Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Имеем е,з = О, езз = О, езз = О, е,з = О, (7.5) — у+ д ! езз = езз = г ил+ зз= зз= г дз! ' Если материал стержня подчиняется закону Рука, то для напряжений получаются формулы р„=О, р.„=О, р„=О, р„=О, рзз =Чз ( — у+ Зг~ рзз =н)з(л+ ~~ ° ~ Если мы получим решение, соответствующее какому-нибудь распределению напряжений по торцам г', и г'з, удовлетворяющему условиям (7.3), то по принципу Сен-Венана зто решение будет приближенно описывать напряженно-деформированное состояние в стержне при любом другом распределении сил по торцам, если только зги силы приводятся к паре с тем же моментом.
Решение поставленной выше задачи было Предположения о перемещениях; формулы дано уязе около ста лет назад Сен-Венадля е н рзг ном. При атом он применил полуобратный метод, которым мы здесь воспользуемся. Будем искать перемещения й„и, йз в виде йз = — агу, й, = агх, йз = а/(х, у), (7.4) Здз Гл. 1Х. Теория упругости Поетаноока задачи для определения функанн кру ченкя Г(х у) Внося выражения (7 6) для компонент тензора напряжений в уравнения равновесия (7.1) и граничные условия (7.2) (7.3), получим уравнения и граничные условия, которым должны удовлетворять функция 7" (х, р) и величина угла закручивания а.
Из трех уравнений равновесия два (в проекциях на оси х и р) удовлетворяются автоматически, а третье приводится к виду дч) дз( (7.7) Граничные условия (7.2) на боковой поверхности дают д) '~, / д(1 а)з ~ — у + — ~ соз (и, х) + а)з! х + —.~ соз (и, у) = 0 — = у соз (и, х) — х соз (и, у) на 2.
д/ (7.8) где з — дуга контура С. Действительно, для проекций ах, з(у элемента Ыв контура С, если поло>кительное направление обхода контура установлено так, что область, заключенная внутри С, остается при обходе слева, имеем з)х == 8зсоз(в, х) = — Йзсоз(и, у), (7.10) з)у = йзсоз (в, у) = Из соз(п, х). Сформулированная задача для определения функции у (х, р) есть внутренняя задача Неймана. Правая часть в условии (7.9) — известная функция координат, так как уравнение поверхности стержня известно. Из (7.9) видно, что условие регулярности решения внутренней задачи Неймана <~) — зЬ = 0 всегда удовлетворяется. Заметим, что ни в уравнение (7.7), нн в граничное условие (7.8) не входит переменная г.
Постону для того, чтобы найти решение, достаточно определить функцию 7 (х, р) внутри плоской области, совпадающей с поперечным сечением балки, ограниченным контуром С. Условие (7.8) можно переписать следующим образом; д) ~ дз дз д з~+ Зз — = усов(и, х) — хсоз (и, у) = у — -'- х — =— до ~с Зз Ыз дз В (7.9) з т. Кручение цнвиндрическях стержней 359 Отметим, что функция 7 определяется чисто геометрически и одинакова для всех стержней, сделанных из разных изотропных материалов, но имеющих одно и то же поперечное сечение.
Функцию 7' часто называют функцией кручения. Обратимся теперь к условиям на торцах. На л'з имеем рз" = рз — — - рз,з+ рзьу. Условия (7.3) можно записать в виде Удовлетворение граничным условиям на торцах реза =О, ) раз~)5 = 0, ~(хр„— ур ) ззз = М. (7.11) Покажем, что первые два из зтих условий выполняются, если 1 является решением поставленной выше задачи Неймана. Действительно, на основаяии (7.6), (7.7), (7.8) в результате простых преобразований получаем ~уззЗЗ5= — к(З ~ ( —, — У)Н5 = ~ Г д ( д) ' . д У з , д) = кр ~ ~ —., —. х — ух) —,'- — хз —,' — х) ~ с)5 = ~ дз ду~ ' ду =хр~~х ( — — у сот(п, х) + х ~ — + х) соз(тз, у)1~)з = О. Аналогично показывается, что ) рзз ззз = О.
