Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 84
Текст из файла (страница 84)
аг дени (3.28) Действительно, положим Р Р и ~" т1' дд н дем Тогда из (3.27) следует, что всегда т,осин=О, я В атом случае пластическое деформирование может привести к изменению величины свободной энергии материала за счет изменения его структуры, что в известной степени аналогично изменению свободной энергии при химических реакциях. Можно рассматривать среды, для которых свободная энергия не аависит от ~$, и' = и" (ей, Т) и (3.29) Такие среды можно назвать средами без «памяти» о пластических деформациях; все термодинамические функции (Р, з, (У, Ч') и законы упругости (в частности, например, модуль Юнга) т.
е. добавки т не влияют на величину диссипации Нд'. Поэтому компоненты тензора тч, введенные специально и только для определения Ид', можно вычислять по формулам (3.28). Формулы (3.28) показывают, что если свободяая энергия и" зависит от пластических деформаций, то $3. Основные соотношения в теории пластических тел 4«3 Величина и = а + пэ определяет собой скорость производства энтропии за счет внутренних необратимых процессов, связанных с наличием градиента температуры, д бгад Т (3.34 ) и с пластическим деформированием, э'«1' сн = —.
бг М э Т т ео' (3.32) Кслн воспользоваться законом Фурье для вектора «г = д1э' —, = — хи —., «» (З.ЗЗ) Т дхд то величина пг определяется в виде квадратичной формы от д Т/дх'. б =хд —. дТ дТ 1— дхг дхг' В этом случае закон Фурье (связь компонент вектора потока тепла с компонептами вектора градиента температуры) может быть записан в виде ««1 дог Т=я ~дТ~ (3.34) В случае теплопроводности формулы (3.33) вместе с (3.34) представляют собой просто иную формулировку принципа Онзагера (см.
т. 4, стр. 264 — 265). При рассмотрении произвольных необратимых процессов иногда мок«но обобщить равенства (3.34) и принимать, что если скорость диссипацин о представляется в виде суммы произведений «сил» Х, н «потоков» хг б= Хх« Обобщение принципа Онаагера иа нелинейные связи в них не зависят от величины накопленных пластических деформаций. Однако можно вводить модели пластических тел с «памятью», когда Р = г" (ег;, Т, е$и у ). В этом случае на основании (3.28) существенно неравенство тб ЧЬ р'г. Расс»готрим теперь подробнее уравнение энтропии УРааненве ллЯ пвовэаолства второго закона термодинамики.
По определению примем, что о асад Т ти осп о — ' = — йт —, р — ', = — — — + — —" = б. (3.30) г»г Т ' Ыг Т' Т дг 444 Гл. Х. Теория пластичности причем «силы» Х; являются некоторыми нелинейными функ- циями от опредечяюьцих параметров и «потоков» х«, то эти функции могут быть представлены в виде Х« =м дха (3.35) В общем случае о не является квадратичной формой х', причем величины и и и могут зависеть не только от переменных х', но н от некоторых других определяющих параметров у,.
В общем случае из предыдущих формул следует, что между о н и имеется связь: дх Х,х' = м —, х' = о. Эх' (3.36) ') Разъяснение постулируемого равенства (3.35) с помощью других еквивалеатных постулатов, которым можно придать геометрическое толкование илн которые можно рассматривать кан своего рода физические условия, накладываемые на силы Х, для обеспечении экстремума о в действительных процессах, и подробное описание атих постулатов можно найти в книге Г. Циглера «Экстремальные принципы термодинамики необратимых процессов н механииа сплошной среды», пер.
с англ., Изд-во «Мир», 4966. Соотпошение (3.36) определяет м, если о задано. Если задано и, то равенство (3.36) можно рассматривать как уравнение с частными производными первого порядка для функции О(У«х). Если м = сопзб или и .=- 1 (Х,), то нз уравнения (3.36) с учетом формулы Эйлера длн однородных функций непосредственно следует, что величина а является однородной функцией переменных х» порядка 1/и. Предположение (3.35) можно обосновать принципами, которые по своейприроде аналогичны принципу(3,8), положенному в основу вывода ассоциированного закона '). Ниже мы применим формулы (3.35) для установления связи мен«ду тн и е)г Рассмотрим величину о» в случае, когда Им«ислен»ш о» с помощью имеет место ассоциированпый закон (3.10) или (3.11).
Для простоты ограничимся случаем гладких поверхностей нагружения. Дальше под р«' и еу» можно подразумевать обычные компоненты соответствующих тензоров нли тслько компоненты их девиаторов. Нетрудно видеть, что ассоциированный закон, выражающий собой условие совпадения направления вектора е»в) с направлением нормали к поверхности нагружения / = 0 в соответствующем многомерном пространстве, моясет быть записан $ 3. Основные соотношения в теории пластических тел 445 (3.37) так как мы рассматриваем процесс пластического нагружения. Поэтому с помощью ассоциированного закона и уравнения поверхности нагружепия можно„вообще говоря, вычислить ') дл дог дсгя се г еб Т ер, Т,Х,. Например, если функция нагружения определена формулой = — Роры — С (еб, Т, Х,) как функцию от е),', Функция диссвпации для модели пластической среды по Миаесу е) и тч = Р'), то с помощью ассоциированного закона и условия 1 = О получим О ер ' Р =С(еп,Т,Х) у' е~.' е"' е! (3.33) Т ') Кслиед — девиаториые компоиевты, то написанная формула для ем— о, сохраняет силу ири условии, что пластические деформации происходят беа иаменевия объема.
