Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Ниже ради простоты рассмотрим задачу о кручении стержня одно- связного поперечного сечения. Рассмотрим теперь условия пластичности, которым может удовлетворять материал стержня. В силу сделанного предположения (5.2) сУмма Р,; +Р,з' ЯвлЯетсЯ квадРатом величины полного касательного напряжения на поперечных сечениях стержня — площадках с нормалью, параллельной оси г. По условию идеальной пластичности примем, что материал стержня находится в упругом состоянии, если Рзз +Рзз ( йз~ 1 5.
Кручение упруго-пластического стержня 465 образом: Рг — Рз рз глаз 2 (5.7) где й — заданная постоянная, равная максимально допустимому касательному напряжению. Главные компоненты тензора напряжений явлнются корнями векового уравнения р„ рм Ргз Рсз )" )з (оз +рз)й — О (5.8) Отсюда, так как р, ) р, ) рз, р,= з'р*, р*,, р,=с, р,= — Г,;. ~.я д.з~ Следовательно, в данной задаче условие Треска имеет вид (5ЛО) и совпадает по форме с условием пластичности (5.6).
Рассмотрим теперь условие пластичности Мизеса (ри = ~~ ~ ) ~р,, ~~ ~,.) = 6 Ц. (5.11) Так как в нашей задаче йе =- О, то это условие приобретает вид рнрз.=2(р' +рз) = — й' 8 т. е. и в этом случае получилось условие вида (5.6). Можно рассмотреть данную аадачу о кручении для стержней из различных материалов, для стержня из материала, моделирующегося условием Треска, для стержня, моделирующегося условием Мизеса, и для стержня из изотропного материала, моделирующегося еще другим условием пластичности. Очевидно, что для изотропного идеально-пластического тела любое условие пластичности, имеющее в этом случае вид 1(1,, 1. 1.) = О, (5Л2) в этой задаче сведется к равенству 1, = р„' + р„' = совзс, так как при кручении 1 =- 1з = О.
Таким образом, в задаче о кручении условие пластичности Треска (5.10), условие Мизеса (5Л1) и условие пластичности общего вида (5Л2) для изотронного материала в выбранной для 466 Гл. Х. Теория пластичности решения системе координат имеют одинаковую форму: Рка + Рах = соккч1 Для материала, подчиняющегося условию пластичности Треска, сопзк = йа = рт х ахах' а для материала, подчиняющегося условию пластичности Мизеса, 4, 3 а связь = —,— йх = — ра 3 1 2 х охт,шах' В рассматриваемой задаче для одного и тогожестержня всег- да имеет место равенство х 3 3 Р-. охххп1ах Рх а~ах' (5.13) Для стержня, подчиняющегося условию пластичности Треска, задаетсЯ Рамах, длл дРУгого стеРжнЯ, подчинЯюЩегосЯ Условию пластичности Мизеса, задается р„„, „,„,. В рассматриваемой частной задаче условия Мизеса и Треска для разных стержней совпадают при наличии равенства (5.13), равносильного равенству Р = х/айка ккелкду задаваемыми в разных моделях характернымн физическими постоянными.
Для решения задачи в случае, когда весь Система ураляеиий материал стержня находится в пластидля решения задачи в пластической области ческом состоянии, имеем формулы (5.4), условие пластичности (5.6) и граничное условие (5.5). Эти условия позволяют определить компоненты р„и р,х в пластической области независимо от определения пластических деформаций. Рассматриваемая задача, так ххе как и задачи о плоском напряженном и плоском деформированном состояниях (см.
3 4), представляет собой пример статически определимой пластической задачи. При наличии равенства (5.13) л1ежду постоянными в условиях пластичности поверхности нагружения Треска и Мизеса касаются в точке, отвечающей репкению рассматриваемой задачи (см. рис. 153, б), позтомунетолько напряженное, но и деформированное состояние стержня при использовании ассоциированного закона будет одним и тем же, как в том случае, когда материал скручиваемого стержня описывается условием пластичности Треска, так и в том случае, когда материалстеряхня подчиняется условию пластичности Мизеса. 1 5. Кручение упруго-пластического стержня 567 Поетано вка задачи об определенен напряжен- ного состояния в плаетя- ческой области через функцию напряженвй Для решения задачи об определении напряженного состояния стержня, когда материал стержня находится в пластическом состоянии, с помощью условия пластичности (5.6) получим уравнефункции напряжения Я (х, у).
