Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Для того чтобы в этом убедиться, достаточно показать, что решение (3.5) удовлетворяет граничному условию на боковой поверхности такого бруса. На Яс,„по условию имеем 2з" = 2ззсоз(п, х)+ рзсоз(гз, у)+ тззсоз(п, з), (3.5') но в силу выбора оси л на боковой поверхности цилиндрического бруса соз (и, х) =О и поэтому решение (3.5) действительно удовлетворяет граничному условию (3.1) на любой цилиндрической поверхности Ясса. Для определения по известным напряжениям деформаций з внутри бруса удобно Определение деформапяй воспользоваться законом Гука в форме (2.28); при Т = Т имеем е„= — ((1 + с) Є— сазе), 1 где 3з — первый инвариант тензора напряжений.
Подставив в него значения компонент тензора напряжений рм (3.5), 11 ° Гл. 1Х, Теория упругости легко получим, что р — сзз = —— ВЮ' ЕЕ ' ср сзз = —— ЕБ ' е„= с„= езз = 6. (3.6) Об удовлетворении уравиеивй совместиости Для определения компонент пзз, и>„зс вектора перемещений нужно проинтегрировать следующую систему шести дифференциальных уравнений в частных производных: дмз Р ез, = — =— дх ЕЕ' два сзз = — =— дс йсз ср е, = — = — — (3.7) дз ЕЕ' ср ЕЕ' доз дх доз 2е,з =— ду доз 2сзз =— дз дзч 2езз =— дз доз (3.8) +— дх дзс т Эти уравнения для перемещений написаны в предположении, что деформации малы, они получаются после линеаризации соответствующих уравнений для конечных деформаций.
Система дифференциальных уравнений (3.7) и (3.8) является совместной, так как найденные выше значения деформаций (3.6) удовлетворяют уравнениям совместности. Действительно, в рассматриваемом случае бесконечно малых деформаций уравнения совместности в декартовых координатах (см. стр. 91 т. 1) имеют вид млз з л дзс с.з д'с 6, 39 дхздхе дхздхе дхЗдхх +, ( ) т. е. в них входят только вторые производные компонент тензора деформаций.
Так как найденные компоненты тензора деформаций (3.6) имеют постоянные значения, то уравнения (3.9) автоматически удовлетворяются. Очевидно, что условия совместности (3.9) всегда удовлетворяются и в том случае, когда компоненты тензора деформаций являются линейнымн функциями декартовых координат. Дифференциальные уравнения для опреЗвмечаиве об определении деления перемещений (3.7), (3.8) являпсе$'мещеиий зго извсствым ются линейными уравнениями. ясно что ям в общем 3 решение соответствующее заданным знаслучае > чениям епп может быть определено из них лишь с точностью до функций, удовлетворяющих уравнениям: 1 3. Задачи об одкоосном растяжсяяк упругого бруса 325 Найдем общее решение уравнений (3.10).
Иа первой группы уравнений (ЗЛО) вытекает, что юг = фг(у г) и'а = фа(х г) юа = фа(х, у), (3.11) где фм ф„ф, — произвольные функции указанных аргументов. Для определения этих функций из второй группы уравнений (ЗЛО) получим дфг (у,,) д р, (,,) ду да дед(у, г), дфа(ю у) дг 1 дх дфа(а, с), дфа(х, у) дс + ду Из (3.11) и (3.12) следует =0 =0 (ЗЛ2) д ()(У)' д д = 7(х), дфг дтс дт1 дфа дфс дфа ду д = да= где а, р, у — пока произвольные функции указанных аргу- ментов. После интегрирования атих уравнений получаем фг = а (г) у + ~, (г) = р (у) з + уг (у), фа = — а (г) х + ~а (г) = у (х) з + уа (х), ф, = — 1 (у) х + 6а (у) = — у (х) у + уа (х), где ~;, у, — произвольные функции своих аргументов.
Отсюда непосредственно видно, что искомые функции ф, ф„фа должны иметь вид фг = (газу + (ссз + )с у + )са, фа = тгзх + таз + тах + та (3.13) фа = 1,ху+(сх +гау+са, где й,, т; и (; — некоторые постоянные, которые в силу уравнений (ЗЛ2) должны быть связаны между собой соотношениями )сгз +ус +таз +т, = О, ),у+й, +(,у+(,=О, тгх + тс + (гх + 1а = О, каждое из которых должно выполняться при любых з, у и х соответственно.
Из атих соотношений вытекает, что 1) яг= — т„я,= — 1м т,= — 1„ отсюда й,=та=(,=0; 2) )са = — та = — аа~ йа = — 1а = ам та = — (а = — а„ где а„а„а, — новые обозначения постоянных. Гл. ьХ. Теория упругости Таким образом, решения (3.13) имеют вид <рт = авг — аву +Й„1 (р = — а,в+авх+ты фз = — + .р+(' (3.14) Введя векторы и = х1+ Р,~+ згс, а = аьй+ авд' + азрс и уе = )гав + ть1+ (вяз, видим, что (3.14) можно записать следующим образом: ео = <р .= ~рьв -)- рву -(- ~рагс = ~р,-)- а х т (3.15) Следовательно, решения и>ы ю„игз уравнений (3.10) имеют вид (3.14) или (3.15) и содержат шесть произвольных постоянных. Формула (3.15) при бесконечно малых а„ав, а, определяет перемещения тела как абсолютно твердого ').
