Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Встречаются, конечно, и другие виды граничных условий. Например, можно поставить следующую задачу: найти напряженное и деформированное состояния бруса, если на его верхнем торце действуют заданные внешние силы, боковая поверхность свободна от нагрузок, а нижний торец упирается в идеально гладкую жесткую поверхность (рис. 114). В этом случае Гл. 1Х. Теория упругости В линейной теория упругости область, в которой математически рмуззруется задача, иасироваза 0 постановке задач з перемещеяиях.
Уравнения Ламе с учетом температурных капряа>азий на нижнем торце частично известны перемещения (к> = О) и частично — силы, так как р„, =- О в силу отсутствия трения. Указанные задачи рассмотрены ни>не при следующем дополнительном предположении, которое входит в их постановку. Принимается, что при определении компонент тензора деформаций начальное состояние сравнения является действительно осуществимым состоянием, по отношению к которому можно ввести перемещения. Если выбор начального состояния диктуется какими-либо физическими условиями (например, условием, что начальное состояние должно быть ненапря>кенным), то это допущение можно трактовать как характеристику технологии изготовления изучаемых образцов и тел.
Отметим, что в задачах о равновесии и яви>кении упругих тел (за исключением задачи вида 11, когда заранее задаются перемещения границы) поверхность деформируемого тела, на которой задаются граничные условия, заранее неизвестна и должна быть найдена в процессе решения задачи. Однако в линейной теории упругости предполагается, что деформированная поверхность тела мало отличается от его начальной недеформированной поверхности. В этом случае, пренебрегая малыми второго порядка, можно считать, что граничные условия должны выполняться на недеформированной, а следовательно, известной поверхности (см.
гл. Ч11 т. 1). Именно так мы поступали при решении задач о простом растя>кении бруса и о деформации трубы под действием заданных внутреннего и внешнего давлений. При решении задач теории упругости можно использовать различные эквивалентные системы уравнений, которые рассматриваются подробно ниже. Отметим, однако, сразу, что эти различные системы представляют собой записанные в разных формах уравнения импульсов, закон Гука и уравнения совместности (к этим уравнениям, в случае необходимости, добавляются уравнение неразрывности и уравнение притока тепла). Во многих задачах, особенно если на границе тела заданы перемещения, удобно в качестве основных уравнений брать уравнения теории упругости в перемещениях — уравнения Ламе (см. гл.
1Ч т. 1). Уравнения Ламе получаются, как известно, из общих уравнений количества движения с использованием закона Гука и формул (1.1), выражающих компоненты тензора деформаций через перемещения (при условии, что относительные смещения малы, а зоь входящие в закон Гука, могут быть выражены через перемещения). 1 5. Постановка задач теории упругости В рассматриваемой здесь линейной теории уравнения Ламе для однородного изотропного тела с учетом температурных напряжений на основании формул (2.25) можно написать в виде Зеш Ра зг =РаР+(Х-!-Р)йтайп1чтгг+ Разо — (51+ 2р)алтай Т. (5.1) Если объемные силы и температура как функции координат известны и на границе заданы перемещения, то из уравнений (5 1) с известными начальными данными можно найти перемещения внутренних точек тела и таким образом регпить задачу теории упругости в перемещениях.
Напряжения после этого вычисляются с помощью закона Гука. Уравнения совместности деформаций при такой постановке задачи удовлетворяются автоматически, так как формулы, вырахгающие деформации через перемещения, представляют собой, как известно, общее решение уравнений совместности. Другой распространенный путь решения задач о равновесии упругих тел — репгение задач в напряжениях. При этом используются уравнения равновесия в напряжениях О постановке задач в капрлжекяях Р,р'+ Ч,р" = О.
(5.2) — Лгмг = Ч Чгзч+ ЧгЧ;ем — ЧгЧ,еж — ЧгЧ;зи = О Этн три уравнения содержат вообще шесть неизвестных компонент тензора напряжений и составляют незамкнутую систему. В некоторых случаях, например из симметрии задачи, можно заранее заключить, что в уравнения (5.2) входят только три неизвестные компоненты напряжений, а остальные известны или равны нулю. Тогда система (5.2) могкет рассматриваться отдельно, независимо от закона Гука. Если на границе известны 1з„, то в этом случае можно найти напряжения, пользуясь только уравнениями (5.2).
Такие задачи называются статически определимыии. В общем случае система (5.2) не замкнута. Уравнения С помощью закона Гука из уравнений Бельтраив — мвчелла совместности деформаций можно получить дополнительные уравнения, которым должны удовлетворять компоненты тензора напряжений, Эти уравнения называются уравнениями Бельтрами — Мичелла. Они могут быть выведены следующим образом.
