Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 49
Текст из файла (страница 49)
В теории турбулентности, в противоположность ранее рассмотренным разделам гидромеханики, пет и, видимо, не может быть едкногоподхода к исследованию всевозможных задач; для изучения различных классов движений жидкости предложены различные теории турбулентности. В настоящее время разработаны различающиеся между собой теории турбулентных течений в трубах, в атмосфере, в спутной струе реактивного двигателя и во многих других случаях. Практика построения моделей для изуСпособы осредееквк чения турбулентных движений показывает, что способы введения средних характеристик движения, вообще говоря, несущественны для составления полной системы уравнений теорий турбулентности, но они являются главной основой для разработки методов экспериментальных измерений различных средних величин, проведение которых необходимо для сравнения результатов предложенной теории турбулентности с опытными данными.
Укажем некоторые возможные способы осреднения истинных характеристик движения. Пусть А (х, у, г, 7) — некоторая истинная характеристика турбулентного движения. В любой фиксированной точке пространства можно провести осреднение А по времени 7. Тогда среднее значение А будет равно 1+— А=,' т с —— 3 248 Гл. УП1. Гидромеханика где промежуток времени Т достаточно велик по отношению ко времени отдельных пульсаций и мал по отношению ко времени заметного изменения средних характеристик (осредненное движение может быть нестационарным). С другой стороны, в определенный момент времени 1 осреднение А можно провести по объему, тогда причем объем )' должен удовлетворять условинм, аналогичным условиям на промежуток времени Т.
Можно провостн осреднение по времени и по объему Г одновременно. Указанные выше осреднения по времени и по объему возможно проводить с весом, когда среднее значение А определяется, например, следующим образом: т !+— 2 А = —,' ~ А~ (1) (1, т где д (1) — нокоторая заданная функция. В различных задачах при выборе К и Т можно руководствоваться различными соображениями, но в имеющихся приложениях результат осредненин рассматривается как не зависящий от 1" и Т. В ряде случаев используются вероятностные способы осреднения, и среднее значение Я часто определяется как математическое ожидание А.
После введения среднего значения А истинное значение А представляется в ниде где А' — пульсация А", среднее значение пульсаций равно нулю, А' = О. Свойства осредненин 2) Среднее значение производной от истинной характеристики турбулентного движения равняется производной от Потребуем, чтобы операции осреднения во всех случаях обладали следующими свойствами. 1) Среднее значение суммы равняется сумме средних зна- чений т 21. Турбулентные двнження жндкостн 249 среднего значения дА дА дх дх 3) Среднее аначение произведения двух сомножителей, из которых только один испытывает турбулентные пульсации, равно произведению средних.
В частности, ~1А' — -- О. Среднее значение произведения двух пульсирующих величин не равняется произведению средних ЛВ=,ь ЛВ, а равняется сумме произведения средних величин и среднего значения произведений пульсаций этих величин ЛВ = АВ + А'В'. Заметим, что при определении средних значений с помощью интегрирования по времени или по пространству перечисленные здесь свойства осрсднения выполняются лишь приближенно. Пусть проведено осреднекие скорости и = и+ и'. Среднее значение ит не равняется квадрату среднего значения и: их == ие — ',; гс".
Об использовании раэлнчных способов осроднення Маятно назвать средним значением ие макроскопическую ь величину и'-, введенную, например„по формуле ие = и'". Для истинных значений и' в этом случае можно написать ие = ит + ит' == пе + пт", и" = О, ко ив" +О. причем р = РВТ = рВТ + Р'Т'В, Если для следующего ряда встречающихся в механике жидкости величин р, и, в, ю, р, Т, У, В, НА и т. д. ввести средние одинаковым способом, то характеристики движения таким обРазом осредненного континуума не будут удовлетворять основным законам сохранения и уравнениям состоянии, удовлетворяющимся для истинных движений.