Это урав- ние для определения пение имеет вид / дЯ )- '/ дя' ~з — ) +~ — 1 =рт =сопзь Зх) ~ Зу ( тжах= или (5.14) )угад х )х = р', а„= оопп. Уравнение (5.14) и граничное условие (5.5) полностью определяют функцию напряжений для стержня с данным односвязным поперечным сечением, когда материал всего стержня находится в пластическом состоянии. В самом деле, для определения функции напряжений в этом случае необходимо найти такую поверхность х=7(х, у), опирающуюся на контур С, для которой Поверхность равного ската как решенне задачн об определевнн Я (х, у) в пластической области ! етая ~~ )з = ( — 1.
= (йт ')) = сопзь, ( дл! где и — направление нормали к линиям равного уровня х =- сопзФ на плоскости ху, а )) — угол между касательной плоскостью к поверхности х =. у (х, у) и плоскостью ху (рис. 155). мзи Рнс. (55. Ливии равного уровня поверхности х =Я'(х, у) в проекции наплоскость ху н поверхность равного ската х = Я'(х, у). Отсюда ясно, что искомая поверхность х = 9 (х, у) является поверхностью с постоянным углом ската )) = сопз$, которую можно построить на контуре поперечного сеченияС. Гл. Х.
Теория пластвчвостк Песчаная акалогвк Д ля построения такой поверхности мож- но воспользоваться песчаной аналогией. Эта аналогия основана на том, что внешняя поверхность кучи тяжелой сыпучей среды (песка) с сухимтрением мелгду частицами, насыпанной на горизонтальную площадку, ограниченную контуром С, и находящейся в предельном равновесии, представляет собой поверхность с постоянным углом ската, равным углу трения. Таким образом, функцию напряжений лУ (х, у) можно экспериментально определить с помощью опытов с сыпучими средами. Решения, отвечающие различным значениям Гй'р (коэффициентам трения), отличаются только масиггабным мнолителем для координаты х = ~~ (х, у). Значение постоянной Гд'~) можно рассматривать как величину, определяющую масштабы по оси к для поверхности х =- ~7 (х, у). Следует отметить, что в области пластиСвойства лвккй разкогэ ческого состояния проекции линий равуреэкк р (' у) = сопзь ного уровня ~к(х, у) = сопз1 на плоиа плоскости хр скость ху образуют в этой плоскости семейство кривых, равноотстоящих друг от друга, так как производная от функции нагружения по нормали к кривой К (х, у) = сопзг в плоскости ху, согласно (5.14), постоянна во всех точках атой кривой (рис.
156). Такого рода заключение можно сделать для гладких контуров С, в каждой точке которых вектор порог мали и. определен однозначно. Если Ю же контур С имеет угловые точки— входящие или выходящие углы, то гг.ииьг, ггг ~' г =мэй такой контур целесообразно рассмат- ривать как предел соответствующих ркс. $56. Вкд проекпкй гладких контуров С;. В пределе полвккй разкого уровня верхности х= х~ (х, у) вблизи углог=э'(* р) = соэк~ "я экос вых точек контура С может иметь кость гзг ребра, на которых касательные плоскости при подходе с разных сторон имеют разные направления, подобно пирамиде с основанием в виде прямолинейного многоугольника.
Эти свойства решений хорошо иллюстрировать опытным путем на задачах о равновесии песка. При этом необходимо иметь в виду, что при решении задачи о кручении упруго-пластического стержня в сечении стержня получаются, вообще говоря, упругая и пластическая области. Ниже будет показано, что вблизи выступающих угловых точек контура С всегда получается упругая область. 1 5. Кручение упруго-пластического стержня 469 Из формул (5.4), верных как в пластической, так и в упругой областях, сразу следует, что в плоскости ху два вектора Уз = Ргзй+ Рззу Определевие компонент тевзора иапряжеивй дЯ .
дЯ' пгаб ~7 - — з -'- — ' у дх ' дд дзЯ дзЯ' — + — = — 2кр дхз дуз = (5.15) взаимно перпендикулярны. Отсюда ясно, что вектор 17„, параллельный плоскости ху, направлен по касательной к линиям равного уровня д (х, у) = = сопз1 в плоскости хр. Кроме того, в пластической области вектоР 1зз имеет постоЯпнУю величинУ, РавпУю Рпа„. Очевидно, что направление вектора р- определяется направлением внешнего закручивающего момента М. Таким образом, компоненты р„и р,з всегда можно определить в пластической ооласти, если известна поверхность з = д' (х, у). Рассмотрим теперь задачу об опреПостановка смовзаввой делении напряженного состояния стержупруго-пластической ня в том случае, когда величина скрузадачи чивающего момента Лт такова, что часть материала стержня ведет себя, как упругое тело.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
