Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 70
Текст из файла (страница 70)
1Х. Теория упругости Таким образом, угол аакруткн прямо пропорционален величине крутящего момента М и обратно пропорционален четвертой степени радиуса поперечного сечения. Величина максимального касательного напряжения при заданном значении М равна 2М лДэ (7.19) на внутренней границе полого вала при этом также будет выполнено. Легко видеть, что в силу (7.6) и выбора оси г на внутренней стороне полого вала будем иметь Р~х Рпи р„, = ргз сов(п, х) — ' р„сов(п, у). Отсюда, если полость выбрана так, как указано выше, получаем р„, =О. Если величина допустимых касательных напрялгений в стержне известна н задано значение крутящего момента М, то отсюда можно определить величину минимального допустимого значения диаметра вала.
Поставленная выше задача Неймана для определения функции кручения 1 (х, у), а следовательно, и задача об определении напряженно-деформированного состояния цилиндрического стержня при кручении решены также для стерьчней эллиптического, прямоугольного и многих других поперечных сечений. Заметим, что каждое известное решение кРУчеввк задачи о кручении любого цилиндрического вала сплошного поперечного сечения дает такнсе решение задачи о кручении такого полого цилиндрического вала, внешняя граница поперечного сечения которого совпадает с границей сплошного вала и внутренняя полость которого свободна от напряжений и вырезана так, что возникающие в поперечном сечении сплошного вала касательные напряжения т в пах<лей точке границы полости в плоскости ху направлены по касательной к ней.
Действительно, решение для сплошного вала удовлетворяет уравнениям равновесия, граничному условию на внешней границе полого вала н, очевидно, легко может быть подобрано так, чтобы условия на торцах полого вала удовлетвор ялись. Остается только показать, что условие т-=О 1 7. Кручеяве цилиндрических стержней Таким образом, приведенное выше решение задачи для стержня круглого поперечного сечения пригодно для случая кручения стержней, поперечное сечение которых имеет вид кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями, так кан по (7.15) в этом случае имеем т = ргсг+ р„)'= 11х( — ус ',— х,г), х ., у м=г= — с+— Г ' Г Кручение вала круглого поперечного сечения с кояцентрически расположенной круговой полостью с )1 ~ 1 гас/га Р (Лс Л4) с н, и, следовательно, максимальное касательное напряжение по (7.12) и (7.16) будет связано с крутящим моментом ЛХ формулой т Х= 4 4 ° (7.
20) В~ — Л~ Иногда без значительной потери прочности конструкцию можно сильно облегчить, если сплошной вал, работающий на кручение, заменить полым валом. В подтверждение етого приведем простой конкретный расчет. Рассмотрим сплошной и полый валы одинакового внешнего диаметра 2Л, находящиеся под действием одинаковых крутящих моментов М. В результате замены сплошного вала на полый площадь поперечного сечения вала уменьшится на яЛ,. Если радиус Л1 внутренней полости равен Л/2, то это изменение площади составит 259б от площади сплошного вала я Л'. Разность максимальных касательных напряжений в полом и сплошном валах, отнесенная к величине максимального касательного напряжения в сплошном валу, согласно (7.19) и (7.20) будет равна л1/л 1 — (В1/В)ч что в случае Л, = Л/2 приблин<енно равняется шести процентам.
Ясно, что если такой потерей прочности можно пожертвовать, то вес вала можно значительно уменьшить. и т т = О, т. е. ч направлено по касательной к любой окружности г = у'х'-,' уч = сопзб "Л. )Кесткость при кручении полого вала внеупнего радиуса Л и внутреннего радиуса Л, по (7.12), так как в атом случае /=О, будет, очевидно, равна 1. Л Рл. 1Х. Теория упругости Излоягим теперь предложенныйСен-Венаком способ решения задач о кручении цилиндрических стержней.
Для этого заметим, что вместо гармонической функции кручения 7 (х, у) можно искать сопрягкенную ей гармонпчесную функцию ф (х, у). Функции 1 (х, у) и г(г (х, у), как известно, будут связаны условиями Коши — Римана Метод Сен-Венева решения частных аадач о кручении цилиндрических стержней д! до д! дт' дх ду ' дд дх Граничное условие на контуре С для функции кручения 7 можно переформулировать для функции ф. Из (7.8) на основа- нии условий Коши — Римана получим О = сов(п, х) ( — — у) — соз(га у) ( —.— х) = ! дт !дт (ду ! ~дх д д ЧГ хг+~гсг = [соз (и, х) — — соз (ггч у) —.~ [г(г— ду *1!. =[ - ~[ г д д1! к+у 1 д Г„с+!7 сов(в, х) — -,— соз (в, у) — ~ [гр — —.— '~ = — [ф — —.
да дую( 3 ! да ~ 3 Отсюда следует, что во всех точках контура С долл<но выполняться следующее граничное условие для функции гр (х, у): г(г = —. (х' + у') г- сопзь. (7,21) хс чс 1шадю(з) = ' -(- сопзс выражает какую-либо замкнутую кривую, то ее можно принять за контур поперечного сечения стержня; Вее1 гд (з) = 7 (х, у) при атом определит перемещение точек стержня в направлении оси з(ига = а)).
