Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 65
Текст из файла (страница 65)
» езз Чззиз ю»Гзз = О~ дз 1 /ди, езз — — —. (Чзюз -+ Чзю,) = —— 1 1 /ди»з е1з = З (Чз~з-) Чзюз)=- З ди1 -'- — — 2з »Г1з~ де дм1 — — 2 „Гзз) дз ди-1 ,» ' + ., 2"' Гзз' д» / Гл. 1Х. Теория упругости 336 приводится к следующему одному уравнению для перемещения цг (г), которое могло бы быть получено и непосредственно из уравнений равновесия в перемещениях Ламе (см. стр.
176 т. $) при условии (4А): (4А) Из (4А) и (4.3) видно, что граничные условия на торцах цилиндра удовлетворяются прилюбом ю (г). Условия на боковых поверхностях дают ры = (Х + 2)») — + 2, — = — р, прн г = а, аи и (4.5) р" = (Х -(- 2р) — -)- Х вЂ” = — р при г = б. Нк а'г г Интегрируя (4.4), получим йа и 1 а'ит — + — = — — = сопя(, Кг г г Нг отсюда ю= Аг+— В г (4.6) Константы А и В определяются с помощью условий (4.5): 2(). + )») А — 2)«В —, = — р„2(() + р) А — 2)«В —, = — рю 1 откуда а«р — »«р» А= 2(а+(»)(Ы вЂ” а«) ' В= (га г») а Ы (Ь« — а') 2)» (4.7) Распределение иаирюкеиий а стенках трубы Формулы (4,2), (4.3), (4.6) и (4.7) позволяют найти деформации и напряжения в любой точке стенки трубы.
Проведем исследование напряженного состояния стенок трубы. Наилучшее представление о действительной величине напряжений дают так называемые «физические компоненты» тензора напряжений, т. е. компоненты в единичном базисе (см, стр. 179 т. 1). Легко видеть, что в рассматриваемом случае физические компоненты рек„ре „ре „совпадают с главными компонентами и $»»» тензора напряжений. Так как векторы базиса э, и э, имеют единичную длину, то рте', = р", ре»к, = р". Длина базисного т 4. Задача Ламе вектора з, равна г, поэтому контравариантная компонента рее меньше физической компоненты рс'„в ге раз, т. е.
вь ее 11 22 Реве = г р". Вводя обозначения ропе Ргг~ Реве рее, Р,", = рвм будем иметь еьр Ььр Р =й!! ьь-еь Ргс— (4.8) Рее = Рг Отсюда видно, что при положительных ре и рь величина р„„всегда отрицательна, т. е. частицы трубы испытыватот вдоль оси г сжатие. Знаки Рее и р„зависят от соотношения межд и . Рассмотрим сна- Ура Рь чала случай, когда рь = О.
Распределение напряхсений по толщине стенки трубы представлено для этого случая на рис. И1, Наиболее опасными напряжениями являются в данном случае растягивающие (положительные) напряжения рее, так как они могут вызвать появление трещин и разрушение трубы. Растягивающие накрялсения р„всюду мень- ! рь Влияние толщввы стенок на распределенве нвнря- нмний в них ше, чем рее. Максимальные по вели- Рис. 111. Распределение напряжений в чине напряжения (при стенках трубы, находящейся под действиеы внутреннего давления при отРа ) О) возникают на сутствии внешнего давления (сплошнея внутренней поверхнос~~ линия) и с виешниы давлением (пунктрубы. Поэтому при повы- тир~ея линия) шенин внутреннего давления на внутреннейповерхности трубы прежде всего мо пр изойти пластические деформации или возникнуть трещины.
Рассмотрим, насколько улучшаются условия работы стенок трубы при увеличении толщины стенок (выгодно ли увеличивать толщину стенок трубы?). Зафиксируем величину а и исследуем изменение наиболее важной величины рее(г = а) в зависимости1 от внешнего радиуса Ь, считая по-прежнему, что рь = О.
Гл. »Х. 'Георня упругости Имеем р»»(г = а) = ро ь» + 1 2 л2 Изменение рее (г = а) при увеличении Ь показано на рис. 112. Рв Рнс. Ш 2. Велнчляв ре» (г = «) в вввпснмостн от внешнего радиуса трубы. Следовательно, при увеличении толщины стенки довольно быстро наступает такое положение, что дальнейшее сильное увеличение Ь приводит к малозаметному уменьшению разрывающего напряжения р»» (г = а).
Поэтому большое увеличение толщины стенок не дает существенного увеличения прочности трубы. Формулы (4.8) показывают, что ре« и р„ уменьшаются, если отлично от нуля внешнее давление р,. При этом распределение напряжений в стенке трубы становится более равномерным (см. рис. 111). Это приводит к мысли об использовании составных труб с внутренними напряжениями для того, чтобы существенно улучшить условия работы внутреннего слоя, не увеличивая общей толщины стенки составной трубы.
Предположим, что имеются две трубы, рсшспнн в"„д"чн ~вмс причем наружный диаметр первой (меньдля составной трубы шей) трубы Ь» несколько больше, чем внутренний диаметр а» второй (большей) трубы. Если каким- либо способом (например, с помощью предварительного нагревания второй трубы) надеть вторую трубу на первую, то при «равновесной» температуре Т = Т, и отсутствии внутреннего и внешнего давлений получится система с внутренними напряжениями.
Рассмотрим задачу о нахождении напряжений н деформаций в такой составной трубе под действием внутреннего и внешнего давлений. Прежде всего заметим, что полученные выше формулы не дают решения этой задачи. Действительно, из (4.8), $ 4. Задача Ламе Определение начальных напряжений в составной трубе в састности, видно, что р,,=рсс=-р„= О прн р, = р, = О. Однако это заведомо не так в рассматриваемом случае.
