Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Для адиабатпческпх процессов удобнее пользоваться группой соотношений, в которые входит с>. Однако и та, и другая группы соотношений применимы для любых обратимых процессов в у>гругих пгелах с любым притоком тепла б>)>'>. Сделаем еще следующео замечание. В теории бесконечно малых деформаций уравнения состояния (2.9) с точностью до малых высшего порядка можно написать в виде Рг> Р дР доеР д>Р сд д . д (2.15) еы егг еы $ З.
Модель упругого гела 317 Идеальная жидкость— пример нелинейно-упругого »тла Зависимость (2.16) является частным случаем зависимости (2.2). В самом деле, согласно (2.3) имеем р»г х р (2Л7) где ' =- Ве! )ф;;~, л .-.= ВегЦ;~(~= ОеЦ)2еы + бц~~ рс (ь', е~, ь»)— известная фуйнцня 5', начальная плотность. Следовательно, плотность р можно выразить через Э„.
и ем, и свободная энергия рассматриваемой среды зависит от теьшературы и компонент тензора деформаций, только эта зависимость частного вида (компоненты тензора деформаций входят только через плотность ') р). др Нетрудно вычислитыгроизводные — „' . Непосредственно диф дг, ференцируя (2.17), найдем — Все(х„1 гз рдп Вес)д;; ! др др да, дд,.
пли, иначе, пользуясь уравнением неразрывности в форме Зйлера, Нр = — р йч в г)! = — рд'г е;; Е! = — ром»(зм, ') Здесь в качестве начального состояяия можно выбрать любое состояние с ваданиым распределением начальной плотности. В этом случае характеристики начального состояния могут войти только через иачальиую плотность. В начальном состояиии виутроивио напряжения могут вообще отличаться от нуля. Для»твердых» упругих тел часто можно принимать, что рй = О в начальном состоянии. где р, — постоянная (начальная) плотность, а <!> = р»7г— свободная энергия единицы объема.
Следовательно, в случае если деформации малы, напряягения имеют потенциал, т. е. представляются в виде производных от функции гр по е„. В точной постановке, при рассмотрении конечных деформаций, потенциала для компонент тензора напряжений рине существует. Рассмотрим пример среды, которую монс- но назвать нелинейным упругим телом и которая была подробно изучена в гл. У1П. Пусть свободная энергия зависит только от температуры и плотности р = р(т, р). (2.16) 318 Гл. 1Х. Теория упругости снова получим ту же формулу; др — = — ррэ де.. и Поэтому соотношения (2.9) для рассматриваемой среды принимают вид дд Рп — — Р' — Ф' др илп дР Рп= -Р еэ дэ (2.18) Следовательно, теязор напряжений в такой среде — шаровой. Обозначим величину р' (дР~др) через р, тогда Р" = Рдэ др д др (2.19) Изотроппые и апизотроппые упругие среды ),=а .„, уз = ~™8'я К'" ез ешз и (2.20) Если свободная энергия упругого тела, кроме Т п зоя зависит также и от ую причем среди у„есть компоненты векторов или тензоров, то тело анизотропко.
В анизотропиом теле свободная энергия зависит от е„не только через инварианты (2.20), по и через совместные инварианты теязора деформаций и других тепзорных аргументов функции Р. Так, если свойства среды зависят от некоторого вектора Ь (среда типа текстуры), то среди аргументов Р появляются инварианты вида змЬ'Ьт.
Рассматриваемая среда есть идеальная жидкость или т аз, р — давление. Мы видим, что теория движения идеальной жидкости есть частный случай нелинейной теории упругости с конечными деформациями, правда, этот случай очень специальный. Так как П и Р являются скалярными функциями, то они могут зависеть от компонент тепзоров только через их инварианты.
Если все параметры уз — скаляры, то тело называется кзотропным. В изотроппом теле свободная энергия Р фактически зависит не от шести псремепяых параметров есэ а только от трех независимых инвариантов, которые можно составить из компояент сж и еся например, от ~з те. 1 3. Задачи об одноосном растяжении уаругого бруса 321 Модуль Юнга и иоэффнцаент Пуассона Вместо параметров Х и р на практике и в теории часто используют модуль Юнга Е и козффициент Пуассона о, определяемые формулами р (За+ 2р) Х с=~~, = . осе Выражающие закон Гука формулы (2,25) легко разрешаются относительно компонент тензора деформаций см. е;; = — [(1 + с) рц — сУрп) + о1 (Т вЂ” Тс) Яц, (2.28) 1 3 3, Задачи об одноосном растяжении упругого бруса Рассмотрим малые деформации цилиндрического бруса, сделанного из изотропного упругого материала, подчиняющегося закону Гука, и растягиваемого (или сжимаемого) вдольоси с помощью заданной системы массовых или поверхностных сил.
