Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Г (29.9) Подстановка формулы (29.9) в уравнение с частными производными (29.5) приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению: Ф ($) + йф ($) + 4 (ф ($) + й ($)) = О, после интегрирования которого получим $ф + 4$ф' = С. Постоянная С равна нулю для искомого решения, в котором ф (0) и ф' (0) конечны. Интегрируя уравнение 4 — +ф=О, оф оч найдем Для ез, зто дает Г ю.= Ав 4 ю Постоянную А определим из начального условия (29.7). Имеем ее Г (г, 1) = 4я —, А ~ ге '"' Иг = 8яАГ 11 — в '" ) . (29 А О) е Отсюда на основании (29.7) при т =- 0 для любого « .> О имеем Г = 8пАГ. Гл. 7111.
Гадромехаанка Следовательно, Г 4 ! и ю = — — е злта А =-— (29.11) Эта формула даст искомое решение для ы,. Определим теперь распределение скоростей а (г, 1), Так как Р (г, 1) =- 2ягв (г, 1), то на основании (29.10) найдем окончательную формулу: (29.12) При 1 = 0 получается закон распределения скоростей от прямолинейного концентрированного вихря, совпадающего с осью з. В идеальной жидкости такое движение сохраняется для всех 1 ': О.
В вязкой жидкости возникает диффузия вихря, обусловлопная появлением второго члена в скобках формулы (29.12). Формула (20Л1) показывает, что величина вихря а, в каждой точке плоскости ху с течениом времени возрастает от нуля до максимума, равного ГД2ягае), а затем убывает и снова стремится к нулю. Уравнение (29.5) линейное и пригодно для рассмотрения любого симметричного относительно оси «движения и, в частности, для начальной задачи с любой заданной функцией ы, (г, 0). Соответствующее решение линейной задачи можно построить методом суперпозиции рошения для точечного вихря.
РЛАВА !Х ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 5 1. Вводные замечания Рассмотрим теорию деформироваяня «твердых» тел. Как и раньше, тело будем представлять себе как материальный континуум. Введем систему отсчета л', относительно которой происходит движенио различных точек континуума. и лагранжеву систему координат $', движуи|уюся вместе со средой (рнс. 106). Положение каждой точки контннуузш в лнчбой момент времени 8 известно, если известны функции $ т 1 д «ь е е е ~ ) аадающие закон двн»кения среды. Одной из важнейших характеристик дефорл~ированного твердого тела является тензор деформаций. В гидродинамике этот тензор почти не используется. Для я«идкостей важна только 3 '13 одна характеристика деформаций — изменение объема.
Для «твердых» тел существенно также 41 и изменение формы, т. е. весь тензор деформаций. Тензор деформаций вводится путем сравнения длины любого элемента тела с его длиной в некотором идеальном состоянии, которое называют «начальным». В частном случае начальное состояние может быть просто положением данного конечного тела Рис. 106. Система отсчета х' и в некоторый начальный момент лагранже»а й' система коордивремени » . Это всегда принимается в классической теории упругости. Однако существуют теории, в которых за «начальное» состояние выбирается состояние, которое невозможно реально Гл.
1Х. Теоркя упругости осуществить в евклидовом пространстве ') (см. э 5, гл, 11, т. 1). Если обозначить через ды и л;; — колшоненты метрического тензора в лагранжевой системе координат соответственно в «начальпои» и актуальном состояниях, то, как известно, компоненты тензора деформаций вводятся фориулами 1 зн = ~ (й,— йп) Начальные деформации Если начальное состояние реально осуществимо, то можно ввести перемещения«в от начального состояния к актуальному. Компоненты тензора деформаций в этом случае выражаются через компоненты вектора гп и удовлетворяют уравнениям совместности.
Если же начальное состояние не может быть осуществлено в реальном физическом пространстве, то еы не удовлетворяют уравнениям совместности. В этом случае иногда вводят некоторое промеягуточное характерное состояние (начальное состояние без кавычек) с метрическимтензором ь Ы так, что перемещения от состояния к состоянияю можно ввести. Тогда 1 " 1 " ° 1 ° зц э (зл ' зп) 2 (зц ' ' зп) с (ре зп) ° или л зц =- зп -) зп.
