Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Определение поля скоростей по заданным вихрям и источникам Напомним определение понятий объемной плотности источников з (хт, х', х', 1) н вихря от (хт, х', х', 1) для поля скоростей х =- г'э;, определяемого с помощью своих компонент и' (х', х', х', 1), заданных в соответствующем базисе а;, как кусочно непрерывные дифференцируемые функции пространственных координат х' и времени г в некоторой области Ю евклидова пространства, Имеем (25.1) е = е)1ч ю = рапл эт эо эз д д д дх' дхт дхо 1 ео = — го1 тт =— з ух (25.2) пт и уэ где д -- ! яы ), яы — компоненты метрического тензора.
В декартовой системе координат я =- 1 и эе — — э'. В гл. 11 детально выяснен механический смысл инвариантных характеристик е и ом Для несткимаемой жидкости в отсутствии источников массы е = О, при ю =р, О движение среды вихревое. Если поле скоростей тт известно, то с помощью операций дифференцирования легко вычислить е и ю. Инвариантные характеристики е и ю моятно ввести для любого векторного поля, и вся последующая теория может относиться к любому векторному полю, а не только к полю скоростей.
Об определении е к ео прк данном векторном поле кие изменения скорости из-за прилипання на стенках, но и резкие изменения температуры, плотности, а в некоторых случаях и химического состава среды. Прн больших температурах торможения и больших статических темпоратурах в газовом потоке могут возникать различного рода физико-химические процессы, связанные с иопизацией. химическими реакциями, оплавлением и испарением поверхности обтекаемого тела, с диффузией и излучением. В этих случаях особенно ва'кноо эяачоние имеют свойства теплообмена между телом и обтекатощим потоком газа илм жидкости.
Все эти явления имеют болыиое значение в тонких пограничных слоях, Проблемы теплообмена и нагревания тел, движущихся в газе с большими скоростями, в значительной степени являются проблемами теории пограпичяого слоя. 2зй гл. Ч111. Гнлромеханнка Например, в случае стационарного электромагнитного поля из уравнений Максвелла (см. гл. Ч1, т. 1) для вектора магнитной напряженности ХХ имеем го1 ХХ = — 'л,у н йч ХХ =- — 4к Й(ч йХ, (25.3) где Х вЂ” вектор электрического тока, а скаляр — 4я д 1ч 1(Х определяется вектором намагниченности йХ; если намагниченность отсутствует или имеет место связь М=.- й,ХХ (кг =- сопзС), то йч.Н =-. О.
(25.4) Для вектора электрической напряженности Х стационарного электрического поли из уравнений Максвелла имеем гог Е=О и йчХ"=4я(р,— йт Р), (25.5) где Е' — вектор электрической поляризации, а р, — плотность рагпределевия зарядов, Если поляризация отсутствует или если Е' =- ЙаЖ (Йа = сонет), то (1 -'; 4пйа) д! ч Х = 4кр,. Задача определенна Ниже рассмотрим обратную задачу векторного ноля об определении векторного поля по ва- но заданным е н а данной днвергенции н ротации искомого вектора. Многие теории в механике и физике вообще непосредственно связаны с яредварнтельным заданием плотности источников и распределения вихрей при постановке задачи илн эти характеристики поля определяются после разрешения вспомогательных уравнений, В связи с этим возникает важная проблема определения соответствующего векторного поля через величины е и ю, Далыле ради терминологических удобств будем говорить о поле скоростей и, об объемных источниках з и о поле вихрей го для движения сплошной среды.
Развиваемая ниже теория имеет кинематическвй характер и не связана непосредственно со свойстзамн среды. Динамические н физические свойства среды могут существенным образом проявиться при задании функций е (х, у, з, г) и го (х, у, з, 1) в зависимости от координат и, особенно, от времени 1. Все полученные ниже формулы и выводы прилагаются в теориях различных векторных полей. Прежде всего рассмотрим задачу об определении непрерывного ноля скоростей х в безграничном пространстве, когда во всем пространстве задано скалярное поле е и векторное поле <о. Время 1 в последугощих выводах входит только как внешний параметр.
По условию примем, что е — ~О и ь-еО при Ла= ~'ха+уа+з'-а, (25.7) $ 25. Определение поля скоростей по ввхрям в источникая 269 т. е. е и ю исчезают при удалении в бесконечность (х, р, х— декартовы координаты точек пространства). Будем для вектора и искать решение, исчезающее в бескоиечиости, т.
е. удовлетво- ряющее условию и-~0 при Л,-~ оо. (25.8) Нетрудно доказать, что поставленная задача ыожет иметь только единственное решение. В самом деле, предположим, что имеются два решения пт (х, у, г) и пз (х, у, г). Покаркем, что вектор и = и,— па тождественно равек нулю, если и — ь О при В, — со, Для векторного поля и имеем йрл и = 0 и гоь и = О. (25.9) Едвпствепность решения оотавлеппой задачи Иа второго равенства (25.9) следует, что вектор и потепциаль- яый и, следовательно, существует потенциал ~р (х, у, з) и= грай ~р. Иа равенства йрл и =- 0 следует Ьр = О, причем (ягай (р) = О, (25.10) т.
