Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Соответствутощие разрежения пропорциональны В предыдущем параграфе были рассмотрены кинематические вопросы связи поля скоростей и поля вихрей. Теперь рассмотрим динамические свойства вихревых движений, связанные с влиянием вихрей на поле давлений н с законами движения и трансформации вихревого поля с течением времени в потоке я'ндкости. Рассмотрим установившееся движение идеальной несжимаемой жидкости от круглого цилиндрического вихря, кинематическое поле скоростей которого определено в предыдущем параграфе.
В етом движении все частицы движутся по концентрическим окружностям с постоянной скоростью, зависящей от радиуса, и, следовательно, имеют только центростремительное ускорение, равное по величине ит/г. уравнения Эйлера в проекции на направление радиуса дают Гл. 7>!!. Гидроиехевика квадрату ы или квадрату суммарной циркуляции вихря Г = 2юяае Случай, когда жидкость неоднородна и плотность зависит от г, также легко описывается.
Для интенсивных вихрей характерно появление больших разреи>еннй вблизи центра вихря. Эффекты разрежения в центре вихрей часто наблюдаются при различных течениях жидкости. Появлением разрежений в вихревых движениях можно объясиить, например, образование углублений воровкообразной ее>>е' Рис.
>02. Расиределеиие давлений ири дэижеиии жидкости ст круглого вихри конечного радиуса. формы на свободной поверхности при вращательном движении и<идкости. Характерным примером вихревых движений являются смерчи. Смерчи можно наб>подать на суше и на море. Под влиянием разрежений в центре смерчей возникают течения, засасывающие пыль, воду и другие различные предметы. Известны случаи, когда проходящий смерч в узкой области срывал листья с деревьев, засасывал воду вместе с мелкими рыбами и лягушками и даже клады из древних монет, и затем все эти существа и предметы падали обратно на землю в виде своеобразного дождя. Вихри образуются за крылом, за водяными и воздушными винтами.
В этих и во многих других случаях также проявляются эффекты, связанные с сильным разрежением в области завихренного потока. В идеальной однородной несжимаемой жидкости при потенциальных массовых силах согласно теореме Томсона вихри не могут распространяться по частицам. Вихри двилсутся вместе с части>!али, вихревые линии являются жидкими линиями. Если в плоскопараллельном движении задана система точечных вихрей, то для определения неустановившегося поля скоростей достаточно знать движение каждого вихря. По теореме Томсона циркуляция каждого вихря сохраняется постоянной, Г„ = сопит. В безграничной массе жидкости для определе- 27.
Динамическая теория циливдричосиих виа рай 297 ния закона движения вихрей, т. е. координат всю будем вмете следующую систему обыкновенных дифференциальных урав- нений: Ы,. и:/в Дам 1 Гк к (27.5) где Х' означает к чением члена й суммирование по всем индексам, за исклю- Система уравнений (27.5) допк сквот замечательные интс тралы.
Умножая (27.5) на Г, и суммируя по а, получим Интегралы уравнений двюиеиия системы точечных вихрей Галс~ = сонм. (27. 6) Таким образом, если 'ЯГ,+О, то «цептр тяжестаа сис1емы точечных вихрей остается неподвижным. Другой первый интеграл получим, если умножнм (27.5) на Г,з„, и просухпсирусм по ю Получим 6 ы ак ° к Отсюда следует, что 1 .,1з хоз — „, =1„„~'„~".1а1в (27.7) Так как правая часть атого равенства чисто мнимая, то Отсюда выводим, что (27.8) ~ Галс~-о, — сонм е так как в правой части все члсньк попарно сокращаются. Сле- дователыю, Гл. ЧП1.
Гидр«механика Кроме этого, из (27.7) следует, что Ы 'оо А~о '. 1 'Я~ Го,ул Ло оо,~~~ ~ = — 4 ~'~~~~ ~Г»Г,. (27.9) о Соотношение (27.8) можно рассматривать как уравнение постоянства «момента инерции» системы вихрей, а (27.9) — как уравнение постоянства «момента количества» дви»кения. Уравнения (27.5) моя<во переписать в виде Л.оо З1, л „, ЗЧ, ио зз, Н~ д~«о (27.10) где 1 ф~ .= 2 ~ Г» (п) зо ° зо» ~ ° Если ввести функцию П с помощью равенства 1 ч»т»' УХ = — з,„,~д~~~ 1 еГ» 1п )зов зо» ) а то уравнения движения (27.10) системы вихрей можно записать в форме «»оо гу,. Непосредственной проверкой логко получить, что система (27.11) допускает интеграл Н = сопз1, (27 12) который можно истолковать как интеграл постоянства «энергии» системы вихрей.
