Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 56
Текст из файла (страница 56)
97), пересекающим поверхность Хе. В общем случае, если дг~дп, непрерывна на Хе, нормальные составляющие скорости к Х" во внутренних точках Хе также непрерывны. Следовательно, вихревая поверхность Хе является в этом случае поверхностью разрыва только касательных составляющих скорости жидкости. В общем случае при подходе к точкам контура С, ограничивающего Хе, скорость жидкости может обратиться в бесконечность. Если Г (Л) задана как функция точек Л на Хе, то линии Г (Л') — — сопя» на Хе соответствуют вихревым нитям.
Вектор разрыва касательной скорости на Хе определится формулой йгайэ ~р — аргайл ~р» — — и,„— и'„= дгайл.г (М). (26.12) Здесь через ягайв ~р обозначен вектор, в который проектируется вектор ягаб ~р на плоскость, касательную к Хе. Вектор разрыва касательной скорости на Хе направлен по нормали к вихревым линиям иа Хе. Иэ формулы (26.12) следует, что, если движение жидкости везде вне Хе потенциально, то вектор разрыва касательной скорости на поверхности 3е должен обладать потенциалом Г (Ж), Гл.
У111. Гидромеханика 288 Шлепок по свободной поверхности воды Рассмотрим удар — шлепок по некоторой плоской площадке Хв на свободной гориаонтальной плоскости ху, ограничивающей нижнее полупространство г ( О, занятое покоящейся несекимаемой жидкостью (рис. 96). Для определения потенциала скоростей возмущенного движения в момент времени, следующий непосредственно после удара, в нижнем полупространстве имеем задачу Дирихле. Рис.
98.$по площадке Е' в момент е = 0 дей- ствуют импульсивные давления (шлепок). На плоскости ху вне Хв импульс давления равен нулю и поэтому р, = — уф=О. (26.13) На площадке Хв импульс давления известен, поэтому р = — рфг()У), (26.14) где ф, (Л') — известная функция на Хв. учитывал условие отсутствия возмущений в бесконечности и продолжив аналитически гармоническую функцию ф в верхнее полупространство с помощью соотношения (см. т 12) ф(х, у,г) =- — ф(х, у, — г), получим движение бесконечной массы жидкости с поверхностью разрыва потенциала скоростей вдоль площадки Хо.
Обозначая через ф, значение потенциала ф при подходе к Х * сверху, имеем фт = — ф, или по (26.10) и (26.15) р, — ф, == — 2ф„=: Г+О. Площадку Хв можно рассматривать как поверхность разрыва касательных компонент скорости дф~дх и дф(ду, нормальные составляющие скорости дф/дг согласно (26.15) при г = 0 одинаковы. Таким образом, потенциальное движение несжимаемой жидкости в нижнем полупространстве или продолженное движение во всем пространстве можно рассматривать как индуцированное т 29. Важные примеры вихревых полей 287 Глиссироваиие как последовательность шлепков Рис. 99. Схема вкхревых линий при глиссировавии по сзободиой поверхности воды или при движении крыла конечного размаха в бесконечной массе жидкости.
щенном уровне горизонтальной плоскости и когда условие ') ~р = 0 вне шлепков на плоскости хр сохраняется, движение жидкости можно продолжить в верхнее полупространство. После этого получается движение во всем пространстве с поверх- ') Если пренебречь весомостью и квадратом малой скорости абсолютного дзижеипи жидкости сз, то условие о постоиистее атмосфериого давления рз иа свободной поеерхиостк на основании интеграла Коши— Лагранжа д~р риз Р— Р1= — р —, —— д~ 2 дает др / дс = О или р = сопла В тех местах плоскости зю через кото- рые шлепки ие проходили, имеем у=О, системой вихрей, распределенных по площадке Хе. Распределение этих вихрей связано с распределенкоы импульса давлений, который меняет быть задан непосредственно или определен в результате решения задачи Неймана, если задача об ударе (шлепке) на Хе ставится так, что на Хе известны нормальные скорости дср/дз (см.
ч 12). По заданным значениям потенциала ~р, на Х е поле скоростей возмущенного движения жидкости можно определить с помощью формулы Био — Савара. Математическую задачу об отыскании распределения циркуляции Г (Л') = — — 2~р, ф) можно формулировать, опираясь на формулу (26.9). Рассмотренную выше задачу о шлепке можно усложнить и рассмотреть непрерывную последовательность шлепков, перемещающихся с течением времени по свободной границе жидкости. Таким путем можно строить решение задачи о взаимодействии воды с днищем глиссирукнцего (скользящего с оолыпой скоростью по поверхности воды) катера. При рассмотрении линеаризированной задачи о глиссировапии, когда граничные условкя формулируются на невозму- Гл.
