Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Таким образом определяются функции тп такие, что они дают экстремум функционалу и по сравнению с другими функциями и'-' бяц где б~е имеют вид (9.19). Если бы вариации баэ были совершенно произвольными (удовлетворяющими нужным условиям на границе), то полученное решенпе бгзло бы точным, так как вариационный принцип полностью эквивалентен системе уравнений равновесия и граничным условиям для напряжений. В данном случае условие экстремума выполняется лишь по отношению к некоторым Ьк, поэтому полученное репюние является приближенным.
Однако если система функций сом' — полная система, т. е. если любую функцию из данного класса, в частности, бй (х, у, ), можно приближенно с любой степеншо точности представить в виде линейной комбинации этой системы функций, то, взяв достаточное число членов в (9.9), можно получить решение, вообще говоря, весьма близкое к точному. После разрешения системы уравнений (9.11) при любых Х вопрос о получении таким путом в пределе при Х вЂ” ~- о точного решения связан не только с полнотой системы функций то<О, но и со сходимостью ряда (9.9).
В качестве примера использования метода аз= М(т у) ю, =- — игу, ш, =- азл, Тогда, какова бы ни была функция ~ (л, у), из всех компонент тензора деформаций и тензора напряя;ений отличны от нуля Решение аадачн Ритка рассмотрим решение задачи о крус кручения цвлиидричес- ченни цилиндрического ссержня эллипкого стеРжнЯ эалиптичес- тического поперечного сечения (рис, 135) кого поперечного сечения крутящими моментами, приложенными на торцах. Примем, как и прежде (си. 3 7), что массовые силы отсутствуют, Т вЂ” -- Т„а для перемещений верны формульы Гл. 1Х. 'Геория' упругости 394 е,„= е„= — ~х+ — ~ а/ . ~/~ 2~, ду) Рзз = Рзз = 2)гезз При этом считается, что вгатериал стержня изотропен и подчи- няется закону Гука.
Для свободной энергии, приходящейся на единицу объема, в этом случае получаем ОР = — К-у- — у) + ( —, + х) 1 . Поэтому полная свободная энергия представляется в виде оз=~рРггт= — ~(~д — у) +~ — ",- х~ ~ггз, (9.11) где Х вЂ” площадь сечения стержня. Рассмотрим малые перемещения бтс следующего вида: 2 бю,=О, бюз=О, бюз = а61 (х, у). р'= О, а на торцах тв".бьв =0 Ь') РР г)т = О, т. е. б'))(дз у) +(д +х) )гас=О. (912) Легко показать, что если вариация 61 может быть произвольной, то из (9.12) для 7'следуют уравнение гв1 =- 0 внутри Х (уравнение Эйлера в вариациопном исчислении) и граничное только компоненты ау, д/' езв = евз = — ~ — у -г — ), 2(, дх и Рзв = Раз = 29евз Рис. 13ог.
Обозначения к аадаче о кручеяии стержня эллиптического поперечного сечения. только вдоль оси з). Поэтому должно выполняться равенство Эти перемещения удовлетво- ряют условию (9.7), так как на боковой поверхности по условию (вектоР1ве =уз лежит в плоскости ху, а бес' имеет отличную от нуля составляющую при всех таких смещениях 1 9. Барвацнонные методы в Феории унрутостн йзб условие а7 Фл з 2~ (~+") на границе Х, т.
е. получается рассмотренная в 3 7 постановка задачи для определения функции кручения. Найдем функцию 7 (х, у) методом Ритца, для этого возьмем 7 в виде 7= Аху, (9.13) где А — некоторая постоянная, т. е. положим, что тое = О, ю<п = хУ (так как в рассматриваомой задаче перемещения на границе не задаются, то функции то„тсы~ могут быть выбраны произвольно). Для полной свободной энергии стержня будем иметь о6= ~ рР Ат = и" ~ ((А — 1)е уа + (А -'- 1)' хе] до = м 2 Е 4 ((А — 1)е Ь'+ (А+ 1)т ае] = =2(А), так как Х вЂ” площадь эллипса х' , уе Из вариационного принципа б — "' = О получаем уравнение — =О, т. е.
(А — 1)Ь'+(А-]-1)а'=О, отсюда ае — 6е А=— а~+ 6~ Следовательно а' — 6' Любопытно, что полученное решение является точным решением задачи о кручении эллиптического цилиндра (см. 3 7). В силу удачного выбора функций ибо всего один член ряда (9.9) дает точное решение. Аналогичным путем (иД-'> — полиномы) получены приближенные решения задач о кручении стержней прямоугольного и треугольного поперечных сечений, а также других задач. Опишем теперь кратко метод Бубнова т).
Метод Бубнова Этот метод не связан непосредственно с задачей разыскания экстремума какого-либо функционала ~) В литературе этот метод называется также методом Бубнова— Галеркнна. 396 Гл. )Х. Теория упругости вида (9.8) н может быть приложен к задачам с необратимыми явлениями '). Пусть требуется найти решение некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнений теория движения вязкой жидкости или уравнений движения упругого тела при определенных граничных условиях. уравнения движения в перемещениях можно записать в виде 1.
