Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 72
Текст из файла (страница 72)
11омпоненты скорости мгновенного поступательного движения (скорости точек оси зт при вращении относительно оси гт) при ю = — 1 определены формулами О„= (юх( — г)(„= — у', От = [юх(-т))л = х'. Так как поступательным движениям вдоль осей х и у со ') Условиям (7.38), (7,39) можно удовлетворить выбором едииип из-. меревия. Рл. (Х. Ф'сория упругости скоростями — у и х соответствуют потенциалы <р, = — у х и ~рт = х у, то, очевидно, потенциалы у и ~р связаны равенством <р' = ~р + х'у — у'х. Компоненты смещений при кручении вокруг оси зе при этом должны определяться формулами ю, — — а (у — у') з, ю, =- а (х — х') г, йе — -- а~р'.
Очевидно, что напряжения, а следовательно, и крутящий момонт прн этом не изменятся. Для стер'кня круглого поперечного сечения, если начало координат 0 совпадает с центром круга, ~р == О и частицы не испытывают смещений вдоль оси г. Если выбрать другое положение начала координат, т. е. закропить в стержне другую ось, то смещения вдоль осн г во всех точках, кроме точек новой оси г, станут отличными от нуля и равными юе = а (х'у — у'х). Апатогкя с вихревым течепкем идеальной несжимаемой жидкости ди де — + — = О.
дх ди Отсюда следует, что можно ввести функцию тока ф такую, что д$ д$ ду ' дх ' (7.40) Н Очевидно, что упругие смещения прп иемекенкк иоложепкя в стержне осп г отличаются только па малый поворот стержнякактеердогооткосктельно оск, пе параллельной оск г, а случае стержня круглого но- перечного сечения относительно оск, параллельной плоскости хОу. Отсюда видно, что в этом случае поперечные сечения также остаются плоскими, но угол между осью з и поперечнымн сечениями после смещений перестает быть прямым' ).
Изложенную выше аналогию задач о кручении и потенциальном абсолютном течении жидкости можно легко видоиаменить и получить аналогию между задачами о кручении цилиндрических стержней и о вихревом относительном движении жидкости. Для этого на движение сосуда и жидкости в сосуде достаточно наложить вращательное движение вокруг оси г с угловой скоростью ю = 1. В результате этого сосуд станет неподвижным, а жидкость будет иметь во всех точках постоянную завихренность ю, = 1.
)Кидкость нес>кимаемая, течение плосконараллельное, уравнение неразрывности имеет вид 1 7. Кручение цилиндрических стерншей 375 )Кидкость движется так, что вектор вихря ю = го,ус постоянен в каждой точке, поэтому для определения Функции тока ф получается следующее уравнение: ди ди 2ю, = — — — = — Лф дх ду илп Лф =-- — 2, (7.41) которое совпадает с уравнением (7.25) для иий У. Граничное условие непроницаемости на пой трубы будет иметь вид функции папряжестенках пеподвиж- ду гч пч = исоа (ы, х) + ц сов (ы, у) = — — -,'- ду Иа т.
е. ф =- сопе$ на С' или в случае односвязпого сечения ф =- 0 па С. дч ~х дф — О дх ду д» (7.42) Это граничное условие совпадает с граничным условием (7.26) для функции напряясеиий ~~. Таким образом, функцию тока $ можно отождествить с У', а рче и р„с компонентами скорости относительного плоскопа- раллелького движения идеальной несжимаемой жидкости с постоянной завихреикостью ю, .= 1 в цилиндрическом сосуде- стержне. Момент количества движения слоя жидкости единичяов толщины относительно оси з при этом будет равен И' = р ~ (г Хи), Ж = р ~ (пх — иу) г(з = х, = — Р~(а х+ д У)'Ь ') Существует множество других примеров подобного рода аиалогдй длн различных задач фнанки и мсханнки, и будет совпадать со значением крутящего момента (7.26'), если принять, что плотность жидкости р равна хп, а в, = 1. Все приведенные математические апало- Качеетвенные выводы гни любопытны сами по себе и позволяют стержнен, сделайные на основе перевести решения соответствующих за- гвдродннвмнчесвнх дач иа случай кручения цилиндрических аналогий стержней и наоборот г).