Компоненты з,'1 могут быть выражены через перемещения, а компоненты зы — нет. Компоненты тепзора еы определяют собой «начальное» деформированное состояние. В теории деформирования твердых тел Геометрнческн часто рассматривают случай, когда делинейные теории формации и относительные смещения малы. Если при этом лагранжева система координат выбрана так, что в какой-нибудь момент времени (например, в начальный) она совпадает с системой отсчета, то в дальнейшем она будет мало отличаться от системы отсчета и, очевидно, колшоненты любого тензора или вектора в лагранжевок системе координат и в системе отсчета будут отличаться на малую величину. Если в теории учитываются лишь малые первого порядка, то ') В ньютоннанской механнке реальное трехмерное физическое пространство евклндово.
Обычно в теории упругости прнннмается, что начальное состояние сравнения определяется однозначно с точностью до жесткого перемещеккя (перелгещения среды как твердого тела). Можно рассматривать модели сплошных сред, для которых начальное состояние определяется с известным произволом. $2. Модель упругого тела компоненты малых тензоров и векторов, например тензора деформаций, в лагранжевой системе и в системе отсчета в этом случае становятся неразличимыми (так как они отличаются на малые высшего порядка). Поэтому во многих классических курсах теории упругости, где изуча>отея только бесконечно малые деформации, не вводят явно этих двух различных систем координат.
Для компонент тепзоров з>; и е;, в теории деформирования тел с малыми деформациями можно испольаовать формулы 1 ен = — (т»ш;+ ~;ш;) + еоь (1.1) 1 2 Такие теории называются геометрически линейными. 2 2. Модель упругого тела Процессы деформкроваякя упругих тел обраткмы Главным признакоьц по которому теория упругости выделяется нз других теорий деформируемых твердых тел (теории пластичности, теории полаучести и т.
д.), является то, что все процессы деформирования упругих тел по определению обратилгы. Обычно, кроме того, принимается, что локально для всех малых частиц упругого тела можно ввести температуру Т. Следовательно, для физически бесконечно малых частиц упругого тела всегда можно пользоваться соотношением ') (2Л) Тйи = дф'>, Параметры состояния упругого тела ') Соотношение (21) может выполняться я для некоторых кеобратямых процессов.
Дальнейшие выводы будут применимы также н пря учете таких процессов (яапркмер, процесса тевлопроводкостя) в упругом теле. Второй основной посылкой классической теории упругости является допущение, что состояние малой частицы упругого тела полностью определяется тснзором деформаций, температурой Т (или энтропией з) и некоторыми физическими постоянными или переменными параметрами )(г (з', >) (й = 1, 2, ..., >>>), характеризующими механические и физико-химические свойства среды, которые в общем случае могут изменяться.
Например, некоторые из )(г могут быть перел>синь>ми фазовыми плотностями. К параметрам уе при необходимости можно отнести компоненты е>у тензора начальных деформаций. Свойства симметрии кристаллов также можно задавать с помощью параметров )(ю некоторые из которых могут быть компонентами векторов или тензоров. В распространенных классических 312 Гл. 1Х. Теория упругости вариантах модели упругих тел принято, что в каждой частице у» — — соил», т. е. [г)(» = О. Характерным свойством модели упругого тела является также предположение о независимости метрики начального состояния от времени, т.
е. д[> — — ф[> (З[, Зт, $а). Таким образом, определяя обычну[о ') модель упругой среды, для плотности внутренней энергии У или свободной энергии Г = [[" — Чл упруго>.о тела можно написать (г = 71(л, у[или, т»), Р = г'(7', ди, ги, Х„). (2.2) Среди аргументов функций У и г' нуя[ио явно указывать компоненты ф[;Я[) метрического тензора(или дз[> (з[, [)=2сы — д[>) потому, что скалярные величины ь[ и и" на самом деле, конечно, зависят лишь от инвариантов теизоров, компоненты которых указаны в качестве аргументов, а не непосредственно от самих компонент. Нри образовании инвариантов из компонент еии и т» необходимо, вообще говоря, пользоваться компонентами метрического тензора д[; или д[>.
Коли [[" и г' ие зависят явно от лаграижевых координат з[, то упругое тело называется одиоро[>ным. Некоторые из Х» могут просто совпадать с $[ или быть заданными функциями от $[, и тогда мы имеем неоднородное упругое тело. Для напоминания выпишем уравнения Основные яеходкые механики сплошной среды, которые ураанепия составляют основу замкнутой системы уравнений теории упругости. Илгеем: а) формулу для определения плотности (уравнение нераарывности в форме Лагранжа) р у р.=Ге~ а =.((1',з'.с'), (2.3) б) уравнения импульсов [ )м [ .р[> (2.4) в) уравнение притока тепла, которое с учетом условия (2,1) »[ожет быть заиисаио в следу[ощих двух эквивалентных формах: Ри Н, = [)[Ч><.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
