Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 83
Текст из файла (страница 83)
е. от процесса наеррлеения. Существуют модели пластических тел, в Поверхности иагрумсмии которых поверхности натруженна имеют и углевыии тачками острые ребра, угловые или конические точки. ~а возможность и даже необходимость использования такого рода моделей укааывают некоторые опытные данные. Одна такая модель рассмотрена в $4. 1 3. Освоение соотношеввя а теории пластических тел 437 В регулярных точках поверхности нагружения с единственной нормалью согласно ассоциированному закону направление приращения остаточных деформаций определено единственным образом. В угловых точках поверхности нагружения в согласии с принципом (3.8) или (3.9) направление вектора Нес может меняться внутри некоторого угла (рис.
15О, 6). А ь ас(; Еп й) йпйерхнхноь нпергхеехх е уеопаай пиннпа йеьг- йнуогрп уееп АЖй о) /лпбяпв ппаерххьоягь нперунеенпя '; 1л Рвс. 150. Возможные положения вектора йег'; или (» ( О. г) См. %. Т. К о!» е г, 3»гевв-а»г»1п г»1»»1опе, пп1опеясае апд чапа»1опа1»Ь»огеша 1ог »1а»»1с-р1»е»1с ша»ег1»1» иМЬ а е!пап1»г О»14 ап»1»се, Опас». Арр1. Ма»Ь., ч. Х1, еа 3, 1953, р.
350 — 354. Обобщение ассоциированного закона па случай поверхности нагружения с угловой точкой предложено Койтером ') в 1953 г. В настоящее время зта теория является основой для всех работ, посвящепных исследованию пластичности с поверхностями нагруьгсения, имеющими угловые точки. Основные положения теории Койтера согласуются с принципом минимума работы истинных напряжений на пластических деформациях, выраженным неравенством (3.9).
Рассмотрим особые точки е.р как точки пересечения некоторого количества регулярных поверхностей с уравнениями вида /»(р", еьоп Т, )(„ р ) = О. (3.13) Число этих поверхностей может быть любым. Иногда поверхность нагружения можно рассматривать как огибающую множества (3.13), содержащего бесконечное количество поверхностей 1». Функции 1» определены так, что смещениям в упругую область соответствуют неравенства: «»=О н Ы'7»= 3Т ЫТ+ — "г(р"ь(О (ЗЛ4) др 1'л. Х. 7еоряя пластичности Процессу пластического нагружения в случае идеально- пластического тела, когДа фУнкЦии 7а не зависЯт от аРгУментов зй и )(„соответствуют условия 1У„= ГУ„= О; Нт„= <ГАВ„--. 0 нлн 7',с О, =-О, 7', = О, (3.15) где индексы со и т различны и в совокупности исчерпывают вес значения индексов й.
Процессу активного пластического нагружения в случае пластического тела с упрочнением соответствуют условия =О, И1„= О, сГ~ ')О; у, = О, с)7'„=Н'~„=0 или ~,~0. ~ дзя = ~ИՄ— ц при нагружеяии, т. е. при услод„ виях (3,15) илп (3.16), при ~л = 0 31к(0 и при /,(О для всех Ь, (ЗЛ7) е(епя = 0 где дЛ вЂ” положительные величины. Для пластического тела с упрочнением для множителей сР,„согласно (ЗЛ6) и (ЗЛ7) можно написать сВ„= Ь„сЦ, (ЗЛ8) где Ь вЂ” положительные функции определяющих параметров частицы.
Функции Ь„аналогичны функции Ь, фигурирующей Если сс принимает несколько значений из совокупности индексов Ь, то во время бесконечно малого элемента пути нагружения компоненты тензора напряжений продолжают соответствовать особым точкам поверхности нагружения.
Если ю = 7, где 1 — единственный фиксированный индекс, то во время бесконечно малого пути нагружения происходит переход нз особой точки в регулярную точку поверхности Хр. Если индексы «т принимают все значения из совокупности индексов /с, то такой процесс нагруткения называется полным. Обобщение ассоциированного закона (3.10) на случай наличия угловых точек иагружевии с угловыми на поверхности Хр дается равенствами: точками $3. Основные соотпошення з теории пластвчсскнх тел 439 в формуле (3.11). Задание функций я„входит в определение модели пластического тела ').
В случае бесконечной системы функций (ЗЛЗ) сумма в (ЗЛ7) может быть заменена интегралом, в котором области интегрирования определены условиями (3.15) или (ЗЛ6). Дополнительные условия для определения параметров в теориях пластичности с упрочнением в тех случаях, когда Х р имеет угловые точки, могут иметь вид (ЗЛ9) или ~1)(е 33з <)за э где А,„или 33,' — известные функции определяющих параметров, задание которых, как и задание функций 7а и й„, входит в определение модели пластического тела с упрочнением.
Для пластических материалов с упрочнением первые формулы (3.17) с учетом (3.18) можно записать в ниде (3.20) При заданной системе индексов а, определяемой приращениями компонент тензора напряжений рн и температуры, формулы (3.20) дают линейную связь между с(е; и Ир'1 и г)Т. В пространстве напряжений вблизи особой точки Х можно, очевидно, указать различные области изменения г)рп и НХ, в каждой из которых система индексов го различна.
