты напряжения р„и р,е не зависят от з, В связи с малостью производных диг/дх,ди/ду п Ь на освованпи (7.31) можно написать дю де р,, =Т вЂ”, р.„=т — ' (7.32) Проинтегрировав тротье уравнение равновесия вдоль оси з по толщине мембраны от — М2 до +Ь!2 с учетом (7.32) и (7.31), получим ') мч — " г)х = Т вЂ” Ь + Т вЂ”, Ь = — г7. дт дхс дуе — гие Следовательно, уравнение для прогиба мембраны ги имеет вид д д- (7.
33) д.гт ' дуг Ти Из условия закрепления мембраны на контуре С следует иг -=О на С. (7.34) Сравнив уравнения (7.25) для функции напряжений в задаче о кручении цилиндрического стержня и (7.33) для прогиба мембраны постоянного натяжения н граничнью усчовия (7.26) и (7.34) на контуре С, видим, что решение задачи о кручении цилиндрического стержня сводится к определению формы прогиба мембраны постоянного натяжения, когда (7.35) При атом, так как задача об опредечгпип гТ (7,25), (7.26) не содержит размерной постоянной, фиксируется единица измерения Ь. Совпадение уравнений (7.33) и (7.25) можно обеспочить выбором д и произведения ТЬ или выбором единицы измерения длины.
') Очевидно, что в рамках рассматриваемой приближенной теории величина ре, распределена по толщнне мембраны по линейному вакону, н ее зависимость от х к у определяется череа фуккщпо д (х, у), причем соотношения (7,32) н (7.33) установлены без непользования вакоца Гука, э 7. Кручение цилиндрических стержней 371 Мыльнаяпленка, благодаря наличию поверхностного натяжения, представляет собой мембрану с постоянным натяжением. Если к одной иэ ее сторон приложить малое постоянное давление и не допускать смещений точек ее границы, то прогиб будет удовлетворять условиям, которые налагаются на функцию напряжений д. Определяя из опыта прогибы пленки, получим экспериментальные значения функции напряжении !г.
Линии, на которых прогиб мембраны одинаков ((дпчдэ)==0), в задаче о кручении соответствуют линиям, в каждой точке которых полные напряжения, лежащие в плоскостях поперечных сечений стержня, направлены по касательной к ним. В самом деле, по (7.22) и (7.10) для таких линий имеем дж д~х д~х Ид дЯ' Ых д«дг ду д«д.«де = р,есоэ(п, х) -,'- р«эсоз(п, у) = т.и, где тс — нормаль к линии ((ди,'дз) — -- О) постоянного прогиба мембраны в плоскости ху. Вместе с тем / /дэг ««дХ,« ~-~= Ур,',+р.'~«= и ~' ( д ' + ( д ) =- р|а йд! и, следовательно, величина касательных напряжений пропорциональна ) огай,'7 ( или (драй пт ! и поэтому больше там, где линии равного уровня «д = сопзФ расположены гуще.
Таким образом, построив «топографическуюе картину линий равного уровня постоянного прогиба мембраны, можно получить наглядную картину распределения касательных напряжений в поперечном сечении стержня. Объем, заключенный между прогнувшейся мембраной н плоскостью контура, будучи умножен на 2ар, дает величину скручивающего момента ЛХ (см. (7.28)). г(ак увидим в последующем, аналогия с прогибом мембраны постоянного натяжения полезна не только в случае кручения упругого стержня, но и тогда, когда под действием скручиваю- щего момента материал стержня в некоторых частях поперечного сечения переходит в пластическое состояние.
Обратим внимание на то, что мембранная аналогия справедлива только при малых прогибах мембраны, и поэтому провести измерения с большой точностью довольно трудно. Трудности связаны также с тем, что прогиб, вызванный весом мембраны, обычно сравним с прогибом, возникающим в результате приложения к мембране небольшого давления. Рл. 1Х. Ч'сорил упругости Аналогия с течением вяакой жидкости Помимо изложенной мембранной аналогии для решения задач о кручении (цилиндрических стержней можно указать еще гидродинамические аналогии с течениями вязкой и идеальной жидкости.
Рассмотрим установившееся ламинарное течение вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе, поперечное сечение которой совпадает с поперечным сечением стержня. Как известно (см. 5 20 гл. У111), если направить ось г вдоль оси трубы и обозначить через ш скорость установившегося течения жидкости в трубе под действием постоянного заданного перепада давлений йр1Ыг, то из уравнений Навье — Стокса получается следующее уравнение для определения скорости: (7.36) здесь р — коэффициент вязкости жидкости. На стенках неподвижной трубы (контуре С) имеем условие прилипания ю.— -- О, (7.37) Сравнивая (7.25) н (7.36) и граничные условия (7.26) и (7.37), видим, что математические задачи об определении функции напряжений при кручении цилиндрического стержня и скорости течения ламинарного установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости в бесконечно длинной трубе, поперечное сечение которой одинаково с поперечным сечением стержня, под действием постоянного перепада давлений др/Нг совпадают, когда — —.
= — 2. 1 с~р н ~1г (7. 38) и граничное условие на контуре и„= — = (юхх)„= — юусоа(ж, х) + юх соз(п, у), до дп Возьмем цилиндрический сосуд, совпаАналогия с потенциальным дающий по форме со стержнем, кручение течением идеальной которого изучается. Пусть внутри этого несжнмаемой жидкости сосуда находится идеальная несжимаемая жидкость. Рассмотрим абсолютное плоскопараллельное потенциальное движение жидкости в плоскости ху поперечного сечения цилиндрического сосуда относительно неподвижной системы координат хОу при вращении сосуда с угловой скоростью о вокруг оси г.
Для потенциала у (х, у) имеем уравнение Лапласа $7. Кручение цилиндрических стержвей 373 которое совпадает с граничным условиеп (7.8) для функции кручения 7, если положить (7.39) Таким образом, задача определения функции кручения совпадает с задачей определения потенциала скоростей абсолютного плоскопараллельного движения идеальной несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе (стерясне), вращающейся вокруг оси з с постоянной угловой скоростью, равной') ( — 1). Приведем один из примеров использоЗависимость перемещений вания этой аналогии. Из вида формул закрепления в ило™скости (7.4) для перемещений ясно, что они поперечного сечения определяются так, что элементы стержня, стержня расположенные на оси з, не получают смещений в плоскости ху. Таким образом, положение начала координат в плоскости поперечного сечения стержня «закреплено».
Перемещения точек закручиваемого стержня будут различными для различных положений начала координат в плоскости поперечного сечения стержня, совпадающего по условию с точкой закрепления. Изложенная выше гидродииамическая аналогия позволяет легко представить себе перемещения в случае произвольного положения начала координат О', если известны перемещения для некоторого одного полон~ения начала координат О. Как известно, вращение вокруг некоторой оси гт с угловой скоростью ю в каждый данный момент времени эквивалентно вращению вокруг другой оси вы параллельной первой, с той же угловой скоростью ю и мгновенному поступательному движению со скоростью, равной скорости точек оси хт при вращении вокруг оси иж Обозначим через ~р потенциал скоростей движения жидкости, возникающего при вращении вокруг оси з„проходящей через начало координат О. а через ~р' потенциал скоростей, возникающих в результате вращения сосуда относительно другой, параллельной первой, оси иж проходящей в плоскости хОу через некоторую точку О с координатами х' и у'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
