Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Действительно, рассмотрим, например, задачу о равновесии тонкого заделанного на одном конце прямоугольного стержня под действием силы, приложенной на другом его конце (рис. И5). В этом случае при достаточно большой силе Р возможно неединственное решение задачи. Стержень может остаться прямолинейным или изогнуться, например, так, как показано на рис.
115. д Перемещения частиц стержня из положения а в положение 6 (и, в частности, относительные повороты) будут конечными. Не- единственность решения задачи в этом случае связана с неустойчивостью рассматриваемой упругой системы, проявляющейся Рис. Иб. Два воз- при достаточно большой величине приложенможвых положе- ной силы. Оказывается, что возможно несил»» стер'квя под колько положений равновесия, но не все действием сосредото,»сивой силы они устоичивы. С целью доказательства единственности решения статических задач линеинои тео- У авиеиие Плапей ва рии упругости установим теорему Клапейрона.
Возьмем уравнения равновесия для простоты в декартовой системе координат аро р,р' + †' — = о. дхг $5. Постановка задач теории упругости еи можно рассматривать как компоненты тензора деформаций, соответствующие малым перемещениям м2. Проинтегрировав (5.7') по всему объему У, воспользовавпгнсь теоремой Гаусса — Остроградского и тем, что р ю2в222с = (у")' и;<(с, получим )Рз(д' ~п) пт+ ~(22" тс) пс = )Рпз2;йт. (5.8) и дФ де. ' Тогда равенство (5.8) примет вид ~ро(й2 тс) 2Й+ ~(Ф'тв) <Ь = ~зя — с2т.
(5.9) й Это равенство представляет собой теорему Клапейрона. Оно верно и в том случае, когда рассматриваемая среда не подчиняется закону Гука. Однако, если тело'подчиняется закону Гука, то в случае изотермнческих процессов Ф можно считать однородной квадратичной"формой е;, (с точностью до'аддитнвной константы), т. е. Ф'= А2дпзмем + сспм. В случае изотропного тела, отбрасывая несущественную постоянную, имеем (см. (2.24)) 2 2+1 2 По теореме об однородных функциях получим зм — = 2Ф.
дФ м (5ЛО) Если ввести Я=2)Ф22т — полную свободную энергию тела г Это равенство, когда тс — мысленное бесконечно малое смещение, можно рассматривать как уравнение принципа возмоя2ных перемещений в теории упругости, эквивалентное системе уравнений (5.7). Пусть теперь тд представляет собой вектор перемещений, которые испытывают точки тела под действием данных поверхностных и массовых внепших сил. Для малых деформаций можно ввести (см. 3 2) свободную энергию единицы объема Ф = рзг" так, что Гл.
1Х. Теорня упругости в целом, то равенство Клапейрона (5.9) можно записать в виде ~ре(й' тс) <1т+ ~(1э" тс) <Ь = 2дь (5Л1) Это равенство представляет собой теорему Клапейрона для среды, подчиняющейся закону Гула. Если коэффициенты Ламе Х н р положительны (что подтверждается опытными данными), то свободная энергия Ф в случае нзотермических процессов в изотропной среде, подчиняющейся закону Гука, является дефннитной (положительно определенной) квадратичной формой. Положительная дефнннтность квадратичной формы Ф имеет место н в случае нензотропных тел. Докажем теперь единственность решения Едннетвеннееть решения указанных выше статических задач теории упругости типа 1, 11 и 111 в случае Т = Те и в предположениях, при которых справедливо равенство Клапейрона (5Л1) (среда подчиняется закону Гука, а относительные перемещения однозначны, непрерывны и малы).
Доказательство проведем от противного. Допустим, что поставленная задача имеет два различных решения: ес«>, еп<<>, рп<» н тс<п>, еп<п>, ря<п>. Рассмотрнм разности тс = тс«> — м><п>, ея = е<>«> — е<><п>, Рп = Рсрп — рс<п>. (5.12) Если первое и второе решения, согласно сделанному допущению о существовании двух решений задачи, соответствуют одинаковым граничным условиям и массовым силам, то введенные разности являются решением, соответствующим заданным нулевым граничным значениям поверхностных снл и перемещений н отсутствию массовых сил.
