Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Границу упругой области в поперечном сечении стержня обозначим через У (рис. 157). Вид кривой М необходимо определить из решения задачи. В общем случае упругая область может состоять из не- д .=ызи скольких раздельных частей и содержать некоторые участки граничного контура С. В пластической области для напряжений будет справедливоизложенное выше решение, которое не зависит от вида упругого ядра Рис. 157. Поперечное сече- если упругая область ле включает в ике скручиваемого стержня с упругим ядром внутри себя точек контура С.
Функция нап и ливиямк равного уровня ряжений ЯУ (х, у) в пластической об- Я = совзп ласти удовлетворяет уравнению (5.14) и граничному условию ~~ = О па С. Для расчета напряжений и перемещений внутри упругой области воспользуемся результатами исследования задачи о кручении упругого стержня, рассмотренной в $7 гл. 1Х. Внутри упругой области функция напряжений у (х, р), введенная по формулам (5.4), должна удовлетворять уравнению Пуас- сона Гл. Х. Теория пластичности где и — угол закрутки стержня, а р — козффициент Ламе материала стержня (см. (7.23) и (7.25) гл.
1Х). Из непрерывности распределения компонент напряжений р,з и р„в стержне следует, что на границе л", между упругой и пластической областями должны выполняться равенства дЯ' дЯ" дЯ' дЯ'в (5 16) дл дх ' ду ду где через Я "' и КУ обозначены функции напряжений в упругой и пластической областях соответственно. Из (5.16) вытекает, что ка границе Ж должно выполняться равенство ~~' = ~7у + сопзс, или, так как постоянная для определения функции напряжений в упругой области несущостзепна, па границе К значения функций напряжений Я' и Бу можно считать совпадающими, на з! (5.17) Таким образом, определение напряженного состояния в скручиваемом упруго-пластическом стержне для данного угла закручивания упругого ядра к сводится к следующей математической задаче: требуется найти функцию 9' (х, у), которая обращается в нуль па контуре С и непрерывна со своими первыми производными всюду внутри С, причем (дгад~7( .Йв; там, где ~ аргайл ~ ( Йе, фУнкциЯ д' (х, У) должна УдовлетвоРЯть уравнению Пуассона (5.15).
Решение поставленной задачи действительно соответствует кручению стержня под действием только внешнего момента М, так как главный вектор В сил, действующих в поперечном сечении стержня В, равен нулю. В самом деле, имеем Главный вектор енл, врнложенвык на торцах, равен нулю Г гдЯ. дЯ +)е ) ~ д д ,~~ ду дх = ') л (соз (гз, у) г — соз (гь, х) т'1 пг = О с дЯ', дЯ 1 М=~(хРез' УРгз)ос= ~~~ д +У д дх ' ду/ в силу граничного условия У = О на контуре С.
~рору~ лвя вюу~~ ую~ь Рассмотрим величину крутящего мокрутящего момента мента М. Согласно формулам (5.4) имеем 1 5. Кручение упруго-пластического стержня 474 Так как дэ, дЯ' дЯ'л дЯ'у — х —,'- — р = — -~- — ' — 2л, дс ' ду дс ду то М = — ~ У (х соэ (и, л) -,'- у соэ (тс, р) ) 8г + 2 ~ э' дт. с Е В случае односвязного поперечного сечения г' по условию у = О на контуре С, и получается окончательная формула, аналогичная формуле (7.28) гл. 1Х: (5 18) Эта формула показывает, что величину М можно истолковать как двойной объем, ограниченный поверхностью г = Я'(х, у), опирающейся на плоскую площадку поперечного сечения стержня Х в плоскости х = О. Поставленная смешанная упруго-пластическая задача об определении напряженного состояния скручиваемого стержня — сложная математическая задача.
Аналитическое решение этой задачи получено только для стержней, имеющих некоторые простые формы поперечных сечений. В частности, легко решается задача в случае стержня круглого поперечного сечения (см. ниже стр. 479). В общем случае задача допускает экреюеннн смеюаин~й спериментальное решение с помощью песеадачн с помощью песчано-мембранной аналогии.
Деиствичено-мем ранней аналогии тельно, в упругой области задача об определении функции напряжений допускает аналогию с задачей об определении прогиба мембраны с постоянным натяжением Т, возникающего под действием равномерно Распределенной по ее поверхности нагрузки интенсивности д, когда Т и 7 вообще подобраны так, что 2рн =— Ч уь и мембрана защемлена по контуру С, совпадающему с контуром поперечного сечения стержня (см. э 7 гл. 1Х). В пластической области рассматриваемая задача допускает песчаную аналогию.
Поэтому для решения упруго-пластической задачи можно провести следующий опыт, указанный А. Надаи (рис. 158). На горизонтально положенный кусок картона, форма которого совпадает с поперечным сечением скручиваемого стержня, 472 Гл. Х. Теория пластичности насыпается сыпучая среда так, чтобы образовалась поверхность с постоянным углом ската.