Формулы (7.6) определяют распределение внешних напряжений на торцах закручнваемого цилиндра в построенном решении частной задачи о кручении. Так как напряжения, вычисляемые по формулам (7.6), не зависят от з и, в частности, одинаковы в сечениях Хз и ьз, то векторы напряжений р" на торцах 2;з и лз отличаются только знаками. Позтому ясно, что если граничные условия на Хз удовлетворены, то граничные условия на л, также удовлетворены. Третье из равенств (7.11) согласно (7.6) имеет вид Связь между углом закручивания и крутящим моментом.Жееткостьнрикрученни к)з ~ (х (х + — ) — у ( — — у)1 05 = М. Это соотношение можно рассматривать как уравнение, связывающее угол закручивания а с величиной крутящего за.
1Х. Теория упругости 360 момента М: (7.12) Г д1 р ') ~хз+ уз+ х — — у — да ду дх> — = О. д1 дн !хгчз-'=в-" (7,13) Решением внутренней задачи Неймана с граничным условием (7.13) является 7 (х У) = с = сопч1 Смещение шз = а1 вдоль оси г в эхом случае одинаково для всех точек стержня.
Коли, как обычно, какая-нибудь точка стержня считается неподвингной, то постоянную с нужно положить равной нулю. Тогда формулы„определяющие перемещения точек круглого вала при кручении, могут быть записаны в виде шг = — агу, шз =* агх, зсз = О. (7.14) Отсюда, в частности, видно, что при кручении круглых валов плоские поперечные сечения остаются плоскими. Каждое сечение поворачивается относительно оси как твердый диск, но различные сечения поворачиваются на разные углы, пропорциональные координате г, когда сечение г = О закреплено. Отличные от нуля компоненты тензоров деформаций и напряжений в атом случае равны а зм=сзз= — х У Рм = Ргз — Рар (7.15) Рзз = Рзз = (зах а сзз = езз = — х 2 Угол закручивания пропорционален моменту М и обратно пропорционален модулю сдвига )з.
Величину, стоящую в знаменателе (7.12), называют жесткостью прв кручении. Таким образом, решение рассматриваемой задачи о кручении цилиндрического стержня сводится к решению задачи Неймана для функции 1(х, у). Для некоторых простых областей решеКручение стержня круглого ние этой задачи известно. Дадим, напоперечного сечения пример, решение задачи о кручении стержня круглого поперечного сечения. Коли ось г совпадает с осью цилиндра, то уравнение контура С записывается в виде х' +. у' — — Лз, а граничное условие (7.9) принимает вид „' 7. Кручение цилиндрических стержней Видно, что в любом поперечном сечении стержня действуют только касательные напряжения, причем для модуля вектора напряжения в поперечном сечении круглого стержня имеем !т! = у' Р'„+ р' = рх "у'ха+ у'.
Следовательно, максимальные касательные напряжения При кручении касательные напряжения в каждом поперечном сечении максимальны на границе (7.16) тпах = )гав получаются на внешней границе стержня. Это свойство распределения напряжений выполняется при кручении цилиндрических стержней произвольного (а не только круглого) поперечного сечения.
Для доказательства этого прежде всего заметим, что в общем случае, если только для перемещений имеют место формулы (7.4), величина результирующего касательного напряжения в поперечном сечении при любом направлении осей х и р представляется в виде ! т ! = рк $/ ( — — у! + ( — -~ х) (7,17) Ось х всегда можно выбрать так,чтобы она совпадала с направлением вектора касательного напряжения в произвольной внутренней точке Р( поперечного сечения. Тогда в этойточке 7У величина ! д! касательного напряжения будет равна ! т ( = — )гх ~ ( — — у) ~ . В других точках )ги ~ — — р ~ представляет собой только велид! дл чину Р„проекции касательного напряжения на ось х. Функция )ьа ( — — у) является гармонической и не может (см, э 12 гл.
У1П) дл достигать нн максимального, нн минимального значения внутри области своего определения и, в частности, в точке )т'. В окрестности)т'всегда найдетсяточка Хн в которойэта функция будет иметь большее,чем в точке Х, значение и )Ргз !к, будет больше ~-.~м. Учетр,а для определения ~ т(я, только усилит это неравенство, и всегда в окрестности любой внутренней точки )г' найдется такая точка Д!и для которой ~ т )я, > (о~я. Высказанное выше утверкгдение доказано. Для крутящего момента при кручении и максимальных вала к глого поперечного сечения на а а кру касательных напряжений основании (7.12) получим с крутящим моментом яЯ4 Ллн стержня круглого М= и)г —, (7.13) поперечного сечения 2М и следовательно и =— 3 ркяч Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
