Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Эти модели получазотся в результате обобщеяия на случай произвольного деформирования предложенных Прандтлем идеализированных диаграмм для простых частных случаев доформирования, например, диаграммы для одноосного растяжения, изображенной на рис. 139. На этом рисунке приведена диаграмма одноосного растяжения — сжатия для идеально упруго-пластической среды; при напряжении растяжения, меньшем некоторого постоянного предель- $1. Эффекты прк деформкрованнк твердых тел .41З ного значения — ре, и напряжении сжатия, болыпем р„материал ведет себя как упругое тело; часто можно принять, что Ре= Ро. В диаграмме, приведенной на рис. $40, упругие деформации вообще не учитываются (что можно оправдать малостью упругих деформаций по сравнению с возможными пластическими), 1 и Ркс. 139.
Дкаграмма сясаткя — растяжекпя для пдеально-пласткческого материала. Ркс. 140. Дкаграмма сжаткя — растяжения, для жестко-пластнческого материала. При напряжениях, абсолютная величпна которых меньше некотоРого постоЯнного аначениЯ Ре (Р, = Ре), ДефоРмации пРиниматотся равными нулю. Это диаграмма растяжения — сжатия образца из лсестко-пласти- с ясского материала. В обоих случаях после увеличения с напряжения до ре возможно Рз ", течение материала с неограниченно возрастающей де- сР с формацией при постоянном с„ а напряжении. Такие модели могут удовлетворительно они- л' ~Ра сывать поведение материалов, для которых на диаграмме ры(еы) имеется площадка Рпс.
141. Диаграмма сжатия — растекучести. тяження длн лннекпо-упрочнягопте- 2. К другому типу можно отнести модели пластических тел, в которых учитывается упрочнение, т. е. изменение предела упругости при пластическом деформировании. На рис. 44$ приведена диаграмма одноосного растяжения — сжатия для лннейно-упрочняющегося материала. ае Гл. Х. Теория пластичности Отсутствие однозначнов связи между напряже- ниями и деформацнямн прн пластических деформациях Отметшц что пластические деформации не определяются однозначно значением напряжений (см,, например, рис.
142). Одному и тому жо значению напряжения, например рп, может соответствовать бес(и (и св численное множество значений еп, е„и т. д. Если при нагруженни образца был момент, когда внешняя нагрузка превысила предел упругости, то значение деформации, ! яя Рно. 142. Прн пластзческнх деформацянх нет однозначной сняан между наяряжаннякн ц дефорнацнякя. соответствующее данному значению напряжения, зависит от того, как было достигнуто зто значение напряжения. Иногда величину пластичоских деформаций можно однозначно определить с по- Пример определенна остаточной деформации н идеально-пластнческом мощью простых соображений.
Рассмотрим, материале, пример например, конструкцию, состоящую из системы с внутРенними трех стержней одинакового диаметра и', напряжениями нонцы которых скреплены симметрично с помощью абсолютно жесткой пластины ЛВ (рнс. 143, а). Для простоты исключим влннние сил веса. Пусть крайние стержни 1 и й — стальные, а средний стерн'ень 3, расположенный симметрично относительно стальных стержней,— алюминиевый.
По условию примем, что до приложения внешней нагруаки все трн стержня находились в естественном ненапряженном состоянии (е„= 0). Если пластину, как указано на рис. 143, равномерно нагрузить, то из симметрии ясно, что длины всех стержней после деформации будут одинаковыми. Предел упругости р",, и модуль Юнга Вот для стали, как ая известно, болыпе предела упругости рп и модуля Юнга Е"" для алюминия, соответственно. Для простоты пренебрежем эффектами упрочнения и будем рассматривать сталь и алюминий как идеально-пластические среды (см.
рис. 143, б). Эффекты при дефорыпровании твердых тел 4т7 Пусть суммарная нагруака Р на пластину АВ задана и требуется определить нагрузки, приходящиеся на каждый стержень, и общее удлинение стержней. Предположим, что каждый из стержней деформирован однородно. Допустим еще, что нагрузка Р выбрана так, что относительное удлинение зхх меныпе, чем (р'й/Вал) = с„, и больше, чем (р;;/Ве') = зко т. е.
