Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Теперь необходимо еще убедиться в том, (2б 12) что функция Ф, определенная формулой Д~оплетповпет УРавпеппю (25 1З), имеет вторые частные производные в удовлетворяет уравнению Пуассона (2511)„Для того чтобы зто доказать, для простоты ') предположим, что е Я, г), Ь) непрерывна и имеет конечные первые производные де/дз, де/дг),дз/д~. Пусть ЛХ вЂ” рассматриваемая точка с координатами х, у, я; обозначим через Т внутренность сферы Е малого радиуса с центром в точкеМ, а через Ы)' область течения жидкости вне Т. Функцию Ф, определенную по формуле (2513), представим в виде суммы 1 25. Определелие поля скоростей по вихрям и источвикам 273 и, следовательно, Рассмотрим теперь частные проиаводные от Ф' (х, у, з) в точке М (х, у, з).
Имеем дФ' 1 Г д /1~ дх 4л ~ дх (г~' т г т Здесь принято во внимание, что д 1 д 1 дх г д3 г В этой формуле первый интеграл в области Т вЂ” Т' между двумя сферами Х и Х' (рис. 93) можно преобразовать по формуле Гаусса — Остроградского. Получим Рис.
93. Область Т вЂ” Т' (заштриховала). 1 Г е — — ( — ') Ыт = — ~ — соз (и, $) г)о — — ~ — соз (и $) ~й. 4к эг т — т Е Е' В силу предположений о функции е (х, у, г) при стягивании Х' к точке М получим, что )пп — ~ ' гй = О. 1 Г з сов(тз, й) и 4я Поэтолзу для производной дФ'/дх верна формула дФ' 1 ', Г зсоз(тз, $) 1 Г 1 де гй — — — — огт. дх 4л ) г йх ~ ° дЕ Теперь можно составлять вторую производную и дифференцировать функцию 1/г под знаком интеграла. Таким путем получим формулу 1 азф' 1 Г д 1 1 Где г — = — — ~ з соз (и С) — — гй + — — — с(т. дхз 4л д ' дй г 4я~ дй д~ 274 Гл.
уШ. Гидромеханвка Учитываяаналогичные формулы для деФ'/ду' и деФ'/дхе, по- лучим ЛФ' = — 4 ~ е — — ос+ 4 дгае(з дгайы, х — Нт. (25.17) 1Гд11г1 Покажем, теперь, что правая часть (25.17) точно равна е(х, г/, з). Для стого применим первую формулу Грина в области Т вЂ” Т' к двум функциям 1 1 з(5,ц,~) и г Г (х 4)е (, ч)е+ (- 4)е (см. з 12). Получим 1 ) 1~ 1 ~ г д— еЛ ( — ~ Ыт + ягаг) е ягаг(...л г — йт = ~ е — гЬ, ,Г/ ,1 '" г д де т — т т — т Е+ Е' где нормаль и — внешняя к Т вЂ” Т'. Учитывая, что Л (1/г) =-- О, перейдем к пределу при стягивании сферы 2' к точке М.
Будем иметь д— П|п ~ е — еЬ = 1пп ~, =4яе(М), г . г агбар =,, и,) так как д/дп =- — д/дг на сфере Х ' и с/а = глезер, где Р— телес- ный угол. Отсюда следует, что 1 д— г 1 — ~ е — еЬ+ ~бгаг(е ° дгае(:.,л,г — дт= 4пе (М). дл г Позтому равенство (25.17) окончательно дает ЛФ= ЛФ" = е (л, у, з).
Таким образом, полное решение первой задачи об определении поля скоростей в безграничном пространстве по заданному распределению источников е (З, Ч, 4) при указанных ограничениях, наложенных на функцию з Я, и, ь), представляется формулой (25.16). 1 25. Онрсдслоннс поля скоростей по вихрям н нстсчннкам 27с Вектор вихря в силу своего определения является солеяондальным вектором, т. е, ~йтсз = О, так как бйкго~ н:= О.
