Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Рис. 133. Эпюра изгибающих момеатоз и форма изогнутой оси балки, изгибаомой силой, прпло>кеввой з точке С. поворота оси балки в точке А (жесткое закрепление исключает поворот). Это условие имеет вид улчг Е„=О или ~ — ) =О. '> ах ) А Величина прогиба балки у (х) зависит от свойств материала, и позтому Лю Лз, И нельзя определить независимо от свойств материала оалки. Для величин изгибающих моментов имеем М =' — Л1(1 — х) при х -а, М = — Л> (1 — х) + Р (а — х) при х ( а. $ З. Методы сопротивления материалов Следовательно, уравнение изогнутой осн балки по-прежнему определяется формулами (8Л1) — (8.13).
Условие 6л = О имеет вид ??~ Р— — — а +от=О 2 2 или (с использованием (8ЛЗ)) Вт = 2?е (3? — а). Далее из условий (8Л4) определяются В, и %: Ра~ Ра Ве = Р— 2Р (3? — а), % = 2, (? — а)(2? — а). Нетрудно проверить, что наибольший изгибающий момент, а следовательно, и наибольшие нормальные напряжения получаются в заделанном сечении и "когда груз расположен так, что а=?(1 — — ) . Эпюра изгибающих моментов и форма изогнутой оси балки приведены на рис.
133. Рассмотрим еще один пример типичной статически неопределимой задачи — зазачу о балке на трех опорах (рис. 134), когда в точке х = ?, -, 'а на балку действует сила Р. Уравнения статики в етом случае датот Вт+ Ве+ Ве = Р (8Л5 Вт? -1- Ве?т = Р (?т + а). / ) Задача о равновесии балки иа трех опорах Е.? — ', = — В,(? — х), х)?1+а, аев ахе Еа — „'~ = — В, (? — х) + Р (?т + и — х), ?, (х С ?, + а, Ел — „', = — Вт (? — х) + Р (?, + а' — х) — В, (?т — х), х (' ?т Рл (8.16) При интегрировании уравнений (8Л6) появляются шесть дополнительных констант.
Для определения зтих шести конс- тант и одной неизвестной реакции, например В, имеем 1Зе Условия (8.15) представлятот собой два уравнения для определения трех неиавестных Вы В„Ве. Дифференциальные уравнения для определения формы изогнутой оси балки в рассматриваемом случае имеют вид Гл.
1Х. Теория упругости следугощие семь условий: р(0) =0, р(г,) =0, р(г) =0, у (1, + а + О) = у (1, — ' а — О), у' (У, . ' а + О) = у' (1, + а — О), (8.17) р(г,+0) = 1(г,— 0), у (г, + О) = р (1, — 0). После использования условий (8.17) и (8.15) становятся полностью известными величины всех реакций, фореш изогнутой Рпе. 131. Ревяоееспе баяне не трех опорах. оси балки и величина нормальных напряжений в каждом поперечном сечении. Аналогично может быть решена задача о равновесии неразрезной балки на п опорах под действием произвольной системы сил, приводящих к изгибу.
б 9. Вариационные методы в теории упругости Вывод оеяовяоге варяациояиого уравяеяня рп ЫР = — е)зи — аг)Т. Р (9.1) Это уравнение выполняется для любого действительного процесса в упругом теле. Однако оно имеет более общую природу. Именно, как мы это уже делали в з 2, можно рассматривать набор различных равновесных процессов, проходящих в пространстве Вариационнымп мотодаии называются методы точного и приближенного решения задач, основанные на использовании экстремальных свойств некоторых функционалов.
Здесь мы рассмотрим так называемый метод Ритца, а также близкий к нему, хотя и не основанный непосредственно на использовании вариационного принципа„метод Бубнова. Введем прежде всего вариационный принцип для упругих тел, находящихсн в равновесии. Рассмотрим уравнение притока тепла для некоторого действительного процесса, проходящего через данное состояние покоя: $ 9. оариацвонные методы в теории упругости 389 состояний через данную точку и играющих роль «возможных перемещений» для данного упругого тела. В то же время эти «возможные» процессы могут быть действительными при определенном выборе внешних сил, внешнего притока тепла и других внешних факторов, которые не входят в уравнение (9.1).
