Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 59
Текст из файла (страница 59)
е. если скорость ьГ этого объема пе равна скорости частицы жидкости, принадлежащей вихревой линии, то на эту частицу должка действовать концентрированная внешняя сила. Ив уравнения количества движения после порехода к пределу для конценгрированкой силы, действующей на едипицу длины вихревого шнура, получается следующая формула: (27.14) Х+»У = — !рд.,ыг, где à — циркуляция вокруг вихревого шнура, а комплексный вектор Чо»ы ' «?х + !уа представляет собой вектор скорости вихревого шнура относительно;кидкостп, опредгтиомый форчулой (27 15) и «ы — «? Гслп вихрь свободный, то «та»и == О, и, следовательно, Х+!У=- О; в этом случае пет внешней концентрированной силы, действующей на завихргннук» жидкость.
Коли па»и 4- О, то на завихренну»о жидкость действует сила, определяемая формулой (27.14). Сила, действующая со стороны жидкости па внешние тела, обусловливающие заданное движение вихревых шнуров, равна») (27 16) — (Х + 1У) = !Р17„»иГ. Эта сила гродставляет собой обощенио силы Н. Е. Жуковского. Мне»китель 1 в формулах (27.14) и (27.16) показывает, что сила, вынуждающая двигаться вихрь по заданному закону, и ее пРотивоДействие напРавлены пеРпенДикУлЯРно к вектоРУ «7»»„. (Лргуь»енты комплексных векторов д„и и — (Х + !У) отлича»» ются на и,'2, так как» = е ' ' ) В ряде случаев крылья мох«но заменять прямолинейными концентрированными внхревыми шнурами, поэтому силы (2?.14) и (27.16) можно рассматривать как силы взаимодействия между крылоы, движущимся заданным образом, и жидкостшо.
') Подробности выводов о силах, связанных с присоединенными вихрами, содержатся в работе Л, И. Седова «О силе, вынуждающей вихрь дыигатьси иредиааиачеиимм способом». См. ПММ, т.!И, вып. 1, 1936, стр. 70 — 75. Гл. Ч1!1. Гвдромеханвка 302 й 28. Движение системы непрерывно распределенных вихрей в идеальной жидкости Из динамического уравнения движения можно получить уравнение для определения векторного поля вихрей ге = — гоь е. 2 Рассмотрим уравнение движения идеальной среды (жндкости или газа) в форме Громеки — Лемба: ди 1 —,+ го1 н Х тт = Р— — дгайр — —,дга<1г'"'. (28.1) д~ у 2 Если внешние массовые силы имеют потенциал й" = ягай ть' (28,2) и процесс в среде баротропяый, т.
е. р = )(р), и, следовательно, г ду(з) можно ввести функцию давления У = ~ ~ ~ так, что з 1 — 8гай р = огай У, Р (28.3) де I й.1 — + 2ю х и =- огай(Я вЂ” У вЂ” — ) дс Применив к атому векторному уравнению операцию ротации, получим — + гоЬ(е х е) = О. де д1 (28.4) Заметим, что здесь дано повторение вывода уравнения (7.4) (см. гл. Ч1, т. 1), совпадающего с уравнением (28.4). Преобразуем теперь уравнение (28,4) к классическому уравнению Гельмгольца. Уравнение (28.4) в проекции на ось х пмсст вид де д д — "-1- — (юг — ю и) — — (ю п — ю ю)=О, д~ . ду и и дх ' х до да„до или так как — ~+ — "+ — ' = й(ум=О, вид ди ду ди до) дм дм дм (ди ди < ди> ~ ° + и .+о +к~ —.+ы„( —.-+--+ — )— д~ д .