Гидродинамические аналогии дают возможность сделать ряд приближенных качественных выводов о распределении касательных напряжений при кручении. 926 Гл. 1Х. 'Геория упругости Например, из теории потенциальных плоскопараллельных течений идеальной несжимаемой жидкости ') известно, что точки излома линий тока являются критическими точками, при обтекании входящих в область течения углов в угловых точках возникают, вообще говоря, бесконечно большие скорости, Рис.
$22. К применению гвдродинамнческнх аналогий. а при обтекании выходящих из области течения углов в угловых точках скорости равны нулю '). Таким образом, в окрестности угловой точки А выточки, изображенной на рис. $22,а, при любом малом крутящем моменте возникают бесконечно большие касательные напряжения. Следовательно, с точки зрения прочности стержня целесообразно делать выточки закругленного профиля, типа В. В угловых точках типа С (рис. 122,а) при кручении стержня напряжения равны нулю. Пусть в поперечном сечении работающего на кручение стержня имеется отверстие — след круглой цилиндрической полости, диаметр которого мал по сравнению с характерным линейным размером поперечного сечения стержня.
При обтекании такой полости скорости в некоторых точках А и В будут равны нулю, а в точках С и  — больше скорости натекающего потока. Следовательно, в окрестности точек С и .0 будут наблюдаться касательные напряжения больше тех, которые возникают в месте полости при ее отсутствии. Приведем еще один пример использования гидродинамической аналогии. Рассмотрим циркуляционное течение идеальной несжимаемой жидкости в цилиндрическом сосуде, поперечное сечение которого имеет вид вытянутого прямоугольника (см.
рис. $22, с). Очевидно, что в точках М, М, Лт', )У' скорости жидкости равны нулю, а вблизи середин длинных сторон линии тока будут расположены наиболее густо, т. е, скорости в окрестностях точек А и В будут наибольшими. Отсюда сле- г) См., например, Л. И. С е д о в, Плоские задачи гидродинамики в аэродинамики, иэд. 1950 и 1966 гг. е) Эти свойства верны как для потенциальных движений жидкости, так и для вихревых.
$8. Методы Сопротквлзнвн матеряалоз 377 дует, что при кручении такого стержня максимальные касательные напряжения будут в точках А и В. Таким образом, с помощью гидродинамических аналогий весьма просто можно сделать важные заключения о некоторых особенностях распределения касательных напряжений при кручении. й 8. Методы сопротивления материалов в задачах об изгибе балок Задачи теории упругости с малыми деформациями линейны. Несмотря на зто, во многих случаях теоретическое решение этих задач затруднительно.
В инженерной практико с успехом применяются приближенные методы расчета„создание и разработка которых составляет предмет «сопротивления материалов», Сопротивление материалов находится в Общая характеристика таком же отношении к теории упругости, методов «сопрет»пшенка как гидравлика к теоретической гидро- материалов» механике. Методы сопротивления материалов и гидравлики основаны на некоторых предположениях, которые в свою очередь основаны на использовании сведений, полученных в опытах илн при изучении известных точных решений задач теории упругости и гидромеханики.
Проиллюстрируем этн методы на примере решения задач об иагибе балок. Такие задачи часто встречаются в инженерной практике; балка — наиболее распространенный элемент многих конструкций. Мосты, плотины, корабли, небоскребы и т. д. также часто можно рассматривать как балки, нагруженные различными система ° ми сил. Рассмотрим системы сил, которые вызывают нагиб балки, и подсчитаем суммарные силы и моменты, действующие в каждом поперечном сечении балки. В з 6 подробно изучена задача о «чистом «Чвстый взгяб», нзгяб изгибе» балки, т. е. изгибе, которыйпропоперечной силой изводится двумя равными и противоположно направленными моментами >»х и ( — >г«), действую>ними на торцах балки. В этом случае напряжения, действующие в каждом поперечном сечении балки, приводятся к паре с моментом ЗХ.
