Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 51
Текст из файла (страница 51)
В общем случае принимается, что координата х представляет собой длину дуги вдоль профиля, а координата у измеряется по нормали к профилю, Зависимость Гс' (х, 1), задающая скорость на внешней границе пограничного слоя, определяется иэ решения соответствующей задачи теории идеальной жидкости. Предлозкены уточнения уравнений (22.8) для учета криволинейности обтекаемых профилей и для 1 22. Уравнения ламинарного пограничного слоя 257 и = («оид 1 е= — 'и, туе = ~ «» р = Перд (22.9) д «« л = «х„ ./ т« У=)~' Уы «ге где «и («е — некоторые постоянные — характерные линейный размер и скорость. Выполнив зто преобразование, получим дид дид дид 1 дрд 1 дтид дтид — + «д — + д'д — = — — — + — — + дп дхд дуд р дхд а дал д д 1 дрд 1 ддед, 1 деед Г 1 /дед . дед ды~ — ( — +и,— и вд — )— а (д~д д, ду,) р дгл ' а" дхд дуе д дид дад — + — =О, дхд дуд (22.10) где и = — — число Рейнольдса.
Эти уравнения представляют ««е« собой точные уравнения Навье — Стокса, записанные в соответствующих безразмерных переменных. Предположим теперь, что при й — э- е все величины с индексом 1 в (22.9) и (22.10) сохраняют конечные значения. После перехода к пределу при й -е о из (22.10) получим ди, 1 др, деи, е — — — —.
+— дид дид — -)- и, —. ддд ' дхд д дуд а д ихд (22.11) р дуд дид, дед — + — = О. дхд ' дуд Эти уравнения после обратного преобразования с помощью (22.9) переходят в уравнения (22.8) и (22.3). Таким образом, уравнения пограничного слоя можно рассматривать в некотором смысле как предельную форму уравнений Навье — Стокса, когда число Рейнольдса Й =- Ого««т стремится к бесконечности. В задачах об обтекании профилей необходимо решать систему (22 11) со следующими граничными условиями: и, =- О, н = 0 при уд = 0 (условие прилипания на профиле) и и,= У(х, «)/Уе при у, =- о (условие на внешней границе погра- 9 л.
и. салол, том з исследования пространственных задач. Более формальный математический вывод уравнений (22.8) с более определенной формулировкой соответствующих предположений можно дать следующим способом. В уравнениях (22.2) н (22,3) сделаем следующее преобразование переменных; Гл. У!11. Гидромеханпка 258 пичного слоя), причем внутри яограничного слоя р1 (х, 1) ие зависит от уг и определяется иа решения задачи о внешнем обтекании.
Задача о внешнем обтекании профиля идеальной жидкостшо в первом приближении может быть решена без учета наличия пограничного слоя, так как для толщины пограничного слоя по (22.7) имеем д . Г т 1 — — = — = — «О при д— 1 Ю ра З 23. Пограничный слой при оетекапии несжимаемой жидкостью плоской пластинки. Задача Бля, иуса Дадим теперь полное решение задачи об устаповившемся пограпичпом слое па абсолютно гладкой тонкой неподвижной пластинке — полуплоскости у = О, х ~ О (см. рис.
89), когда скорость Уи избегающего потока постоянна и направлена по оси х (по пластинке). В этом случае уравкония (22.8) и (22.3) приобретают вид ди ди д'и и,- — + и — =и —, ' ди ду дуи ди ди — —; — — =О, ди ' ду (23.1) так как движение установив|пееся, а внешний поток представляет собой поступательпое движение с постоянным давлением ри. На пластинке имеем условие прилипапия при у =- О, х '.и О и =- г =- О, (23.2) па внешней границе пограничного слоя яри у= и= бтю (23.3) Так как в рассматриваемой задаче пет характерного липейпого размера, то сибезразмерных определяющих параметров Автемодельность решения стема размериых и имеет вид и и'е т.
е. толщина пограничного слоя получается очень малой при больших значениях числа Рейпольдса, характерных для мно- гих практически важных задач. т 23. Пограничный слой при обтекании плоской пластинки 259 Поэтому искомые функции и (х, у) и ю (х, у) можно представить через безразмерные функции г и Ф вида (23.5) Если теперь в уравнениях (23..д) и в граничных условиях (23.2) и (23.3) совершить замену переменных: ./ »~ тУа х = ~хм у = )/ — уы и= ~/аддд и = )/ — иы (23 6) Па то полу*палс дид дид д'ид и, — + пд —, ' д* ' дк дка д дад — =О дауд х, ~ О, у, = О и, = и, = О, уд ОО ид = т. дид дхд (23.7) и при а при Уравнения и граничные условия для функций пд(хд, уд) и пд (х„у,) не содержат параметра (, поэтому решение системы (23.7) не должно зависеть от д. Из (23.5) получим и / уд (23.8) ггтд / тл (23.9) 91 .Гоаа ~ так как аргтддонт уд ~ '(хд )/ — ) содержит параметр д, от которого решение не аависит.