ду ' д: " д ' ду ' дх ) ди ди ди — ю —. — оо — — ю — = О. " ди " ду ' дг то на основании (28.2) и (28.8) уравнение (28,1) можно написать в виде з 28. двюкввке непрерывных ввхрей к идеальной жидкости ЗОЗ Аналогично преобразуются проекции уравнения (28.4) па оси у и г. Отсюда следует векторное уравнение: дм — „, (- ю 61т г: = (ю тг) х, д ., д . д где тг= — г+ — т'+ — В, Иа основании уравнения пераздк ' ду ' д рывпости оз — ', -( рб|ти = 0 уравнению (28,5) можно придать вид д— (28.6) Вихревые лвккк — жкдкке кепки (О Н (О м до до до / е ив — ок = — г(х + — ЫУ -,'- — ~Ь = (Нд и) и = з ~ — "Р) и. а, ад т а Из бесконечно малого четырехугольника АВВ'А' (рис. 105) следует, что жидкий алемент сЬ за время Й переходит в злемепт лв', причем Нд' = йю+ своз — олй = з~ — + ~ — ~г) осВ1.
(28.7) 1.Р ~Р Уравнение (28.6) называется уравнением Гельмгольца. Это уравнение мох по положить в основу изучения распределения вихрей в пространстве и во времени в движущейся идеальной среде. Из уравнения (28.6) легко вывести установленные раньше с помощью теоремы Томсона, полученной из (28.4) (см. т. 1, гл. У1, $ 7) динамические свойства вихревых движений. Ввиду фундаментальной важности атих свойств выведем их снова из уравпения (28.6).
Возьмем вихревую линию и рассмотрим ее элемент Ав = е †, где е — малая лос- Р тояппая. Обозначим через А (х, у, з) и В (х + Нх, у + Иу, г + й) качало и конец злемепта Ад на вихревой линии. Дифференциалы г(х, г)у и ~й можно рассматривать как проекции злемепта Пд на декартовы оси коордипат. Имеем равенства Гх. У111. Гкдромехавика С другой стороны, элемент вихревой линии сЪ перейдет в момент 1 6- й в элемент пл" новой вихревой линии.
Для г1в" должна быть верна формула (28.8) Формулы (28.7) и (28.8) имеют кипематическую природу к верны ке только для идеальной жидкости, когда верны уравнения Гельмгольца (28.6), а и в общем случае, например, для вязкой жидкости и других сред. з ьу,~..~ В случае уравненияГельмгольф ца (28.6) из равенств (28.7) и (28.8) вытекает, что ~Й' ~Ь' = ол". (28.9) '1,' О эт э Это соотношение показывает, что ! 1 вихревая линия движется так жс, Ивтевсмвность вихревых трубок постоявма во времеви (О' оэ' = —;е р' (28.10) и закон сохранения массы рдэоо = р оэ оо .
Из (28.10) н (28.1Ц получим м гэ' — — н иапо =- О с(5, (28.11) (28.12) т. е. циркуляция вокруг движущейся вместе с жидкостью как и л,ндьая линия, совпадающая в данный момент времени 1 с вих- рас. 105. Жидкий элемент вихревой линни лв переходит эа Ревой линией. Таким образом, время э1 э элемент Лэ'.
вихревые линии являются жидкилэи линиями, Ниже мы покажем, что в вязкой жидкости в правой части уравнения (28.6) появляется дополнительный член, и поэтому ол'+ гл', и, следовательно, в вязкой жидкости вихревые линии перемещаются относительно частиц жидкости.
Рассмотрим теперь в момент 1 бесконечно тонкую вихревую трубку с площадью сечения да, Эта вихревая трубка за время й переходит вместо с частицами жидкости в вихревую трубку с сечением Ыа'. Имеем равенства 1 29. Диффузия вихрей в вязкой несжимаемой жьс~кости 905 вихревой трубки сохраняется постоянной во времени Г = 2юЬп = сопз$. (28.13) Это утверждение вырви ает собой теорему Томсона, доказанную раныпе другим способом.