Эту поверхность сыпучей среды можно зафиксировать с помощью жесткой крыши из какого-либо прозрачного материала. Основание этой крыши затягивается мембраной, внешняя сторона которой подвергается действию равномерно распределеппого давления. При некотором значении давлеиия мебрапа начнет касаться крыши, а затем с ростом давления все больг и шая и большая часть мембраны будет прикасаться и фиксироваться па Б крыше. Свободная часть мембраны и часть мембраны, прикаса|ощаяся к крыше, образуют поверхность, соответствующую функции напряжений ~~ (л, у) частично пластического стержпя.
Граница между упругой и пластической областью в плоскости поперечного сечения ху стержня представится проекцией па плоскость ху линии г, лежащей па жесткой крыше и отделяющей часть мембраиы, пе прилегающую к жесткой крыше. Величина соответствующего крутящего момента, согласно формуле (5.18), с точпостшо до масштабного множителя равняется удвоенному объему пространства между горизонтальной плоскостью лу и экспериментально полученной поверхностью функции напряжений у (х, у).
Ыожпо отметить два характерных значения величины М крутящего момента, а именно: п р е д е л ь ~ о е значение момента, когда мембрана впервые касается крыши в некоторой точке, Мирил, соответствующее началу перехода материала в пластическое состояпие, и к р и т и ч е с к о е значение момента Мию когда вся мембрана приляжет к поверхпости равного ската и материал всего стержпя окажется в пластическом состоянии. С помощью песчано-мембранной аналогии, в частности, можно усмотреть, что при любом конечном угле закрутки и в окрестности выступающих углов (рис.
159) контура С всегда будет оставаться часть упругой области. Действительно, при конечном значении распределенной по поверхности мембраны нагрузки д мембрана будет огибать выступающие ребра крыши. Присутствие входящих углов (рис. 160) ка контуре С приведет, очевидно, к тому, что при сколь угодно малой нагрузке д (угле и) мембрана примкнет к входящему ребру поверхности х = Я (х, р), и в окрестности такого угла мгновенно возникнет пластическая область. Вблизи входящих углов в упругом ре- Рнс.
158. Поверхность а = Х (х, у) состоит пз части жесткой крыши (схематически АВ и СВ) и части мембраны В е С. Липця Я соответствует границе между упругой и пластической областямн. 4 5. Кручеюге уяруьо-иластического стсрькяя 473 шенин возникают большие (бесконечггые) напряжения. Появление пластической области обеспечивает ограниченность ,дпппярпхпдппп рьрпппп прппгпх йпимкахпрппп ргрьяпп прпхипь Ряс. 159. Поперечное сечевие стсрльвя с выступающая углом.
Рис. 160. Поперечное сечевзе стержяя с входящем углом. Оиределемие веремещеввй в упруго-иластмческом стсржвс е„= ест = еаа — — е,т = О, дХ (х, у) з,ры= 2, 1 1 дт (х, ч) Рю = — 9 ета = Ясно, что е,а и ееа в этом случае зависят только от х и д и не зависят от з. напряжений. При малых углах закрутки область пластических состояний будет вообще очень малой. Рассмотрим теперь вопрос о том, как найти перемещения, возникающие при кручении упруго-пластического стержня, если напряткенное состояние стержня определено путем решения рассмотренной выше задачи. При вычислении перемещений будем исходить из того, что первоначально свободный от напряжений и деформаций стержень подвергается действию возрастающих внешних нагрузок, сводящихся только к крутящему моменту, приложенному на его торцах, причем каждое промежуточное состояние является положением равновесия, и соответствующие напряжения можно рассчитать как результат соответствующей задачи о кручении для даннон промежуточной нагрузки.
Примем, кроме этого, еще, что возникающие в стержне полные — упругие и пластические — деформации малы. Рассмотрим некоторую произвольную точку Л поперечного сечения стержня. Коли эта точка лежит в упругой области, то коашоненты тензора деформаций в точке Л однозначно определяются напряжениями с помощью закона Гукз Гл. Х. Теория пластячностн 474 Компоненты вектора перемещений при этом определяются формулами Сон-Венана зпз = — игу, шз = игх, зпз = ~(х, у), (5Л9) где а — угол закрутки. В самом деле, легко показать, что всегда, когда еп = е„= езз =езз —— О, а езз е,з отличны от нуля и зависят только от х и у, перемещения определяются формулами Сен-Венана (5.19). В этом случае перемещения дол>ивы быть решениями следующих уравнений: дшз дзл диз ем — — — — — О, езз = —, — — О, езз =: = 0 (5.20) дх ' "- ду ' дз 1' дшз дшз ', ( — '+ — ''=о, ду дз ' дшз дшз ' (д +д.( / дшз дшз '~ дз + др 1 ем =— 2 (5.21) езз(х, у) = (5.22) 1 езз(х, у) =— 2 (5.23) где е,з (х, у) и езз (х, у) — известные функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
