Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Поэтому полное теоретическое исследование осредненных турбулентных движений возмоя1но только на основании некоторых дополнительных законов или гипотез, справедливость которых может быть в конечном счете установлена только на опыте. Содержание многих работ по исследованию турбулентных движений сводится к изучению справедливости различных простых и естественных гипотез о зависимости турбулентных напряжений от средних скоростей и их градиентов, которые позволяют поставить и решитьтеоретически основные частные задачи о турбулентном движении. В настоящее время не существует общей математической постановки задачи о произвольных осредненных турбулентных движениях и вообще не выяснена возможность такой формулировки задачи. Иногда по аналогии с законом Навье — Стокса (21.3) полагают, что ты = 'гы — Рп1п« = «~1аы, где М, =- р + М, М вЂ” коэффициент турбулентной вязкости, который в противоположность коэффициенту молекулярной вязкости р зависит от переменных параметров движения жидкости.
Отметим, что закон Навье — Стокса в случае турбулентных движений становится второстепенным, так как вместо гипотез о аависимости ты от е„э можно непосредственно выдвигать гипотезы о зависимости тй от е,э и, таким образом, совсем не привлекать к рассмотрению закон Навье — Стокса. Это можно оправдать также тем, что законом Навье — Стокса, вообще говоря, не отражаются такие свойства жидкости, которые могут оказаться существенными в турбулентных потоках. 2 22. Уравнения ламикарвого пограничного слоя 253 2 22.
'Уравнения ламинарного пограничного слоя Учет свойства вязкости жидкостей и газов ведет к повышению порядка дифференциальных уравнений движения и в связи с этим появляются добавочные краевые условия па границах объема движущейся среды. Типичными примерами таких условий являются условие полного прилипания жидкости или газа к подвижным телам или неподвижным граничным стенкам и условие непрерывности трех компонент вектора силы напряв~ения па поверхностях контакта двух сред. 11ри рассмотрении задачи об обтекании тел идеальной жидкостью условие обтекания сводится к равенству нормальных составляющих скоростей жидкости и тела на поверхности тела.
На поверхности тела касательные составляющие скоростей тела и жидкости различны, поэтому в рамках идеальной жидкости вдоль поверхности тела возможно проскальзывание частиц жидкости относительно тела. Нетрудно видеть, что влияние вязкости на поле скоростей проявляется существенным образом за счет граничных условий, которые запрещают такое проскальзывание. Это обстоятельство хорошо иллюстрировать на примере задачи о движении тела в несжимаемой жидкости. Легко видеть, что подробно изученные раньше поля скоростей и давлений, возникающие при регпениях задач о потенциальном обтекании тел несжимаемой жидкостью, являются также точными решениями уравнений Навье — Стокса.
Это очевидно непосредственно, так как для потенциальных движений несжимаемой жидкости верны равенства Лср =- О и ягаб А~2 = Ьи = О, (22.1) следовательно, для потенциальных движений несжимаемой жидкости р Лю = — О, т. е. для таких движений уравнения Навье— Стокса точно совпадают с уравнениями Эйлера для движения идеальной жидкости. Отсюда ясно, что при одинаковых движениях твердого тела в гкидкости отличие поля скоростей вязкой кидкости от соответствующего поля скоростей идеальной жидкости существенно связано с условием прилипапия, которое должно выполняться в вязкой жидкости.
Опыт и качественные теоретические соображения указывают, что в некоторых важПонятие о пограв яичном слое ных случаях на движение жидкости существенное влияние оказывает условие отсутствия проскальзывания жидкости только непосредственно вблизи самой границы, в тонком слов, окутывающем поверхность обтекаемого тела. ! Гл. УИ1. Гидромехаивка Уравнения ламвиариого пограпичвого слон В связи с этим возникла теория тонкого пограничного слоя на границах вязкой жидкости — тонкого слоя, внутри которого нельзя пренебрегать вязкостью. В атой теории принимается, что имеется основпой поток жидкости, которую можно рассматривать как идеальную, и имеется тонкий пограничный слой, внутри которого жидкость рассматривается как вязкая; на границе пограничного слоя этидва течепия непрерывно сопрягаготся. Существенно отметить сразу, что такое представлепие о структуре поля скоростей вязкой жидкости приемлемо во многих типичпых классах задач, но в ряде случаев эта точка зрепия пе отвечает действительности.
Подробное апакомство с теорией пограничного слоя позволяет более определенно разъяснить и выделить задачи, в которых эта теория перестает успел|но действовать. Представление о погравичном слое оказалось плодотворным по двум главным причинам. Во-первых, появилась возможность производить построение теории движения вязкой жидкости и газа на основе известных решений уравнений для идеальной жидкости и газа.