Из доказанных предложений вытекают все следствия, установленные раныпе, в 5 7 гл. Ч( т. 1. Подчеркнем, что все предыдущие выводы касались свободных вихрей. Если справа в уравнении (28.!) имеются массовые силы, ротация которых отлична от нуля (непрерывно распределенные силы Н. Е. )Куковского), то и в идеальной среде возникает движение вихрей относительно среды. —, = (ю Ч)н+ тЛю, Ым д1 (29.1) где т — по предположению постоянный кинематический коэффициент вязкости. Векторное уравнение (29.1) в проекции на ось х декартовой системы координат имеет вид до ди дм дм — * =- ю — + с>„— + ы,—.-т тЛю., Ыс "дв «д! -'д: (29.2) аналогичные уравнения получаются в проекциях на осн х и у.
Для модленных движонпй с точностью до малых первого порядка уравненио (29.2) можно написать в видо дм — е ийко . д~ (29,8) Это уравнение (29.3) совпадает с уравнением диффузии или теплопроводности в неподвия~ной среде (см. з 7, гл. Ч, т. 1). Таким образом, проекции вектора вихря выравниваются в общей массе жидкости по законам, аналогичным законам выравнивания температуры в неравномерно нагретом теле. В вязкой жидкости завихренность рассеивается по объему и по частицам среды с общей тенденцией к равномерному распределению по всему объему. й 29. Диффузия вихрей в вязкой несжимаемой житкостн Рассмотрим теперь уравненио распространения вихрей в вязкой несжимаемой жидкости. В атом случае в правую часть уравнения (28.1) необходимо добавить член т Ьк.
вихрей Учитывая зто и условие несжимаемости 81г и =- О, из(28.5) для вязкойнесжнмаемойжидкостиполучим Гл. У111. Гндромеханнка Для плоскопараллельных движений вязкой жидкости при ю = 0 уравнение (29.2) приобретает вид да дм дм 1дчо дил '1 — ь- и — +г — =т( — + ) . е е, г ч д~ ' дх ' ду (,дхч дуг) диффузия прямолинейного вихря конечной интенсив- ности Рассмотрим задачу о диффузии вихря, когда при 1 = 0 в жидкости имеется концентрированный прямолинейный вихрь с заданной конечной циркуляцией Г, расположенный по оси х.
В последующие моменты времени при 1) 0 будет происходить диффузия вихря на всю плоскость. Рассчитаем распределение вихрей для любых 1) О. Очевидно, что искомое решение симметрично относительно оси з, поэтому величина в, зависит только от полярного радиуса г в плоскости ху и от 1, а скорость жидкости тоже зависит от г и 1 и направлена по касательным к окружностям с центром в начале координат. Так как део,/дз, = О, где г, — направление, взятое вдоль линии тока, т.
е. )ю! дх ' )г~) ду то благодаря указанным свойствам симметрии уравнение (29.4) превращается в линейное уравнение теплопроводностн, которое после перехода к полярным координатам записывается в виде (29.5) Рассмотрим циркуляцию Г (г, 1), взятую по окружности радиуса г с центром в начале координат. По теореме Стокса имеем > тл г Г (г, 1) =-- 2 ) ') ю,г сКг й) =- 4л 1 го>, (г, 1) дг. (29.6) о о о В начальный момент времени при 1 = 0 для любого г, и в том числе для сколь угодно малого г, имеем (29.7) Г (г, 0) = Г = сопз1.
ю, = ю,(г,1, т, Г). Таково начальное условие задачи. Из постановки задачи следует, что искомое решение имеет вид 1 29. Диффузия вихрей в вязкой ивсиеимвемой жидкости 307 Из линейности уравнения (29.5) и начального условия (29.7) следует, что со, = Г7 (и, т, 1). (29. 8) Из постановки задачи, (29.8) и из П-теоремы следует, что безразмерная комбинация ы оС т Г мохнат зависеть только от безразмерной переменной те 5=в ,е~ := — „фа).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