(ьр) = О, где ) — некоторый оператор. Например, для пзотермнческого равновесия нзотропного упругого тела, подчиняющегося закону 1'ука, имоом линейные уравнения Ламе и ~(тн) == (),- р)дга~1 т(тг во-'- )тЛттт-' (тК = О. Как и в методе Ритца, ищем решение в виде суммы я чн =,~~~ а,гнат, (9 15) где торт — некоторая система известных функций, обладающая свойством полноты. Далев предполагаем, что выбором функций ыд'т удалось заранее удовлетворить граничным условиям.
Подставим в уравнения (9.14) формулу (9.15), умножим результат на каждуто из функций мтт') и проинтегрируем по всему объему )г рассматриваемого уттругого тела. Получим следутощую систему уравнений: ~ ).(тс) то<'>т)т = О (з = 1, ..., Х). (9 16) Так как ) (ит) — теперь известная функция координат и (при наличии закона Вука) линейная функция а„, то равенства (9.16) представляют собой систему алгебраических уравнений для определения а, и, может быть, некоторых параметров из условия разрешимости системы (9.16).
Определим теперь а, так, чтобы система (9.16) удовлетворялась. Возникает вопрос: в каком смысло получстшые по (9.15) и (9.16) функции м представляют приближенное решение аадачит 11сно, что если ьро) — полная система функций, то при достаточно большом числе функций мтц) из равенств (9.16) с любой наперед заданной степенью точности следует, что 1. (ьв) О, ') Прн наличии необратимых аффектов, вообпте говоря, отсутствует голономпый варнацнонпый прлнцнп ппда (9.8). 1 10. Упругие волны в изотропной среда 397 и, следовательно, таким способом можно получить решение, близкое к точному. Для получения таким путем точных решений при Лг-~- математические вопросы о сходнмости ряда (9.15) и законности его подстановки в (9.14), а также разрешимости бесконечной системы уравнений (9.16) имеют существенное значение.
Метод Бубнова может быть применен и в динамичоских аадачах теории упругости. При этом, если интегрирование производится по пространственному объему $', то уравнения (9.16) представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений с одной независимой переменной — временем Применение приближенного метода, по сунгеству совпадающего с методом Бубнова, при интегрировании только по части независимых переменных в области, занятой средой, снижает число независимых аргументов.
Такой прием приводит к существенным упрощениям математических задач. Подобные упрощения часто используются па практике в теории стержней, пластинок, оболочек, в гидравлике и т. п. Замена дифференциальных уравнений интегральными соотношениями, такими как глобальные уравнения количества движения, момента количества движения и энергии, для приближенно заданных законов распределения характеристик двиигения и состояния является, по существу, частным приемом метода Бубнова. й 10. 'Упругие волны в ичотропной среде Рассмотрим теперь распространение малых возмущений в упругих телах. Уравнения Ламе в случае малых относительных перемещений, не сопровождающихся изменением температуры (Т .— Т„), имеют вид р —, = (Х + р) огай бгч ъв + )гЛго ч о и'.
(10.1) д'-ю Процесс распространения упругих волн можно считать адиабатичесиим При наличии движения температура в упругом теле, вообще говоря, не остается постоянной, а меняется как с течением времени, так и от точки к точке объема, занятого упругим телом, поэтому система уравнений теории упругости в общем случае движения сильно усложняется.
Однако передача тепла внутри тела путем теплопроводности является медленным процессом, и поэтому быстрый процесс распространения малых возмущений в упругих телах, так х<е как и в гааах, можно обычно считать адиабатическим. Как и в случае движения совершенного газа„предположение об адиабатичности движения упругой среды позволяет получить 308 Гл. 1Х.
Теория упругости простое соотношение ме)кду температурой и деформациями. После добавления этого соотношения к уравнениям импульса в перемещениях получается полная система уравнений. Для любой частицы среды адиабатилввейиой теории ческне процессы протекают без обмеупругости в случае на теплом с внешней средой (Иф') = 0), адвабатическвх пропсссов все процессы в теории упругости считаются обратимыми (ТЪ = й~'))с и по- атому в рамках теории упругости адиабатические процессы являются изэнтропическими, г = сопз$. Для энтропии упругого тела (см. $2) имеем (10.2) Предполагая изменения температуры Т вЂ” Т, малыми по сравненито с Т, выражение для свободной энергии Р иэотроппого упругого тела в случае малых деформаций можно взять в виде (см.
(2.24)) Р = 2 Т; (сп) + — Тс (см) — — (ЗХ+ 2р) а (Т вЂ” Тс) Т) (см)— — зс(Т вЂ” Тс) — ~' (Т вЂ” То)'+ Рс, (10.3) где г„Х, р, с и Р,— некоторыепостоянпые, а члены порядка (Т вЂ” Т,)' и выше не учитываются. Подставив (10.3) в (10.2), получим 8= ЗЛ+ 2р Р ) ' Уо и1,(с,)+го+ — (Т вЂ” Тс). (10.4) Отсюда в случае изэнтропических (в теории упругости «диабатических) процессов, полагая з = ао = сопз1, будем иметь следующую связь между Т и с з. (10,5) которая аналогична соотношению для адиабатических процессов в совершенном газе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