Из формул (23.8) вытекает, что уравнения с частными производными (23.7) приводятся в данной задаче к обыкновен- ям с одной независимой переменной Гл. УШ. Гндроиеханнка днс дхс — + — '=о дхс Асс следует, что для плоскопараллельньсх движений несжимаемой жидкости существует (см. гл. УП, ч. 1) функция тока ср (им рс) такая, что дф и ос= — —. д дф ис =— дус Полагая 1 ($) = ф',($) = ф' ( = — ' ), найдем Таким образом, на основании уравнения неразрывности полу- чим, что компоненты иг и ос выражаются через функцию ср ($) в виде ис = ср'( $), 1 1 нг = —,, = — !$ф'%) — ф(ЭН. у хс (23.10) Подставляя (23.10) в уравнение движения, после простых преобразований получим 2ср" Я) + ф ($) ср ($) = О.
(23.11) Для получения решения этого нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка необходимо найти функцию ср (5) в интернале 0 ( $(сс, удовлетворяющую уравпениям (23Л1) н на концах интервала О( $~ со следующим граничным условиям, вытекающим иэ (23.7)с ф (0) = ср'(0) = 0 и ср' ( ) = 1. (23.12) Дла определения функции ф ($) требуется решить краевую задачу. Эту краевую задачу легко свестн к задаче Коши с данными на одном конце, если воспользоваться следующим обпсим свойством решений уравнения (2ЗЛ1). Пусть ф, ($) — некоторое решение уравнения (23Л1); непосредственной проверкой легко убедиться, что функция ф(В) = Осдфо(астсй) (23Л3) Решение задачи Блнзиуса В общем случае иэ уравнения неразрыв- ности 1 23.
Пограничный слой при обтекании плоской пластинки 261 также является решением уравнения (23Л1) при любом постоянном а. Определим теперь функцию Ф, Д) как решение следующей задачи Коши для уравнения (23.11): ф, (0) = Ф, (0) =О, % (О) = 1. (23.14) С помощью уравнения (23.11) и данных Коши (23.14) функцию ф, (6) нетрудно рассчитать известными численными методами для любых $ ) О. По данным расчета можно определить предел 1!ш ф'(6) = й+ 1, причем йч'= —,„.
(23.15) Определим теперь в формуле (23ЛЗ) постоянную а таким образом, чтобы удовлетворялось условие (23.12) при $ — +ос. Имеем ф'(6) = хчф„'(г!), 0 = хч'6 и ф (з) = хф„(г!) 'Р" (О) = а. Отсюда слодует, что Бгп ф'(с) = ач*1лл ф'(г)) = х*ьй, :.с ч; Очевидно, что для получения искомого решения для функции Ф (з) с помощью формулы (23.13) достаточно полоягить а"'й =- 1 или на основании (2ЗЛ5) (23Л6) х = —, = 0,332. Рм Следовательно, полное решение представляется формулами (23.10) и (23.13) при фе (6), определенной из численного решения аадачи Коши (23.14). Вычислим теперь касательную составСопротинзение трении ляюгцуго т напряжекия вязкого трения на поверхности пластинки.
По закону Навье — Стокса имеем = 0,332 — -'-' . (23Л7) Напряжение трения зависит от координаты х и падает с ростом х, Гл. ЧП1. Гидромохаиика 262 Полное сопротивление одной стороны прямоугольного участка пластинки ширины Ь и длины по потоку 7, представится формулой д~ = 0,804Ь )/р(ля/ о Отсюда для коэффициента трения получим 2й 1,828 (23.18) ГдЕ и -= 77о/./Ч.
Таким образом, в этом случае полное сопротивление пропорционально скорости обтекания 7/о в степени 3/2, а коэффициент трения обратно пропорционален корню квадратному иэ числа Рейнольдса. Напомним, что сила сопротивления движению тел с постоянной поступательной скоростью в вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса пропорциональна первой степени скорости, а в идеальной жидкости, когда парадокс Даламбера не имеет места, пропорциональна квадрату скорости. Согласно (23.10) распределение продольной компоненты скорости в пограничном слое определяется формулой -='Ъ'=:;) н представляется кривой, вид которой изображен на рнс, 89.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