(25.19') Так жо как и в предыдущей задаче, примем для простоты, что в области вихревого потока вектор ю является кусочно гладкой функцией точек пространства. На поверхностях Я разрыва вектора ю в соответствии с (25Л9') примем, что нормальные составляющие ю„на Я непрерывны. Далее примем, что при удалении в бесконечность вектор ю обращается в нуль, причем, начиная с некоторого достаточно большого радиуса Л = )' $т+ т~т -'; ~т, выполняется неравенство ~юб Ч, 1) ~'.— „,„, где й.= О и О < 1 ~1 — подходящие постоянные. Условие несжимаемости б!ч и = О бу- Векторный нотснцная дет выполнено, если положить и=-гос 1, (25Л9) где А — векторный котенцнал, зависящий произвольно от координат точек пространства.
Очевидно, что поле скоростей не изменится, если вместо вектора А ваять вектор А„отличающийся от А на вектор-градиент скалярной функции, т. е. положить А,=А+р бф, где ф — произвольная скалярная функция. Таким образом, векторный потенциал в (25Л9) для данного поля не определяется однозначно. В связи с зтнм для вектора А. выставим дополнительное условие 81ч А =- О. (25.20) Выполнимость етого условия можно всегда обеспечить выбором скалярной функции ф (х, у, я). Для получения уравнений, определяющих векторный потенциал А, подставив (25Л9) в (25Л8), получим гас го~ А = 2ю. (25.21) Определение векторного потенциала Постановка вадачн Дадим теперь решение второй задачи— скоростей нсснншасмой об онуодсленнн но"Я „об определении поля скоростей н по зансаккостн но заданному данному распределению вихрей ю в безраснредсленню внхрсй граничной массе жидкости.
Имеем 81тп = О н госн= 2ю. (25.18) 27Г> 1'л. ъ'111. Гвдромеааялаа Преобразуем уравнение (25.21). В проекции на ось х имеем — ( —" — — *) — — > — * — — *) = 2о> . д /дЛр дАх' д I дАх дАг ' ду(,дх ду) дс'> дг дх) Отсюда д / дАх дАу дА> '1 / д>мх д'Лх д>Ах '1 дх(, дх ду дг / > дхс дус дхс/ Пользуясь зтим, перепишем уравнение (25.21) в виде ягас(с(1тА — с>А = 2с ° . (25.22) На основании условия (25.20) из (25.22) для вектора А получим векторное уравнение Пуассона ссА = — 2е>, (25.23) е>Я, ч, ~),~, 2я (25.24) Из предыдущих рассуждений следует, что при В> = )/х'+у'+се имеем )Л 1( — и (гас А (( —, 1 1 Проверим теперь, что вектор А, определенный форму- лой (25.24), удовлетворяет условию соленоидальности (25.20).
Имеем с(1т.4 = — с(1у, ( ' ' ~ с(т = — —, ~ с(1упхл > — )с(т, 1 С . /х>(2 >> ~)с 1 Р . /е>', х> т, так как с(1тп,с се ($, д, ь) = О. Возьмем шар Т„ограниченный сферой Х, с центром в начале координат и радиусом Л,. Согласно определению интеграла по всему пространству Т можно написать бст ~ с(с= 11ш ~ Д1т — "Ат= 11ш ~ — "с(о. (25.25) 2 Я ООТ в>-ка в ОО в> В равенстве (25.25) при преобразовании объемного интеграла в поверхностный по формуле Гаусса — Остроградского необ- равносильное трем скалярным уравнениям Пуассона. Пользуясь решением первой задачи, для вектора А получим следующее решение уравнения (25.23)", 2е.
Определеиие поля скоростей по вихрям и источиикем 227 ходимо выделить в виде границ обе стороны поверхностей внутренних разрывов вектора го, однако поверхностные интегралы по различным сторонам поверхностей внутренних раарывов ю сократятся в силу сформулированного выше условия о непрерывности ы„на поверхностях разрыва. ПРи достаточно больших Вс имеем (со ((()с/Яе+"), по- этому Иш ~ — "йс = О. г Г ег 4 Г и (х, у, х) = гос — 1 — йт = — йгай — хю йт = 2я 2 г 2п г т, 00 = — ~ —," йт, (25.26) т где т — радиус-вектор, проведенный от переменной точки интегрирования с координатами $, т~, ь к рассматриваемой точке с координатами х, у, з.