что алюминиевый стержень работает св ав 8/~ гл Рис. 143. К определению, пластических дефорыацнй в стальных сторжнвх 1 и 2 еще в упругой области, а стальные — уже в пластичесной области (см. рис. 143, б). Ясно, что нагрузка, приходящаяся на каждый из стальных стержней, равна р'„'ЛУ/4, следовательно, на алюминиевый стержень действует сила Р— (2рттяУ/4). Одинаковую полную деформацию з алюминиевого стержня и стальных стержней можно вычислить по закону Гука для алюминиевогоо стержня г 2Р—, оытпла Пластическая часть деформации стальных стержней может быть далее определена из условия сы — — ахт — ать = еы — — р' . в в т вот Ы Интересно отметить, что если теперь полностью разгрузить пластину АВ, то напряжения и деформации во всех трех стержнях, очевидно, не исчезнут. В стальных стержнях возникнут напряжения сжатия, а алюминиевый стержень окажется упруго- растянутым.
После разгрузки такая конструкция представляет !4 Л. и. Седов, топ 2 418 Гл. Х. Теория пластичности Ползучесть е) Рис. 144. Ползучесть материалов. с течением времени 8. Если в некоторый момент времени нагрузку У снять, то возникшие таким образом деформации не пропадут. Это явление, которое наблюдается при любой, давке малой, величине силы У, называется полаучестью. Ползучесть наиболее сильно проявляется при повышенных температурах, но свойство ползучести материала следует учитывать также при расчетах конструкций, которые должны работать достаточно долго, и при нормальных температурах. Обычно в тех материалах, в которых проявляется свойство полаучести, наблюдается н другое явление, нааываемое релаксацией напряжений. Если растянутый стержень, в попереч.
ных сечениях которого действуют напряжения р,',, закрепить на обоих его концах (ч. е. зафиксировать деформацию е„) (рнс. 145), то, как показывает опыт, с течением времени напряжения в стержне будут падать, для собой пример системы, на которую не действуют внешние силы, но внутри которой имеются внутренние напряжения. Уничтожить зти внутренние напряжения при сохранении целостности конструкции нельзя. Из этого примера ясно, каким образом для различных деталей машин илн каких-либо сооружений технология изготовления (неравномерное нагревание и охлаждение прн закалке, ковка и т. п.) может стать причиной возникновения внутренних наквяженкй при отсутствпн внешних нагрузок. Рассмотрим теперь еще другие эффекты, встречающиеся при деформировании «твердыхв тел и не описывающнеся нн в рамках теории упругости, ни в рамках теории пластичности.
Пусть имеется некоторый стержень (рис. 144), верхний конец которого закреплен, а к нижнему приложена постоянная сила У. Если стержень на долгое время оставить в таком состоянии, то, как показывает опыт, относительное удлинение еы стержня будет расти 4 1.
Эффекты при деформировавви твердых тел 419 одних материалов — до некоторого конечного значения р„, для других материалов — до нуля. Явления полэучести и релаксации тесно свяааны между собой. При релаксации имевшаяся первоначально упругая деформация за счет ползучести частично или полностью превращается Рис. 145. Релаксация иапрял<еиюь в пластическую, для поддержания (сохранения) которой не требуется прикладывать силу, это и вызывает уменьшение ры.
Теория полаучести является в настоящее время развивающейся областью механики спловшой среды. Опшпем еще одно свойство материалов Усталость материалов называемое усталостью, Опыт показывает, что, например, металлический образец под действием периодически изменяющейся нагрузки, приложенной на его свободном конце, может разрушаться после достаточно большого, но все же конечного числа колебаний, даже если максимальные напряжения не превосходят предела упругости материала. Для разрушения обраацовиз металла обычно требуются миллионы циклов колебаний.