Рассмотрим простейшие примеры двиггримеры движения жения двух точечных вихрей. вихрей Возьмем два вихря с циркуляциями Г ) Ои Г«) О. Легко видеть, что каждый из вихрей будет двигаться по окруя«ности с центром О, совпадающим с неподвижным «центром тяжести» этих вихрей (рис. 103). Два вихря с противополоя«ными по знаку, но равными по модулю циркуляциями движутся поступательно вдоль прямой, перпендикулярной к отрезку, соединяющему центры этих вихрей (рис. 104).
Два вихря с противоположными по знаку и равными по величине циркуляциями, движущиеся поступательно, можно остановить, если наложить на течение этих двух вихрей поступательный поток со скоростью, противоположной скорости движения вихрей. $27. Динамическая теория цилиндрических вихрей 299 Задача об определении движения вихрей осложняется, если область движения жидкости ограничена, например, твердыми Рнс. 103. Два вихря движутся по концентрпческпи окружностям с центром в ацентре тяжести«системы внхрей. Рис.
10й«. Вихри с противоположныии по знаку и разными по величине циркуляциями движутся поступательно. степками или свободными поверхностями. В этом случае за счет влияния границ справа в (27.5) появляются добавочные члены. Предыдущая теория движения вихрей развита для свободных вихрей. Скорость движения свободных вихрей относительно жидкости равна нулю.
При решении кииематических задач с помощью замены крыльев или других обтекаемых жидкостью тел системами вихрей, обеспечивающих требуемые условия обтекания па поверхности тел, мы приходим к рассмотрению несвободных вихревых систем — вихрей, связанных с обтекаемым телом, названных Н. Е. Жуковским присоединенными вихрями. В теории Н. Е.
Жуковского присоединенные вихри двигаются вместе с обте- Гл. У11!. Гвдромеханика каемым телом заданным образохц их скорость не равна скорости потока, мысленно построенного путем аналитического продолжения внутрь тела возмущенного движения жидкости вне тела. Н. Е.
Жуковский рассматривал установившиеся плоско- параллельные обтекания цилиндрического крыла бесконечного размаха поступательным набегающим потоком с постоянной скоростью. При решении плоской аадачи о потенциальном обтекании несжимаемой жидкостью цилиндрического крыла можно найти в двусвязной области потенциального потока решение с циркуляцией, отличной от нуля по контуру, охватывагощему крыло. Соответствующий потенциал оказывается многозначным. При непрерывном ккнематическом продолжении рассматрпваемого обтекания пз вгю плоскость в гоотвотствип с теоремой Ст.,кса внутри крыла получается вихревое течение.
Для !стапозпзшегося потенциального обтекания цилиндрического крыла с циркуляцией, отличкой от нуля, Н. Е. Жуковский установил наличке подъемной силы, дойствующей на профиль крыла (см. $ 8). Для подьомпой силы, действующей ка единицу ширины профиля в поперечном направлении, ??. Е.
Жуковский получил следу!ощую формулу: А=рг Г, (27А3) где р — плотность я!идкости, и — скорость набегагощего потока и à — циркуляция по контуру, охватывающему профиль крыла. Сила А перпендикулярна к вектору и и получается поворотом вектора и на прямой угол против направления циркуляции вокруг профиля крыла (см. ~ 8). Эта формула позволила понять в рамках теории обтекания крыльев идеальной жидкостью механическую природу подъемной силы. Теорема Н. Е.
Жуковского особенно существенна в связи с тем, что при непрерывном установившемся обтекании тел идеальной жидкостью с однозначным потенциалом скорости имеет место парадокс Даламбера, согласно которому полная сила, действующая со стороны жидкости на тело, равна нулю. Открытие наличия подъемной силы, возникающей за счет циркуляции, обусловливающей неоднозначность потенциала скорости, имело большое принципиальное значение.
Теорему Н. Е. Жуковского (27АЗ) можно обобщить и распространить на любые неустановившиеся движения точечных присоединенных вихрей (прямолинейных вихрей в плоскопараллельных потоках), движение которых задано. С помощью уравнения количества движения, примененного к бесконечно малому объему жидкости, вектор вихря ско- »«27. 7[пни»»»»»«ег»<аи теории пил»шдричегиих выхргй Я01 рости внутри которого отличен от нуля, выясняется, что, если мы имеем дело не со свободным вихрем, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