Во-вторых, сложные уравпения Навье— Стокса в тонком пограничном слое оказалось возможным заменить более простыми уравнениями теории пограничного слоя. Уравнения и основные понятия теории пограпичного слоя были установлены в 1904 г. Л. Прандтлем. В пограничном слое, так же как и при течении в трубе, режимы движения жидкостей или газов могут быть как ламинарными, так и турбулентными. При разных режимах течения основные характеристики движепия нзидкости и законы, управляющие ламипарным или осредценвым турбулентным движением в пограничном слое, получаются резко отличающимися друг от друга, Ниже мы рассмотрим теорию ламинарного пограничного слоя.
Для получения уравпений теории погравичного слоя рассмотрим основную модельную задачу об обтекании несжимаемой вязкой я идкостью неподвижной тонкой пластинки, постав- ленкой по скорости набегающего поступательного потока перед пластинкой (рис. 89). Вывод уравнений движения в пограничпом слое основан на оценках — гипотезах о порядке различных членов в уравнениях Навье — Стокса и пренебрежении малыми членами; сохраняются только конечные члены. Для плоскопараллельного движения"в плоскости ху имеем следующие уравнения ') движевия вязкой несжимаемой г) Под членами этих уравнений указаны их оценки по вэличиие 6 (толщина погравичиого слоя).
Справедливость втих оценок обсуждается вижэ. $22. Уравненкл ламлнаркого пограничного слоя 255 жидкости: 1 др /ди — — +т( —, р дх ' (, дх' ди, ди ди + у — =— ду') ' ~е + дуе)' дс ' дх ду »в д» "-~- Р— ду г ь1 (22.2) 1 др, /дт» — -- т~' —,— р ду ' (,дхг дс д« вЂ” + и— дс дх »г ди де — + — '=О.
дх ду 1 1 (22,3) Пусть / — некоторый характерный размер, например длина пластинки. Обозначим через б «толщину» пограничного слоя. По основному допущению примем, что на расстоянии Ь по нормали от обтекаемой поверхности (пластинки) имеется «граница» у/с/ Рке. 89. Пограввчкый олой на обтекаемой пластинке. д»и 1 д»сс ду» б» дз» ди 1 ди ду=б дч' пограннчногослоя, на которой скорости жидкости извне и изнутри пограничного слоя практически совгсадают (практическая малость разности скоростей в процентном или в некотором другом отношении определяется дополнительным условием). б Величина б или, точнее, отношение — принимается в качестве основной малой величины.
Воспользуемся преобразованием: Х= сз, Р= ЬЦ (22.4) и предполо'ким, что в пограничном слое переменные $, ц и х изменяются в конечных пределах, а интервал изменения переменной у имеет порядок 6. Дальше примем, что величины // (Г), и (л, г), их производные по времени и производные ди/дл, д»и/дх» внутри пограничного слоя и на его границе с основным потоком конечны. Из равенств Гл, 7П1. Гидроыехаыыка так как и и Ч изменяются в конечных пределах, следует, что ди 1 д'и 1 ду б ' ду' 6' ' (22.5) Далее, из уравнения неразрывности (22.3) имеем Г ди дси 1 дс де о= — 1 — с(у б, — „—,—, б —,. б.
дх дус б ' дх ' адис е ди ди ду ах ' (22.6) На основании этих оценок под каждым членом уравпекий (22.2) и (22.3) указан порядок его величины. Первое из уравнений (22.2) показывает, что при конечных 1 и (с должно быть конечным тс/бе, в безразмерном виде должно быть б' ./ — — или б.= 1 1гс Р Ю! С'1 (22.7) Эти прикидочные оценки и послуясили основой для упрощения уравнений Навье — Стокса в гюграничном слое. После сохра- нения в (22.2) только конечных членов получаются следующие уравнения пограничного слоя: аи 1 др аси и — = — — — ч а —, ду р дх ду' (22.8) р = р(х, 1).
ди, ди — — с- и — + ас ' а — =О или др ду К этим уравнениям необходимо добавить уравнение неразрывности (22.3). Уравнения (22.8) остаются нелинейными. Поперек пограничного слоя давление сохраняется постоянным и определяется значением на границе слоя в основном потоке, рассчитываемым из теории идеальной жидкости, следовательно, в уравнении (22.8) член др сдх моя'но считать известным. В отличие от уравнений Навье — Стокса система уравнений (22.8) и (22.3) поддается решению в ряде важных случаев. При приближенных расчетах эта система применяется не только для исследования движения в пограничном слое на плоской пластинке, но и для исследования движения в пограничном слов на криволинейных профилях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