') Модель пластического тела с такой функцией натруженна раг смотрева е т 4. в виде следующего равенства в единичных векторах: д/ др'"" др „, Для коэффициента Ю/о) пропорциональности между е() и д//дрм можно написать формулу дл — / дс д/ дро У д„ др ее1 Соотношений (3.37) недостаточно, чтобы определить ег) в Функции р'), сев), Т и Х, (они определяют в пространстве р ) лишь направление вектора е))). Однако ими можно пользоваться для вычисления рй через е,"), с,";, Т, Х„если учитывать, что ком- поненты рй должны еще дополнительно удовлетворять условию /(р 1, е,"), Т, Х,) =,'О, Гл. Х. 'Георкя пластичности Пластвческое деформвро ванне как равновесный кеобратвный процесс Существовакве функций кагружеяпя к ассоцявро ванного закова зс ен — = ог ан (3.39) и имеют место равенства (3.40) У дгР н Покажем, что из этих предположений следует существование й независимых функций нагружения г (тг', егг Т Х )1 ы = 1, 2, ..., й:.
=1, таких, что при процессе пластического деформирования выполняются равенства /„ = О, со = 1, 2, ..., к, (3.41) и, кроме этого, имеет место ассоциированный закон для компонент тензора скоростей пластических деформаций вргг, представляющийся формулами вида Р =,'Я ),„ (3.42) дт' ') В некоторых книгах ножка прочесть утверждение, что процессы, проксходящяе бесконечно медленно, обретены. Очевкдяо, что в общем случае такое утверягйекке неверно. Существенным обстоятельством в развитых теориях пластичности является то, что пг получается однородной функцией первого порядка относительно скоростей пластических деформаций в системе переменныхвггь еггь Т, у,.
Поэтому приращение энтропии за счет необратимости процесса пластического деформирования Игвк„„,оказывается не зависящим от скорости деформирования. Вообще прн построении моделей пластических тел во многих случаях в качестве основной посылки принимается, что в процессе пластического деформирования приращения энтропии, внутренней энергии, напряжений связаны только с прираигениями пластических деформаций и не зависят от скоростей, с которымн осуществляются эти приращения. В связи с этим подчеркнем специально, что проуесс пласпшческого дегбормирования можно рассматривать как необратимый проггвсс, происходяи(ий сколь угодно медленно, и, следовательно, как необратимый проггвсс, составленный из пес.гвдоватвльноспги равновесных состояний г).
Пусть о, — заданная функция от вгг, еггн Т и т,„причем о = тггвггг~Т, Предположим, что ов — однородная функция первой степени от в,"; 1 3. сдеиовиые соотиошеиия з теории пластических тел 44т где Х вЂ” некоторые множители, которые связаны с неоднозначностью вида функций ~ и должны быть дополнительпо определены с учетом условия пе ~ О н равенств (3.41). Формулы (3.42) аналогичны и фактически совпадают с формулами (3.20) (при т'-~ = рп). Доказательство утверждений, содерлсащихся в соотношениях (3.41) н (3.42), проведем в более удобных и общих обозначениях. Пусть о (х;, у.,) — некоторая однородная функция первой степени от системы переменных х', х', ..., х" и, кроме этого, может зависстьпроизвольнымобразом от некоторых параметров которые в нилсеследующих математических рассуждениях рассматриваются как постоянные.
В реальных процессах эти параметры могут изменяться. К числу таких параметров можно отнести температуру„ параметры упрочнения и другие физические величины. В связи с функцией и определим комгюненты Х; обобщенных сил по формулам (3. 43) Х;= —, (с=1,2,...,и), где частные производные до/дхс взяты при постоянных которые далыпе пе будем указывать в числе аргументов.
Легко убедиться, что, если о (хс) — однородная функция пе вой степени то и нксий Р фу Х, (х', х',..., х"), 1 = 1, 2,..., и, пе являются независимыми функциями. В самом деле, покажем, что якобиан обращается в нуль. В силу однородности функции о (х', х', ..., х") имеем систему соотношений д'о —.х'=О (1=1,2,...,и), (3.44) деС деС которая удовлетворяется при любых значениях переменных х'. Эти соотношения для каясдой системы значений х' можно рассматривать как линейные уравнения относительно х' с коэффициентами дел/дхсдх', определенными этими значениями хс Поэтому детерминант, составленный из этих коэффициентов для всевозможных значений х', не всех одновременно равных нулю, обязательно обращается в нуль. Гл.
Х. Теория пластичности Пусть для некоторой и-мерной области У значений х' ранг матрицы ') равен и — й, где и) )с в 1. В этом случае среди и функций Х; (х') в области Ю имеется ровно и — )с независимых функций, и, следовательно, в этом случае имеется Й независимых соотношений вида 7„(Х„Х„.. „Х„) = О, в=1, 2,..., Ус~1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