Из уравнений совместности деформаций Гл. 1Х. Теория упругости с помощью свертывания тензора Лгмл можно получить — йп': = Лз; + т;гд1г(з) — Ч,тдтзт: — Чтр е~; = О, гг1г~~ = 2Мг(е) — 27 разы О (а) (б) где Л вЂ” оператор Лапласа. Заменяя в соотношениях (а) егт с помощью закона Тука 1+с с ен = — р„— — Уд;+ а(Т вЂ” Т,) д;; и используя уравнения равновесия (5.2) и равенство (б), по- лучим (если Е, о, и, Тс постоянны) уравнения Бельтрами— Мичелла 1 с Лри+ 1 тУ1Р1У-Ф- 1 г)1тРРЫы+'~гРсР;+ Р1РоРг+ Аналогичные уравнения для движущегося упругого тела получаются, если заменить рог' в (5.3) через р, (Е' — а) (к массовым силам добавляются силы инерции, а — ускорение точек среды относительно инерциальной системы координат).
Если объемные силы постоянны (как, например, сила тяжести) и температура тоже постоянна, то уравнения Бельтрами — Мичелла принимают следующий простой вид: 1 дс,У Дрм+ 1 — =О +сдх дх' (5.4) причем в декартовых координатах У = ры +Ры +Рзс. Складывая три уравнения (5.4), соответствующие 1 = у, получим ЛУ = О. (5.5) С использованием легко вывести из (5.4), что ЛЛр, = О.
етого равенства Таким образом, каждая иа компонент тензора напряжений в случае постоянной температуры и постоянных объемных сил является бигармонической функцией, а первый инвариант тензора напряжений — гармонической функцией. В рассмотренных в $ 3 задачах о растяжении бруса компоненты тензора напряжений были постоянными или линейными функциями координат, поэтому уравнения Бельтрами автома- Свойства комиоиеит тыгзора иаиряыеивй и случае постояивых объемных сил и темпера туры + 1, гагр;Т + 1", ЛТйн = О.
(5.3) 2 З Поствиовкв задач теории упругости тически удовлетворялись. В общем случае, если отлична от нуля только компонента р11 тензора напряжений, то из уравнений (5.4) легко получить, что р,1 может быть только линейной функцией координат рп = ах1 -)- Ьхв + схв + Ы, где а, Ь, с, (2' — константы. В рамках линейной теории упругости, Суперпо виция решсиий очевидно, справедлив принцип суперпозиции решений.
Пусть имеются два решения: то(1), р(д)) и тг><п>, р;;<пи описывающих напряженно-деформированное состояние одного и того же тела при действии на него внешних массовых сил К<1) и Х'<и> при следующих условиях на границе тела ~1 + ~2' Р<" -= )>" на Х„и>(1) = тс1 на Ев, Р("и) = Р," на Х1, тс(п) = тсв На Хв, соответственно. Тогда и = тс(1) +то(п), РП = РП(1) +Р()(п) дают решение задачи о перемещениях и напряжениях в этом теле под действием массовых сил Г<1)+ Ж<п) при заданных ПОВЕРХНОСТНЫХ СИЛаХ Р" = Р,"+ У)о На ЧаСтИ Х1 ГРаНИЦЫ и при заданных перемещениях тс> = 2(> + 2<> на части Х границы.
Так, например, с помощью решений рассмотренных выше двух задач о растяжении бруса под действием равномерно распределенных по его торцам сил и о растяжении бруса под действием его веса можно сконструировать решение задачи о растяжении тяжелого бруса силами, равномерно распределенными по его торцам. При решении многих задач теории упру- О сдиист>шииости решеиия гости, так же как в задаче о растяжении задач теории упругости и тяжелого бруса, значения неизвестных величин частично подбираются из каких-либо интуитивных или опытных соображений, а частично определяются из основных уравнений.
В связи с этим может возникать естественное чувство неудовлетворенности, так как требуется исключить возможность существования других решений. Это чувство можно устранить, доказав единственность решения задач теории упругости. Отметим заранее, что решение статических задач теории упругости единственно только в случае малых относительных перемещений.
Гл. )Х. Теория упругости (5.7) Умножим уравнения равновесия на соответствующие компоненты некоторого вектора»л, который можно рассматривать как конечный или малый вектор действительного или возможного перемещения точек среды '): д (рм м») д»х Рср»в» + — р" — =.О. (5.7') дхг а,' В случае симметричного тензора напряжений (рп = р)») последний член этого уравнения можно преобразовывать следующим образом: гды», 1 г .. дю»,. дм ~ и дх' 1х ~ дх» дх» ) где дм дю. ') Последующие выводы связаны с допущениями, что компоненты вектова и (юй и тензора напряжений р» — непрерывные дифференцируемые функций координат в объеме пространства, завитого телом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