Более распространенным является случай, когда изгиб производится действующими перпендикулярно к оси балки силами '). ') Дальше для простоты будем рассматривать изгиб простейших типов балок, вмоющпх плоскость свмметрвн, проходящую через продольную ось, силами, действуюзгвмн в плоскости симметрии. Наиболее распространенные балки круглого, прямоугольного, дзутаврозого в других поперечных сечений обладают такой симметрией.
Гл. 1Х. Теория упругости Пусть, например, имеется балка, один конец которой жестко а, аг Рис. !23. Консоль. Рис. 124. К вычислению главного вектора и главного моиента сил, действующих в сечении а!г, Изгибающий ковент и переревываюп!ая сила заделан, а на втором действует сила Р. Такая балка называетс5! Консолыо (рис. 1 3). Подсчитаем главный вектор и главный ътомент сил, действугощих в некотором поперечном сечении аЬ такой балки, на площадке с нормалью, совпадающей с осью х, направление которой указано на рис.
123. Для этого мысленно разрежем балку по этому сечению (см. рис. 124) и отбросим левую часть балки, заменив ее действие на оставшуюся часть действием соответствующей системы сил. В результате такой операции правая часть балки, по условию находившаяся в равновесии, должна остаться в равновесии. Следовательно, сумма всех сил и сумма всех моментов, действующих на эту часть балки, должны быть равны нулю. Отсюда легко получить, что величина главного вектора сил, действутощих в сечении а,Ь, равна ( — Р), а главного момента ( — Р (1 — х)) (боковая поверхность балки по условию свободна от нагрузок).
Пользуясь известным свойством напряжений тг" = — Р-", заключаем, что напряжения в сечении а,Ь! сводятся к силе Р и моменту М = Р (1 — л). Момент М называется изгибающим моментом, а сила Р— перерезывающей силой. Таким образом, в рассматриваемой задаче об изгибе консоли силой Р система напряжений в любом поперечном сечении статически эквивалентна перерезывающей силе Р и иагибающему моменту М = (1 — л) Р. При этом, в противоположность случаю чистого изгиба, оказывается отличной от нуля не только величина р'х, но также и Р'в, т. е. касательные напряжения в поперечном сечении. В общем случае может быть несколько сил, приложенных в разных точках балки и действугощих в равных плоскостях.
Тогда полная система сил, действующих в любом поперечном 1 8. Методы сопротивления матеркалов 379 сечении, будет сводиться к растягивающей силе, перерезывающей силе, изгибающему моменту и крутящему моменту. В этом нара- Ь графе рассмотрим только такой случай, когда силы действуют в одной з плоскости (которую назовем плоскостью ху) и при- %» водятся к перерезывающей силе и изгиба«ощему моменту (рис. 125). Если ве- Рнс, 128. Система сял в моментов, к»- личины всех действующих гкбающая балку. па балку сил Р; и моментов М«известны, то для подсчета перерезывающей силы и изгибающего момента, действующих в некотором сечении аЬ, очевидно следующее правило.
1) Главный вектор всех сил напряжений, действующих в сечении аЬ (иа площадке с нормалью х, т. е. Иа левую часть балки), равен сумме всех внешних сил, приложенных справа от этого сечения. 2) Суммарный момеит сил напряжений относительно оси, параллельной оси г и расположенной в данном сечении аЬ, действующих в сечении аЬ па левую часть балки, равен сумме моментов всех сил и всех пар, приложенных справа от этого сечения. У где ЛР— полная сила, действующая на элемент балки Лх(рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