Полное решение задачи об определении векторного поля в безграничном пространстве по распределению источников з и вихрей ю представится формулами вида и = йгайФ+ госА = йтай( — — ~ — йч~+ гос( — ~ — йт), 4я з г ~ х2п ~йг т т (25.27) или 1 Ге~ Гаме тг = — ~ — йт+ — ~ — йт. 4я,) ге 2я 2 (25.28) Отсюда следует, что й1ч А = О, поэтому будет удовлетворенно не только уравнение (25.23), но и уравнение (25.22), представляющее собой иную запись основных уравнений (25.2х) или (25А8).
Все выведенные формулы применимы к частному случаю, когда вихри заполняют конечную часть пространства яе, ограниченную поверхностью Хе. Вне Хе имеем ю = О, условие непрерывности со„на Хе приводит к равенству со„= О на Хе, поэтому поверхность Хе дол>яка быть вихревой поверхностью. На основании (25.24) и (25Л9) моя<но написать кв Гл. ЧШ.
Глдроиехаиииа 0 решении рассматриваемой задачи е ограиичеииой области Если область и', в которой заданы е и ю и в которой требуется найти поле скоростей и, имеет некоторую границу Х, то на Х необходимо дополнительно задать краевые условия. Краевые условия на Е могут быть разнообразными. Рассмотрим важный для гидродинамикн частный случай, когда на Х заданы нормальные составляющие ро вектора и.
Для определенности рассмотрим внешнюю задачу, когда область Ю содержит бесконечно удаленную точку, Решенно такой задачи можно сконструировать, опираясь на решение задачи об определении векторного поляпо источникам и вихрям в неограниченном пространстве, после продолжения функций с и оз, заданных в области о, во все пространство, Для удовлетворения граничных условий на Х потребуется найти в К добавочное безвихревое потенциальное поле скоростой, для которого з=О, в=О. ю = бган т.
Для определения функции Х (л, у, з) при этом получим следующую задачу Неймана в области Ю'. Так как Жтш =О, (25. 29) то Л~ =- О. На л' из условия непрерывности юл получим дй з„" — ми (25. 00) Продолжение е и со, заданных в л), в пространство вне Ю можно осуществлять различными способами. Распределение з вне У с учетом выполнения различных допущений, связанных с построением поля скоростей по источникам, можно задать с большим произволом и, в частности, принять, что е =-- 0 вне Ю. Во многих частных случаях при продолжении плотности с во все пространство полезно использовать различные соображения, связанные с симметрией области Я и соответствующих граничных условий (метод зеркальных изображений и т.
и.). При продолжении вектора се на все пространство через поверхность Х эта поверхность в общем случае может оказаться поверхностью разрыва вектора се. Для использования формулы (25.28) необходимо обеспечить непрерывность ы„на Х. Непрерывные распределения вектора со в области К', ограниченной Х к дополнительной к области ло можно строить следующим способом. Положим в Ю' з 26. Важные примеры вихревых полей Ю = Юг ек П Ф где и — искомый вектор скорости, соответствующий заданному в Й распределению е и ю, для определения векторного поля пе получим следующую задачу Неймана.
В области Ю имеем г)1т ве =- О, го$ н* = О, поэтому не == ягай у и Л<р = О. (25.31) На поверхности Х вЂ” границе области Я вЂ” имеем * ар ю = — =и — гг и а и 1пФ в (25. 32) причем ио — и,„— известная функция, так как по условию и на Х задана. В бесконечности условия исчеаания и и и, дают (стад ~р) = О. (25.33) Таким образом, в общем случае описанным путем после продолжения з ив в область вне Я и после использования решения (25.28) для окончательного решения краевой задачи в области, имеющей границы, потребуется еще решить краевую задачу для определения гармонической функции у (х, р, г).
4 26. Важные примеры вихревых полей Рассмотрим некоторые приложения общей теории, развитой в предыдущем параграфе. Предполон1им, что в неограниченном объеме несжимаемой жидкости задана изолированная замкнутая бесконечно тонкая вихревая трубка (рис. 94), которую в предейе можно рассматривать как замкнутую вихревую нить С. Такую нить мохгно танисе рассматривать как стационарный замкнутый линейный ток 4я,р/с, индуцирующий соответствующее магнитное поле Н. где ы„на Х известно, так как ее в области У задапо, Если го в области Я задано так, что а„= 0 на Х, то на основании (25.30) и (25.29) получим т = сопзс, и, следовательно, таким образом распределение вектора ео в о можно продолжить в область Я", положив оз = О в л)".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