Действительно, если, например, при изучении турбулентного движения соверптенного газа мы осредним р подобно р иТ,то 2 0 Гл. У1П. Гидромеханика и уравнение Клапейрона из-за наличия члена р'Т'В не будет выполняться для средних величин. Если же нам более удобно сохранить уравнение Клапейрона, то для осреднения р можно избрать другой способ, ввести р так, чтобы р=рвт, и тогда р = р +р' = р +р", причем р" + О, В различных теориях турбулентности для определенного набора основных величин, например р, р„рио осреднения вводятся некоторым одинаковым способом, а способы осреднения других величин вводятся по соглашению так, чтобы удовлетворялись основные законы физики, как и при обычном определении этих величин для истинных движений. Рассмотрим турбулентные движения несжимаемой вязкой жидкости.
Полная система уравнений движения в этом случае, как известно, состоит из уравнения неразрывности и уравнений импульса, которые в декартовой системе координат имеют вид Турбулентные движения несжимаемой жидкости даат дх" (21.1) ( хт ' т — . †' -(- рР;, (21.2) г дх1 ди;'~ дР 1 (, М дхт ) дх' дх" где т; — компоненты тензора вязких напряжений. Длн вязкой жидкости т;; зависят от ем, для изотропной линейной вяакой жидкости по закону Навье — Стокса 1 /дх;, дихт т = 2ре е и — — — ( — '+ —.) хи — » — З(д, д, ). (21.3) l дх; т дх ~ дэх; драни ( д6 ах) дю (21.4) При теоретических исследованиях турбулентных движений Для дальнейшего мы не будем фиксировать закон зависимости т;ь от е а, заметны только, что в общем случае т,„могут зависеть от производных е„а.
Используя уравнение неразрывности (21.1) и условие Ыр~й = О, легко показать, что левую часть уравнений Навье — Стокса можно написать в виде 1 21. Турбулентные движения жидкости исходят из предпосылки о справедливости уравнений (21.1), (21.2) для истинного неустановившегося пульсирующего движения. Однако ввиду крайней запутанности, извилистости и сложности траекторий частиц жидкости при турбулентном движении получение решений этих уравнений для турбулентных движений представляется собой громоздкую и слоекную задачу.
Ставится задача о разыскании функциональных соотношений между средними величинами. Уравнения движения для средних величип получаются путем осреднения уравнений движения (21.1), (21.2) для величин, описывающих мгновенное состояние дви кения. Осреднив уравнение неразрывности (21.1), на основании свойств операции осредневия легко получим уравнение неразрывности для осредненных величин дсе — =О; дх" (21.5) оно имеет тот же вид, что и для истинных скоростей (21.1). Осредним уравнения импульса, левуео часть которых предварительно запишем в виде (21.4). Так как Ро:ое = Ро аз+ Робот (21.5) (шготность р считается постоянной, одинаковой во всех точках), то, очевидно, получим следующие уравнения: д (т," — ре,.хж) + Рг'е (21. 7) дхл 3), дро;, дел;хл др де дх" дхе (1=1, 2 которые называются уравнениями Рейяольдса.
ЕСЛИ СВЯЗЬ т( И Е,Е (И, ВОЗМОЖНО, ПРОИЗВОДПЫХ Евд) ЛИНЕЙ- е е наЯ и Р = сопз1, то т; выРажаютсЯ чеРез ехр, так же как т, через е„ю Поэтому уравнения Рейнольдса (21 7) отличаются от уравнений импульса (21.2) для истинных движений только за счет членов вида дре~е Шесть рааличных величин ' 'х Рпф вошедших в уравнения Рейнольдса, называются турбулеяткььви ! Гл. ЧШ. Гкдромеханкка напряжениями.
Заметим, что истинные напряжения ты в газе представляются такого же рода формулами через скорости молекул. Вид зависимости турбулентных напрюкений от средних характеристик течения в различных классах задач может быть различным. Этн зависимости требуется устанавливать или постулнровать на основании специальных гипотез или опытных данных. Таким образом, ввиду нелинейности уравнений истинных движений, после нх осреднения мы получаем большее, чем число уравнений, число неизвестных, Следовательно, для математического изучения осредненных турбулентных движений одних уравнений гидромеханики, достаточных для изучения истинных движений, недостаточно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