Рнс. 107. Простое растяжение бруса. Начнем с задачи о равновесии бруса прямоугольного поперечного сечения, при условии, что по торцам бруса приложены поверхностные силы (рис. 107). 11 Л. Н. Седов, тои 3 где У = р"д11= рс — первый инвариант тензора напряжений. Если напряжения равны нулю, р'1 = О, Позффицие"т шшейиого то деформации могут быть отличны от расширен я сширенна нуля за счет изменения температуры. В атом случае тензор деформаций получается шаровым и в декартовых координатах будем иметь е„= и(Т вЂ” Т„), з„= я(Т вЂ” Т„), ес, — — а(Т вЂ” Т,), з„= О при 1+ 1.
Следовательно, козффициент а, входящий в выражения закона Гука, представляет собой козффициент линейного расширения рассматриваемого материала. С помощью (2.14) легко усмотреть, что коэффициент с, входящий в выражение (2.23) для свободной знергии линейного термоупругого тела, связан с теплоемкостью при постоянных деформациях.
Гл. 1Х. Теория упругости Основные предположения и граничные условия В постановку задачи включим следующие предположения, 1) Массовые силы отсутствуют (в частности, не учитывается сила веса). 2) Все частицы бруса имеют одну и ту же постоянную температуру Тз, соответствующую отсутствию «температурных» напряжений при отсутствии деформаций в брусе. 3) Боковые грани бруса С и В и противоположные им грани С, и Вз свободны от нагрузок (на самом деле, если явление происходит в атмосфере, то на боковые грани действует атмосферное давление).
Таким образом, принимаем, что на боковых гранях зззп = 0 (3.1) Это означает, что (при располоя;енин координатных осей, указанном на рис. 107) на гранях С и Сз роз =р,»=р,»=0, 1 (3.2) а на гранях В и Вз рзз = рзз =Рзз = О 4) Ка каждом из торцов (А и В) действуют внешние поверхностные силы; равнодействующие этих сил иа каждом из торцов равны по величине, так как брус находится в равновесии. Обоаначим величину этих равнодействующих через Е. Рассмотрим случай, когда поверхностные силы по торцам А и В распределены следующим образом: на В 1э" =Рзз(В)$, Р„=Р„= О, (3.3) на А 1Э" = — р„(А)з, рм — — р„=О, причем р р„(В) = рп(А) = — = сопз«, где Л вЂ” площадь поперечного сечения бруса.
В согласии со сказанным выше примем, что прн Е = 0 и Т = Тз получается состояние, соответствующее отсутствию внутренних напряжений и деформаций в брусе. Если это состояние принять за начальное, то получим зм = О. Требуется найти напряжения, деформации и перемещения, возникающие в брусе под действием растягивающих сил (при Е > 0) и сжимающих сил (при Е ( 0).
Прежде чем дать решение этой задачи, сделаем замечание общего характера по поводу определения перемещений. ОчеВидно, что в атой задаче, так же как в болыпом числе других задач о равновесии упругих тел под действием различных сил, перемещения могут быть определены только с точностью до $3. Задачи об одпоосвом растяжении упругого бруса 323 перемещения всего тела как абсолютно твердого (с атим связано понятие об инвариантности законов механики в зависимости от места и направления в пространстве — однородность и иаотропность евклидова пространства).
Необходимо указать дополнительные условия, которые позволят исключить указанный произвол при определении перемещений, что и будет сделано далее. Уравнения импульса в рассматриваеРешеппе уравнений рае- мом случае сводятся к трем уравнениполеспя, удоялетаорюопзсе ям равновесия, которым должны удовграппчпым условиям летзорять шесть компонент тензора напряжений внутри бруса; (3.4) зубри = О. Легко догадаться, что решение уравнений равновесия (3.4), удовлетворяющее граничным условиям (3.2) и (3.3) и описывающее распределение напряжений внутри бруса, нмеег вид Рм =(Рзз = Раз = Рз =Рзз= О (3 5) Рзз= ~ Заметим, что решение уравнений равновесия (3.5) годится и в случае аналогичной задачи о растяжении (нли сжатии) цилиндрического бруса произвольного поперечного сечения распределенными по его торцам А и В силами (3.3), когда его боковая поверхность Ясс„свободна от напряжений (зз" = О на Ясса).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