Напряжения определятся по формуле (7.6). Можно поступить и наоборот, т. е. принять действительную часть пг (х) за функцию — гр, а мнимую — за 7. Таким образом, для определения функции кручения 7' мы имели внутреннгою задачу Неймана, для определения сопряженной с ней функции г)г получилась задача Дирихле. Возьмем аналитическуго функцию гд (з) комплексного переменного з =- х + гу, для которой действительную и мнимую части этой функции можно принять за / и гр соответственно. Тогда, если уравнение 1 т. Кручение цилиндрических стержней Кручение стеряия эллиптического поперечного сечения В частности, если взять аналитическую функцию комплексного переменного ш=Аг'= А (х -~- 1у)с = А(хс — ус)+21Аху, где А — действительная постоянная !А! < —,',, и положить 7 =- 2Аху, 'ф = — А (хс — д'), то уравнение сс + у2 — -'1 (х — у') =- будет представлять собой С а= ,Г1 уравнение эллипса с полуосями Ь= С ~~à —, — А Выражая из последних двух соотношений А через а и Ь, получим, что функция — + — =о, дрн др„ дс ду На основании этого уравнения можно сделать вывод, что вы.
ражение р1с с(у — рсс с(х представляет собой полный дифференциал некоторой функции прЯ (х, у) (постоянный коэффициент перед У (х, у) введен для удобства последующих выкладок и рассуждений). Следовательно, компоненты тензора напряжений р,з и р с связаны с функцией У(х, у) следующими равенствами: дЯ' дт р31 = м(х 1 рзс = ЙР' ду дс (7.22) Функция ~~(х, у) называется функцией напряжений.
Очевидно, что в общем случае функцию р (х, у) можно всегда вве- 1 ас — Ь' дает решение задачи о кручении цилиндрического стержня, поперечное сечение которого представляет собой эллипс с полуосямн а и Ь. Как указывалось выше, при кручении два уравнения равновесия в проекции на оси Функция напрвжений х и у удовлетворяются автоматически, а третье сводится к уравнению Гл. 1Х. 'Геория упругости сти, если из всех компонент тензора напряжений отличны от нуля только р„и р„, причем р„и р„не зависят от з. Если напряжения представлены через функцию напряжений, то уравнения равновесия автоматически удовлетворяготся. Однако х (х, р) не может быть произвольной функцией, так как компоненты тепзора напряжений, кроме уравнений равновесия, должны удовлетворять уравнениям Бельтрами — Мичелла.
В рассматриваемом случае уравнения Бельтрами — Мичелла превращаются в уравчение для функции 7 (х, у). Мы получим уравнение для дс(х, у), пользуясь непосредственно равенствами (7.6) и (7.22). Предварительно установим связь между введенными для решения задач о кручении функциями 7', вр и К. Для этого вспомним, что напряжения (см. (7.6) и (7.22)) связаны с этими функциями следующими соотношениями: д/' ( дъ~)~ д' Р. -"Р ( — в -и —;) = Н( — У4. 1 ~ = "~ — „ д/1 1 аду' двс дд/ (, дх1 дх (7.23) Отсюда ясно, что в случае кручения цввлиндрических стержней имеем з (7.24) Функция вр является гармонической, поэтому функция напряжений дУ должна удовлетворять уравнению Пуассона Л~У = 2. (7.25) Граничное условие (7.21) при этом дает К = сопев на С.
Так как функция К вообще определяется с точностью до аддитивпой постоянной, то в случае стержня одяосвязного поперечного сечения можно принять, что ~~ =0 на С. (7.26) Таким образом, с помощью функции напряжений задача о кручении цилиндрического стержня односвязного поперечного сечения сводится к отысканию решения уравнения Пуассона (7.25), удовлетворяющего на контуре С граничному условию (7.26). Заметим, что в приведенном выше выводе уравнения (7.25) для функции Я'выполнение уравнений Бельтрами — Мичелла обеспечивается, так как в атом выводе мы пользовались формулами (7.6), которые были получены с помощью закона Гука и представлений ем через йь В случае кручения стержня круглого поперечного сечения из (7.24) (7.25) и (7.26) непосредственно вытекает, что функция 1 7. Кручевие цилиндрических стержней 667 напряжений имеет вид 77к е + ,Д Я'(х, у) = —— 2 2 (7.27) Установим теперь связь мелсду функцией напряжений и крутящим моментом.
Из (7.12) и (7.23) имеем М = — хр ~ ( —; х + — у) Ых (7,28') Отсюда, так как дЯ' дЯ' дЯ'х, дЯ и — х+ —. у = .— -,'- — — 2Т, дх дд дх ду с помощью формулы Гаусса — Остроградского получаем М = — хр~ У (х сов (и, х) + усов (тк, у)) Ис+ 2хп ~ 7 с(э. с 9 Для стержня односеязного поперечного сечения в силу условия (7.26) будем иметь М=-2ир ~КЫэ. (7,28) $ (= ~($а + — ,,'' ау~= 'к ск г ! дЯ' дЯ' = — <у[ — пу — Их1 — $(хну — уйх) = 0 дх ду ск или по (7.10) $ ~ — соь (тк, х) + д соз (тк, у) ~ сЬ = дЯ' дЯ' ск = — ф [хсоз(м, х)+ усов(м, у)) сЬ, г~ В случае стерккня х ноэосвяэного поперечного сечения функция напряжений ~~ будет принимать различные постоянные значения на различных замкнутых кривых, ограничивакощих поперечное сечение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