е. функция щ (х, у, г) — регулярная гармоническая функция с градиентом, исчезающим в бесконечпости. Рассмотрим сферу радиуса В, с центром в начале координат, Как показано в 2 12, максимальнаЯ скоРость потенЦиального потока ишзз должна достигаться ка границе области, аанятой потоком; отсюда следует, что для внутренности любой сферы достигается яа ее поверхности, ио так как и -+ 0 при В, — оо, то отсюда следует, что всгоду )/ (-Д-) +(в~ ~ +(а~) =0 или (дгай р(=О, Постановка задачи об определении полн скоростей по распреде- леппю псточппаов т. е.
имеет место тождество п = О, что и доказывает единствениость решения поставленной задачи. На основаиия доказанной едипствеииости решеиия разделим основную аадачу иа две задачи. Первая задача — определить потенциальиое (безвихревое) векторное поле скоростей при е + О иго = 0; вторая — определить поле скоростей вихревого двюкеяия несжимаемой жидкости при е = 0 и ю Ы- О.
Очевиддо, что реше- 270 Гл. т'1И. Гидромеханниа ине полной задачи можно представить в виде суммы решений первой и второй задач. Рассмотрим первую аадачу. Имеем (25.11) тг = игам Ф и ЛФ =- е. Построение решения сводится к отысканию потенциала Ф(х, у, з), удовлетворяющего уравнению Пуассона с ааданной правой частью, равной е (х, у, е). Для получения решения необходимо принять некоторые предположения о свойствах функции е (е, ть ь), Здесь и далее через з, т1, ь будем обозначать координаты точек, в которых задано распределение источников е, а через х, у, з — координаты точек, в которых ищется потенциал Ф. Мы примем, что е($,г), ь) — кусочно гладкая функция, причем, начиная с некоторого достаточно болыпого значения В = ~/Ег+ т1г+ ~- '= Л„ выполняется неравенство л ~е~ ~.
Лг+л (25,12) где л ) О и О ( Х ° 1 — подходящие постоянные, В частности, неравенство (25.12) выполняется, когда е отлично от нуля только внутри некоторой конечной области пространства. Так как е имеет смысл объемной плотности расхода источников, то естественно искать потенциал Ф (х, у, з) в виде суммы потенциалов источников, расположенных в точках $, т1, ь. Положим О сходимооти интеграла, продетаалявщего решение с+а+с мло г определяет функцию х, у, з, исчезающую в бесконечности как 1(Вг. Покажем прежде всего, что в силу условия (25.12) интеграл в (25.13), взягыйпо всему пространству, сходится и определяет собой функцию Ф (х, у, з), стремящуюся к нулю прв Лг — — у' хг+ уг -~- '"'.— о.
Часть интеграла (25.13), в которой интегрирование проиаводится по внутренности сферы некоторого радиуса Ва с центром в начале координат, $25. Определение паля скоростей по вихрям п источникам 271 В случае, когда е ~ О в бесконечной области, из неравенства (25.12) следует, что 1 ~ — '"'!' ~.. ""= и+с*+с*~я', т'+ч'+с'>с соек л так как в сферических координатах дт = гтаЫгт з!пО«О«~р, а смысл величин В, .—.—. ) гха -~- у' -,'- х' и у ясен из рис. 92. Из (25.14) Рнс. 92. Схема для расчета аеличпкм г = Уг(к — 5)'+ (к — ч)" + (а — 1Т' и из условия О с Х ( 1 очевидно, что объемный интеграл ~ (Лд) прн Л, + О сходится. Функцию ~ (Л,) с точностью до постоян- Порндок исчезания потенциала и скорости ной легко определить действительно а бесконечности имеем Р" «(Л ) а(пЕ«Е«р о аа Лд (Н ) ф ~Н ~ +1 2~ — )сост (25 15) Таким образом, при наличии неравенства (25.12) функция у (Л,), а следовательно, и потенциал Ф (х, р, з), определенный формулой (25 13), нри Вг — со стремится к нулю как 1/Л~х.
Эти выводы сохраняют свою силу, если плотность е в некоторых точках или на некоторых отдельных) линиях и поверхностях имеет разрывы или принимает интегрируемые бесконечные значения. 272 Гл. Ъ'Ш. Гвлромехапвка Для огас( Ф можно написать и = пгас)Ф =- — ~ —.с)т. Г сг 4язт' (25.10) где Г с>(т 4ч~ г Ф" =— 1 Г с>(т 4я Л г Очевидно, что в точке ЛХ, внешней к области У', функция Ф" (х, у, з) аналитична. В точке ЛХ при г = )/(х — й)с + (у — ц)с + (з — >)'+ О, так как точки $, >), Ь принадлежат 27', имеем с(1/г = О, поэтому Л)Ф' = О ') В иыстсппаисксй механике определение потенциала гравитационных спп по плотпсстп распрсделвкпя масс сзолятся к этой задачо (стр.
272, т. 1). Если првиять, чго Вселенная бесконечна, а средняя плотность масс постоянна, то (2бд2) не булат выполняться ') Прп болев тонком акалпзе зта предположение можно ослабить, Если в конечной части пространства и в начале координат е конечно пли внтегрируемо, причем выполняется неравенство (25 12), то интеграл в (25,16) сходится и скорость п исчезает в бесконечности как 1/Л,"". Если заданные значения е не удов.>етворяют условиям ингегрпруемости или ограничению ~) (25.12), то интеграл для Ф в (25,13) может терять смысл, и позтому нельзя искать решоние задачи в виде (25.13). В етом случае решение рассматриваемой задачи вообще может отсутствовать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