Решение (4.8) не годится здесь потому, что при его получении использовалось предположение о существовании непрерывных однозначных перемещений от начального ненапряженного состояния к деформированному. В данном случае можно получить действительно некапряженное состояние во всех частях системы, если вытащить одну трубу из другой и убрать все внешние нагрузки, Мысленно разгрузку можно произвести без вытаскивания трубы, однако при этом нарушится однозначность перемещений, поэтому непрерывных одкозначпых перемещений к ненапряженному начальному состоянисо в этом случае не существует. Запишем полные напряжения рп,л„в виде суммы начальных напри>пений р,' и дополнительных напряжений рс, возникающих от действия внешних сил: р" = р" + р".
полн О Если в материале происходят только малые деформации и он подчиняется закону Гука, то дополнительные напряжения р" связаны с дополнительнымидеформациями сы такими же соотношениями, которые имеются для полных напряжений и деформаций. В этом случае в силу линейности задачи можно определять ри по внешним нагрузкам так, как если бы начальных напряжений и деформаций не было.
Внутренние начальные напряжения (а следовательно, и полные напряжения) можно определить, только если известна технология изготовленин данной детали. Если рассматриваемая задача нелинейна (относительные смещения не малы или напряжения связаны с деформациями нелинейными соотношениями и т. д.), то дополнительные (от внешних сил) напряжения и деформации нельзя определить, если начальные напряжения и деформации неиавестны. Как определить начальныо напряжения в рассматриваемой составной трубе? Рассмотрим отдельно каждую из двух труб, используемых в этой конструкции.
Очевидно, что действие их друг на друга можно заменить действием некоторого давлеккя Р. Тогда можно использовать для каждой трубы в отдельности полученное выше решение, в котором для внутренней трубы (с а .= ап Ь = Ьг) надо положить р, = О, р„= У, а для внешней трубы (с а = ам Ь = Ь,) р = У, рс = О. В частности, получится, что в стенках внутренней трубы Гл. 1Х. Теория упругости в стенках наружной трубы Рва = У (1+ — в) . Для определения величины У следует приравнять внешний радиус первой трубы и внутренний радиус второй трубы после деформации. Имеем Ь, + кдд (Ь,) = ав + ив (а,), причем если трубы сделаны из одинакового материала, то Вд Ь"",Чвг ,9вавд Ьв щд(г) = А,г+ 2 (Л + Р) (Ьв — авд) 2Р (Ьв — адв) г .Чва,'г ~ад Ьд дддв(г) = Адг-'; —,, + 2 (Л+ (д)(Ьв — ав) 2р (Ьд — а',) г Для У получим формулу У Ьд — ав Ьв 2 ав Ьд Ь ад ав в в 2(Ьв — ав) )" +)д )д 1 2(Ьв — ав) ~Л+р Если Ь,~ а„то У вЂ” некоторая положительная величина.
Таким образом, распределение «начальных» напряжений, возникающих в составной трубе при отсутствии внешних сил, определено. Если составная раа труба находится под действием внутреннего и внешнего давлений, то напряжения в ее стенках представляются суммой начальных напряженнй н напряжений, возникающих от действия внешних ад а, Ьг г сил, которые в данном случае определяются так же, как ггг если бы начальных напряжений и деформаций не было. Распределение полных напряжений в этом случае показано па рис. 113. Ркс. 1дЗ. Распредвлевке напРяжений Следовательно, при исв спас~пней (сплощкак ликик) все пользовании составных труб ставкой (пукктяраая линия) трубе, находящейся код двкстеяем вкутрек- вместо сплошных в работудонего к ввешнего давлений (а — гра- полнительно вводятся внешница составляюп(вх тРуб), ние слои, а внутренние слои разгружаются, распределение напряжений становится более равномерным, прочность конструкции возрастает.
1 5. Йоставозка задач теоряв упругости В технике и, в частности, при изготовлении артиллерийских стволов широко используются конструкции с предварительными напряжениями, подобранными так, чтобы уменьшить неравномерность распределения напряжений при работе под внешними нагрузками. з 5. Постановка задач теории упругости.
Уравнение Клапейрона. Теорема единственности решения задач теории упругости. Принцип Сен-Венвна В Я,З и 4 дано решение двух простейших частных задач теории упругости. Теперь обратимся к общей теории, касающейся широкого круга задач теории упругости. Многие важные задачи теории упругости Ткивчвые статические являются статическими, т, е. задачами, в которых требуется найти распределезадачв теоркн упругости ние перемещений и напряжений внутри упругого тела, находящегося в равновесии под действием заданной системы внешних сил или при других заданных внешних условиях. Очевидно, что главный вектор и главный момент системы внешних сил, приложенных к упругому телу, в этом случае равны нулю.
В теории упругости рассматриваются и динамические задачи, например задачи о колебаниях упругих тел. Рассмотрим следующие три типичные статические задачи теории упругости, которые отличаются друг от друга видом граничных условий. 1. На всей поверхности тела заданы Ш~ поверхностные силы, требуется найти напряжения внутри тела .,н перемещения всех его точек, в том числе и перемещения точек границы. П. На всей поверхности тела заданы скость. перемещения, требуется найти перемещения внутри тела и напряжения внутри и на границе тела, 1И.На частиграннцы тела известны перемещения, а на остальной части границы действуют заданные внешние силы(или известно, что некоторая часть поверхности свободна от нагрузок).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