Поэтому, если обозначить набор дополнительных, мысленно определенных возможных бесконечно малых смещений (т. е. дополнительных смещений, допускаемых геометрическими связями) через Ьго«, соответствующие им дополнительные деформации через а возможное приращение свободной энергии и температуры через ЬР и ЬТ, то будем иметь (9.2) рбмк = рп Ьз;; — рзЬТ.
Вычислим изменение полной свободной энергии тела Ь ~ рг" г)т, У где г' — объем данного тела, учитывая, что для индивидуальных элементов объема У верно равенство Ь (о с(т) =- О. Имеем Ь ~ рг" с(т = ~ рЬР с(т = '1 р"Ьзм ат — 1 о»ЬТ Нт, к р р Дальше приме»к что вариации перемещений Ьи«(х', х-", ха)— непрерь«вные дифференцируемые функции коордиггат; пользуясь этим и свойством симметрии ря =-р'~, преобразуем первый из интегралов правой части -~ -Ыо,.', ==';= .' = Г ббац дбк.
1, дба: р"Бе с(т = '«рц — ( —.' -' — ' ! с(т = ( „и —,«,~ У о . 'дт — ~др, Ьш дт = ~(р")'Ьш«с(о — ~ — Ьячс(т. (9.о) Ъ' а, О Нхб У При выполнении преобразования (9.3) принято обозначение рчк, (рн)Ф Для действительного напряженно-деформированного состояния при условии, что упругое тело находится в равновесии (покое), можно написать ври хан Т»п РЯч гран' а у Гл. 1Х. Теория упругости поэтому ') р44бзту Ит = ') (р," бтс) 4Й + ) р (Х' бтс) Ит, у в у т.
е. интеграл ~ р4Убзм 4(т У равен работе действующих на тело внешних массовых сил.Р и поверхностных ут,рак напряжений. Следовательно, Ь'4 рту 44т = 4) (ут" ° бтс) 4Ь + ) р (У' 64о) 44т — ) ргбГ 44т. (9.4) Ъ Е г т Мы получили уравнение (9.4), пользуясь соотношением (9.2), определением индивидуального объема, дифференциальными уравнениями равновесия и граничными условиями, определяющими напряжения на границе. Обратно, из (9.4) и (9.2) на основании произвольности возмоясных перемещений би:, с помощью преобразования (9,6) и условия б(р44т) = О, можно получить дифференциальные уравнения равновесия и граничные условия для напряжений. В этом смысле можно говорить, что уравнение (9.4) эквивалентно системе уравнений равновесия и граничным условиям.
Коли имеются граничные условия в перемещениях, то они должны быть учтены дополнительно '). Предыдущие выводы и уравнение (9,4) справедливы как в рамках теории малых деформаций при наличии закона Рука, так и в рамках общей теории упругости с конечными деформациями и перемащениями из начального состояния. Рассмотрим отдельно случай, когда внешних массовых сил нет, (9.5) Дальше в этом параграфе в качестве возможных процессов рассмотрим только изотермические: ЬТ= О. (9.6) В качестве возможных перемещений бъв достаточно рассматривать только такие, для которых на границе тела выполняется равенство р" Ьтс = О. (9.7) Это условие ограничивает возможные перемещения только точек ') В частности, ато проявится в выбора апрокснмнрующих функций в методах Ритка н Бубнова.