УШ. Гкдромехаккка Внкрекак система в теории крыла конечного размаха Теорема Томсона н обрааованне внхрекой нелепы постыл разрыва потенциала на плоскости ху. Эта поверхность разрыва совпадает со следом передвигающихся по плоскости ху шлепков и соответствует системе вихревых линий, общий вид которых указан на рис. 99. Если движение продолжалось от 1 = — со, то след за поверхностью, глиссирующей с конечной скоростью, простирается нааад до бесконечности. Аналогичная вихревая схема вводится также для схематизации действительного двия«ения среды в случае движения в пей крыла конечного размаха.
Задачи определония возмущенного движения жидкости в нижнем полупространстве при глнссировании и возмущенного движения бесконечной массы жидкости, вьшванного движением соответственно выбранного крыла конечного размаха, в приближенной постановке одинаковы. При наличии у крыла подъемной силы, направленной вверх, главная масса жидкости отбрасывается вниз. Направление движения среды на рнс.
99 показано стрелками. Основная трудность решения задачи состоит в определения вихревой системы на плоскости ху. Очевидно, что определение этой вихревой системы сводится к установлению распределения циркуляции по контурам типа М», пересекающим поверхность разрыва Хе. Заштрихованная на рисунке область соответствует подвижной площади крыла или глиссирующего днища; на этой площади происходит силовое взаимодействие между крылом или днищем и жидкостью, и вырабатываются разрывные значения ~р и В остальной части поверхности разрыва — в свободной «вихревой пелене» вЂ” «удары» уже нс происходят, н разрыв ~р~ =- — Т» сохраняется постоянным. Таким образом, в рассматриваемой схеме мы имеем возмущенное движение идеальной несжимаемой жидкости с поверхностью разрыва касательной скорости — вихревой пеленой, образующейся за движущимся крылом.
Согласно теореме Томсона в идеальной несжимаемой первоначально покоившейся жидкости вихри не мокнут возникать, но возникновеяие поверхности разрыва касательной составляющей скорости, стекающей с задней острой кромки поверхности крыла внутрь жидкости, вполне возможно и этот динамический эффект хорошо отвечает действительности. Такую поверхность разрыва в жидкости можно рассматривать как вихревую поверхность, и в этом смысле без противоречия с теоремой Томсона можно говорить о появлении вихревых движений в идеальной жидкости. Этот вопрос был у»ке отчасти обсужден в б 7 гл. т'1 т. Е Приводимое иногда объяснение появления вихревой пелены за хорошо обтекаемым крылом за счет вязкости жидкости, $26. Важные прпмерм вихревых полой 289 вообще говоря, неверно.
В задаче о крыле влияние вязкости проявляется в превращении вихревой поверхности раарыва касательных скоростей в тонкий пограничный слой непрерывного изменения скорости, Этот слой тянется за крылом назад н на далеких расстояниях от крыла сильно деформируется и размывается в общей массе жидкости. Однако эти эффекты не оказывалот существенного влияния на возмущенное движение жидкости вблизи кролла, Этим объясняется, что расчет движения лкидкости вблизи крыла в рамках теории идеальнои жидкости дает правильную кортику распределения давлений.
С помощью пайдонного таким ооразолл распределения давлений мо;кпо правильно вычислить подъемную силу крыла и правильно найти долю индуктивного сопротивления, обусловленного распределением давления. Подчеркнем, что в этой схеме в рамках теории идеальной ялидкости в установившемся дзян<енин в бесконечности сзади крыла в плоскостях, параллельных плоскости уз, остается возмущенное движение жидкости (нет выравнивания давлений и скоростой), за счет нарастания энергии этого возмущенного движения получается индуктивное сопротивление в идеальноп жидкости. Полное сопротивление можно получить как сумму индуктивного сопротивления и сопротивления трения, определенного с помощью теории пограничного слоя.
Таковы общие качественные основы схематизации общей картины движения жидкости при постановке задачи о движении крыла конечного размаха в несжимаемой идеальной жидкости. С помощью закона Био — Савара в липеаризированной теории крыла и во многих других случаях задачу об определении возмуп1енного движения жидкости полено сводить к задаче об отыскании системы вихрей, индуцирулоших искомое поле скоростей. Фактический расчет полного поля скоросполе и потенциал еллоростев тей по формуле Био — Савара (26.2) припрямолпне™йпой вихревой водит, вообще говоря, к громоздким форпптп мулам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