Вообще многократно повторяющиеся н быстро сменяющие друг друга по определенному циклу нагрузки и разгрузки обычно приводят к понижению предела прочности конструкций, т. е. к тому, что конструкции раарушаются при гораздо меньших напряжениях, чем в статических условиях. Этот эффект называется усталостью материала, Проблемы усталости на практике имеют очень болыпое значение, так как многие детали машин, обшивки самолетов и судов и т. д. подвержены постоянным вибрациям. Самолеты, преднааначенные для полетов на больших высотах, всегда испытываются на циклические нагрузки в связи с тем, что их оболочка подвергается то расширению под действием внешнего разрежения на большой высоте, то сжатию~ вблиаи земли.
Испытания на усталость обычно проводятся путем погружения 14 о 420 Гл. Х. Теория пластичности самолета в воду, в которой по заданному закону меняется давление. По результатам такого рода экспериментов оценивается предельное число ° допустимых вылетов для данного самолета. Усталостные разрушения обычно обусловлены возникновением и развитием микротрещин внутри или на поверхности материала. На развитие трещин на поверхности или с поверхности внутрь конструкции существенное влияние может оказывать внешняя среда.
Например, прочность на разрыв стеклянных пластинок в воздухе и в воде различна. Сопротивление материар лов усталостному разрушению характеризуют кривой усталости, которую можно построить, если испытать серию одинаковых образцов, подвергающихся периодическому нагруженвю в одинаковых внешних условиях, но с различной амплитудой напРис. 146. тивввзая кривая уста- ряжений. по оси абсцисс отл ости. кладывается максвмальное количество циклов Х, которое выдерживает образец до разрушения, а по оси ординат — максимальное значение напряжения р, осуществляемое в этих циклах.
Типичная кривая усталости приведена на рис, т46. По кривой усталости можно определить максимальное напряжение, которое может выдержать образец для каждого заданного числа циклов, называемого базой испытания. Максимальное напряжение, при котором образец выдерживает заданную базу испытания, называют пределом усталости или пределом выносливости. При напряжениях, не превосходящих р', образец не разрушается при практически бесконечном числе циклов. Следует подчеркнуть, что для одного и того же материала сопротивление усталости зависят от типа напряженного состояния (растяжение, кручение, изгиб и т.
д.) и от характера изменения напряжений во времени, т. е. от вида цикла я частоты колебаний. Кроме того, сопротивление усталости зависит от температуры (особенно для полимерных материалов), от свойств внешней среды, в частности влажности воздуха, а также от размеров образца и наличия в нем различных концентраторов напряжений, например надрезов. Удовлетворительная теория усталости в настоящее время еще не создана. » 2. Остаточиые деформации. Поверхность аагружевия 421 2 2. Остаточные деформации. Поверхность нагружения Наряду с начальным и деформированным состояниями среды, которые в действительности могут отвечать, вообще говоря, некоторым моментам времени»е и г, рассмотрим мысленно третье состояние — то, которое получается из данного деформированного, отвечающего моменту времени 8, если снять все внутренние напряжения.
Отмеченные три состояния можно рассматривать как непрерывные многообразия, в которых индивидуальные точки определены одними и теми же лагранжевыми координатами $', З», З», Обозначим векторы базисов лагранжевой системы координат з', з», $» в этих трех состояниях среды через На рис. 147 показанысостояния, обозначаемые индексами «о», «-» и «*» для случая одноосного растяжения образца. Для произвольного состояния конечным образом деформированной упруго-пластической среды можно определить понятия упругих и пластических деформаций и ввести следующие три пары тенаоров деформаций: 1) тензоры пластических деформаций с» = ерэ'э' и ф р » = е рэ»э~ с компонентами Текзоры пластических, уяругкх в полных деформаций 2 (2Л) 2) тензоры упругих деформаций Р= ейэ'э» и й"= е;»э»э» с компонентами 1 с= 2 (а»» — ап); (2.2) и э; (с», Ь», $», Г), а компоненты метрических тензоров — через аы =- э; эи ды =- э э» и яы — — э; э» соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