9 9, Варкацконные методы в тоорвп упругости 394 поверхности рассматриваемого упругого тела, оставляя перемещения внутреннихточекпроизвольныыи. Если7э,"рая+ О, то условие (9.7) требует, чтобы быт были либо перпендикулярны к направлению действутощих на границе внешних сил, либо просто равнынулют). Если жетэ ран = О, тоусловне(9.7) не накладывает никаких ограничений на возможные перемещения на границе. Из равенства (9.4) при условии, что массовых сил нет, а возможные перемещения удовлетворяют условиям (9.6) и (9,7'), получаем б~ рР от = О. (9.8) Варкацкоккый принцип Следовательно, при равновесии в отсутствие массовых сил действительные перемещения ыт доставляют экстремум полной свободной энергии упругого тела по сравнению со всеми другими перемещениями и> + бто, удовлетворяющивпг условиям (9.6) и (9.7'). Отметим и подчеркнем, что свободная энергия отдельных частей тела даже при выполнении этих специальных условий на Х не достигает в равновесии экстремума.
Нетрудно показать, что если упругое тело подчиняется закону Гука, причем Р можно считать полол ительно определенной квадратичной формой от е;, для всех изотермических процессов с Т = Т„= сопят, то условие (9.8) превращается в условие минимума полной свободной энергии в состоянии равновесия. В самом деле, пусть Р(ем) = — Ап"'еызм ~ О, Вычислим г" (еы + бем). Имеем дР г (зц+ бент) = Р (зц) + з бетт 0 м Поэтому в силу (9.8) получаем ~рр(е„+ бзп) Ж =~рр(еп) Ото, ~рР(бем) Ыт. У к ') Дяя дальнейшего существенно только равенство ~р(Я бас)от+(рс "ан Ьш)Ит =О, (9.Т) которог может ныкояяяться для перемещеккй бш болев общего вида, н частности, дяя любых поремощеккй тела как твердого, так как внешние силы удовлетворяют условию равновесия.
Гл. !Х. Теорггп упругости Так как Р— положительно определенная квадратичная форма, то из последнего равенства следует, что ~ рР (ам+ бац) г)т ь ~ рР (зп) гй, лг мг = и „-';,У~ а„ггг<''>, (9.9) где и'„шог — наперед заданные функции координат, (например, полиномы), а, — неиавестные пока константы. Функции гп„гг.рг яе обязаны сами по себе удовлетворять уравнениям равновесия нли быть связанными с граничными условиями для напряжений. Однако они должны быть выбраны так, чтобы граничные условия для перелгещений удовлетворялись, если таковые ямшотгя. Можно, например, выбрать функции мгю иго> так, чтобы па поверхности тела гг'л = 'ггбран, Если перемещения заданы формулой (9.9), то моягно вычислить соответствующие им компоненты тензора деформаций, которые будут линейными функциями а„, и величину свободной энергии Р, которая при наличии закона Гула оказывается квадратичной функцией посл оянных а„(н известной функцией координат л, у, з).
Рассмотрим перемещения бш, имоющне вид бггг = ~~~~ игр>ба„ (9.10) т. е. получающиеся нз (9.9) с помощью варьирования констант а,. Если для изотермнческого процесса перемещения (9.$0) т. е. свободная энергия в истинном состоянии меньше, чем в других, возможных, состояниях. Таким образом, при некоторых определенных условиях решение задачи о равновесии упругого тела может быть сведено к решению вариационной задачи о нахо;кденин функций, дающих экстремум некоторому функционалу (для изотермическнх процессов — полной свободной энергии).
Метод Ритца решения задач о равновесии Метод Рвтца упругого тела основан на использовании варнационного принципа (0.8)или, в более общей формулировке, непосредственно уравнения (9.4). Зтот метод состоит в следующем. Ищем решенно для перемещений в виде конечной или бесконечной суммы 1 9. Вариацвонные методы в теории упругости 393 удовлетворяют условиям (9,7) или (9.7'), то для таких переме- щений должно выполняться равенство 6') орс(т= О или Ь = О, У где -~) — полнан свободная энергия упругого тела, причем очевидно, что функция 3 уже не зависит от координат и явля- ется полиномом второй степени относительно а, с известными коэффициентами. Поэтому условия экстремума для .Ы д.Ы =О, я=1,2,...,Х, да (9. 11) представляют собой систему линейных уравнений, которые позволяют найти а,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