Поэтому линейные связи (3.20) в этих рааличных областях различны. Следовательно, соотношения (3.20), по существу, являются нелинейными. Исследование такого рода нелинейных эффектов в угловых точках Хр проведено Сандерсом з). Хедж исследовал случаи, когда поверхности Хр,, определенные уравнениями Д~ — — О, являются плоскостями. В этом случае можно найти конечную ') Очевидно, что для геометрически-(физически) определенной поверхности нагруження з пространстве напряжений условие/ = 0 можно зводнтьс навестным произволом.
Если положить 1 АГА)еяучесть, что 1„= 0 прн пластнческом деформнрозакнн, то прядем к формулам (3.20), а которых / надо ааменнть череа Г' н положить 5„= 1. Аналогичное замечание, в частности, применимо к формуле (3.11). ') Т. Ь. Я а и 4 е г з, Р1аз(1с зстезз-зсга(п те1апопз Ьазей оп 11пеаг 1оа4(пд 1ппсыопз, Ртас.
о1 зесопй Б.Я, (Чаыапа1 Сопзтезз о1 Арр1. МесЬ., 1954, р. 455 — 460. 440 Гл. Х, Теория пластичности Т дя = Наго+ г(д', йд' «О, (3.22) г(я == г(,я + дгя, Ыгя в О. или г) В. В и й г а п я к у, А геаяяеяягоевя о1 Йе1огшяыоп 1Ьеогу о1 р1аямсйу, Тгаля, АБМЕ, Яег1ея Б, Тонга. о1 Арр!. Моей., ю 26, .% 1 — 2, 959, р. 259 — 264.
связь между напряжениями и остаточными деформациями, одинаковую для некоторых классов путей нагружения. В общем случае зависимость функций Ь и 1 от параметров, определяюгцих путь нагружения, может быть весьма сложпой, и поверхность 2'р может сильно изменяться при пластическом деформировании. Однако в случае активного процесса нагружения, отвечающего изолированной угловой точке (без промежуточных разгрузок), важны только локальные свойства поверхпости нагружения в этой особой точке, поэтому можно развивать теорию пластического деформирования с упрочнением с помощью формул (3.20), в которых функции Г„являются линейными функциями рг1.
Несмотря на эффекты нелинейности и весьма сложную ситуацию при путях пагружения общего вида, в теориях пластических тел с угловой точкой на Хл возникают значительные упрощения для некоторого множества путей нагружения, полностью принадлежащих области полного нагружения. В частности, Будянским '), было показано, что для некоторой совокупности путей полного нагружения можно рассматривать конечные соотношения между напряжениями и деформациями.
Рассмотренные выше общие идеи построения моделей пластических тел были развиты в основном в последние полтора десятилетия. Экспериментальные исследования введенных функций тюка немногочисленны. Рассмотрим теперь термодинамические соУравненне притока отношения в теории пластичности. Эти тепла н второй аакон соотношения необходимы для замыкапия термодннамнкн системы механических уравнении в случае, когда важны эффекты иаменения температуры в процессах деформирования тела. Поэтому модель пластического тела нельзя считать полностью построенной, если не определены термодинамические функции и не написаны термодинамические уравнения.
Уравнение притока тепла и уравнение второго закона термодинамики с учетом необратимости процесса пластического деформирования можно записать в виде (см. Я 2, 5, 6 гл. Ч т. 1) г(Р = 1 рог)ем — Ы (яТ) + г(д'г + дд", (3.21) 1 д. Основные соотвошеявя в теорвв властвческих тел 441 1~" = О, г" = г" (д;;, с1Ь ем, Т), сц = сц + зя, дубам = — — 6!чдЫ1, Р Ыд' = — т" оеге >О, Р (3.23) где д — вектор потока тепла, тм — компоненты некоторого тензора, который характеризует диссипацию энергии. На основании (3.23) уравнения (3.21) и (3.22) можно переписать в виде (3.24) 41т д ти роз= пг+ — Иа~. Т Т (3.25) Равенство (3.24) выполняется как в упругой, так и в пластической области.
В соответствии с рассмотренным вы|не определением моделей пластических тел от всякого пластического состояния можно провести упругий процесс разгрузки, поэтому напряжения в частице в пластическом состоянии, примыкающем к упругому процессу разгрузки, можно определить с помощью уравнения состояния теории упругости. Пользуясь этим, с помощью рассмотрения упругих процессов разгрузки, когда азам = О, получим, что из равенства (3.24) следуют соотношения (2.9) и (2.10) гл. 1Х для упругой модели.
В связи с этим примем, что в упругой области и в пластической области имеют место соотношения дР Р'=Р де '„. дг и 3 — — -Гт (3.26) Напомним, что здесь г — удельная свободная энергия, г — удельная энтропия, Ифм — задаваемый отдельно внешний приток тепла, Ид' — некомпенсированное тепло, Ыд** — соответствующий приток энергии к единице массы (см. 4 2 и 4 7 гл. Ч т. 1). Дальнейшее конструирование модели плаОсяоввые допущеввя стического тела всегда связано с рядом я вытекающие ва ввх рмелввамв аве~ дополнительных допущений. Ниже в качестве основных допущений примем следующие: рл. Х.
1еории пластичности 442 Для процесса пластического деформирования равенство (3.24) на основании (3.26) приобретает вид (;, др рц ,Н т — — — + — ~ е)сии = О. де "я Р Р (3,27) В этом равенстве, вообще говоря, нельзя считать ое'; независимыми. В самом деле, если, например, принимается ассоциированный закон, то шесть приращений Ыеен выражаются через одно из них. Несмотря на это, для наших целей всегда можно считать выполненными равенства хи= рр-Р—,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