Действительно, выражение (3.15) для вектора перемещения мы нашли как решение уравнений дюг дю. — + — ' = О. дх) ' даг (3.10') ь) Очевидно, что, если ап а„аз конечны, то при перемещениях (3.15) деформации отличны от нуля. Это связано с тем, что цри конечных дю;/дх' компоненты тензорв деформаций должны вычисляться по формулам ( дю. д|а. дна гди>а '1 в = — 1' — + — + — — ") дх) дх1 дх' дх) ) (А) Если го = те + а Х т, то формулы (А) дают вы= 2 (аз+ ь), сю= 2 (аь+ав), 2 (аз+аз)' вы= — и ахаю ем = — — аьав, 2 вы = — — аьае, 2 При бесконечно малых относительных перемещениях, т.
е. при бесконечно малых значениях дщ,lдх), зги условия означают равенство нулю компонент тензора деформаций сер В рассматриваемом случае бесконечно малых относительных смещений компоненты вектора а малыи определяют собой малый поворот тела, происходящий при перемещенияХ еп = ~ре+и х г. Вектор малого поворота можно связать с вектором вихря ю формулой а = ю Лг, Чтобы исключить иа рассмотрения возможное перемещение тела как абсолютно твердого, можно при определении переме- 1 3. Задачи об одноосном растяжении упругого бруса 327 щений дополнительно потребовать, например '), чтобы некоторая точка упругого тела сохраняла свое положение в пространстве и компоненты векотора малого поворота главных осей деформации в этой точке были равны нулю: ди дю.
— '. — —,.' = О. дхз а хе где ~ры у„~ра определяются согласно (3.14). Если дополнитель- но потребовать, чтобы в начале координат отсутствовали пере- мещение и поворот главных осей деформации, т. е. чтобы при я=О, у=О, з=О ю,=О, и~,=О, и =0 — — ~~ = О, то выражения для перемещений принимают внд юг = —,х, и, = — — р, ща = — — з. (3.17) Брус. растягивается силами, приложенными на его торцах А и В и направленными по оси х, но, как видно из (3.17), испытывают перемещения также и вдоль осей Анализ полученного решения частицы бруса у и з.
г) Вместо етих условий можно пользоваться и другими, важно, одвако, что соответствующие дополнительные условия всегда необходимы. Заметим, что выполнение этих условий не означает, что рассматриваемая точка действительно закреплена в пространстве с помощью сил.
Если тело находится в равновесии, то, не меняя системы внешних сил, можно считать закрепленной любую (но в общем случае единственную) точку тела. При этом не интересуянцая нас часть перемещений и поворота исключается из рассмотрения. Очевидно, что выражения для перемещений будут различными, если мы будем считать неподвижными различные точки тела. В задаче о растяжении бруса формулы Определени~ перемещений для перемещений получаются как решения уравнений (3.7), (3.8) н могут быть записаны в виде жг йул ~ 'рг ~2 Еуу+ 'ра~ Р, бр (3.16) ср з+ 'рз 3 Ес 328 Гл. 1Х.
Тсорня упругостн Величина компоненты смещения ю> вдоль оси х пропорциональна х, максимальна в сечении В и не зависит от у и г. Величины компонент смещения п>в и и>в по осям у и г пропорциональны у и г и не зависят от х, г и х, д соответственно. Как ясно из формул для компонент тензора деформаций (3.6), деформации вдоль оси х и осей р и г имеют разные знаки. Если Р ) О, то еп положительно, т.
е. брус испытывает растяжение вдоль оси х, а ес, и свв отрицательны, т. е. брус испытывает сжатие в направлении осей у и г. Отношение компонент тензора деформаций ! й1=!е1 Другие условия на торцах бруса Постановка задачи о растяжении бруса под действием собственного веса равняется о — значению коэффициента Пуассона.
Если рассмотреть задачу о растяжении призматического бруса под действпом поверхностных сил, которые распределены на одном торце по закону (3.3), в том случае, когда второй торец А этого бруса некоторым способом заде>>ан (рис. )08), то приведенное решение будет описывать деформации и напряжения в таком брусе, ! ' строго говоря, только в том случае, если способ заделки торца А допускает смещения в направлении осей у и г. Если же торец А бруса заделан жестко, то построенное решения не является точным решением этой задачи.
Однако в дальнейшем мы введем так называемый принцип Сен-Венана, согласно которому полученное решение может быть использовано для х приближенного определения напряжений Рнс. 188. Растяжение и деформаций в задаче о брусе с жестко стсряшя в случае заделанным тор ом А в области, дос",орца А. '" таточно удаленной от места заделки если площадь поперечного сечения бруса мала по сравнению с его длиной вдоль оси х.
Рассмотрим теперь задачу о растяжении цилиндрического бруса под действием собственного веса. При атом сохраним неизменными основные предположения, при которых решалась первая задача о растяжении бруса под действием поверхностных сил, распределенных по его торцам, а именно предположим, что Т = Тс = = сопз$, е, = О, но Х = дс и у>" = 0 всюду на внешней поверхности бруса, за исключением торца А, где брус закреплен. 1 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