Поэтому, применив к решению (5.12) равенство Клапейрона (5Л1), получим .ж= О. (5.13) Отсюда в силу дефинитности Ф сразу следует, что еы — — О, а из закона Гука, что и ры — — О. Так как е„= О, то перемещения тс могут представлять собой только перемещения упругого тела как абсолютно твердого, Если при формулировке задачи используются одни и те же предположения, исключающие такие перемещения, то и тс = О. Таким образом, т<>«> — — т<><п>, еы<п = еы<п>, Р ыбя = р<><п>, и единственность решения задач типа 1, П и 111 доказана. Заметим, что для того, чтобы проведенное доказательство оставалось справедливым, достаточно, чтобы граничные 1 5. Постановка задач теории упругости условия на всей поверхности тела Х для разности двух решений удовлетворяли условию: ~ (Аэ" тп) сЬ = О, Принцип Сен-йенана которое может выполняться не только в задачах типа 1, 11 и 1П.
Сформулируем теперь очень важный принцип Сен-Венана, который заключается в следующем. Если в некоторой области внутри или на поверхности тела, малой по сравнению с основными размерами тела, на него действует система массовых или поверхностных сил и тело находится в равновесии, то в областях, удаленных от места приложения этих сил, деформированное и напряженное состояния определяются в основном только главным вектором и главным моментом этих сил и приближенно не зависят отдетального характера распределе- 6) ния сил. Влияние деталей А А распределения сил практически сказывается только в непосредственной окрестности области их приложения. Принцип Сен-Венана вытекает из следующего общего свойства решений задач тео- Рис, И6.
Силы а) и о) производят рин упругости. Если в какой- одинаковое действие на стержень либо малой по сравнению с вдали от торца А. размерами всего тела части А приложена статически уравновешенная система ,'сил, то она вызывает в нем напряжения, очень быстро убывающие по мере удаления от А. Допустим, что мы зажимаем тисками проволоку„причем концы тисков сжимают проволоку так, что действующая на нее система сил уравновешена.
Тогда очевидно, что, как бы ни были велики эти силы (они даже могут перерезать проволоку), они почти не вызовут напряжений в основной массе проволоки вне области, непосредственно примыкающей к месту защемлення. Принцип Сен-Венана подтверждается множеством опытных данных и подкреплен многими численными расчетами на частных примерах. Из принципа Сон-Венана.
в частности, вытекает, что напряженное и деформированное состояния в длинном упругом брусе, растягивающемся под действием собственного веса, в области, достаточно удаленной от заделанного торца, не зависят от 350 Гл. 1Х. теория упругости способа его заделки или что напряженное и деформированное состояния в длинном стержне в основном не изменятся, если в задаче о растяжении бруса внешними поверхностными силами распределение сил (а) (рис.
116) заменить имеющим ту же равнодействующую Е распределением сил (б). Принцип Сон-Венана позволяет получать приближенные решения различных задач теории упругости с помощью решений аналогичных задач для частных распределений действующих сил. 5 6. Задача об изгибе балки Рассмотрим упругую цилиндрическую балку произвольного поперечного сечения (рис.
117). Предположим, что на боковой Рис. 117. Цилиндрическая балка под действием крутящего зг, я изгибающего ог, моментов (йг,= зт„у+М,гс). повеРхности Б балки амтв = О, на тоРце Хе 1т" + О, пРичем 1 1тв сЬ = О, 1 (т х ттв) сЬ = М+ О, Е Еа т. е. на торце Х е балки действуют пары сил с общим моментом М.
Балка по условию находится в равновесии, позтому на торце л', 1о"сЬ = О и ) (э'Хйт") Ж = — М, Е, Е~ т. е. на Вт также должны действовать пары сил, общий момент которых равен по величине и противоположен по знаку моменту пар, действующих на Бе. В общем случае момент М может иметь произвольное направление. Выберем правую декартову систему ко- кРУт~4"й и ивгибоюппей ординат л, у, г так, чтобы ось л была намомеяты; чистый нагиб правлена по'оси балки и проходила через центры тяжести поперечных сечений, а оси у и я направим по главным осям инерции поперечного сечения (рис. 117).
Разложим момент М, действующий на торце Б„на три составляющие М = М„е + М„,1 + М,Ф. Очевидно, цод $ б. Задача об изгибе балки Легко видеть, что, если на торце Ез принять следующее частное распределение внешних поверхностных сил Распределение папряаеиий иа торце Хз (6.1) уе — р з 1эм = — "з1 то, учитывая условия выбора системы координат, получим, что главный вектор этой системы напряжений будет равен нулю, а главный момент будет иметь составляющую только по оси г. Действительно, ~ У" пс = — аз ~ У дз = О, так как ось х вр в. проходит через центр тяжести поперечного сечения, так как р" параллельно оси х, а Мз= ~ (РХР")з~й = а ~ ргсЬ = О, действием М„ балка будет закручиваться, а под действием моментов Мз и М, — изгибаться.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
