Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Из (5.20) непосредственно вытекает, что шз = из (у, г), из = из (х, г), шз = шз (х, у). Из (5.21) при атом следует, что дшз доз — — = — =) (г) (5.24) где 1, (г) — произвольная функция г, или зпз — — — ~з (г) у + тз (г), шз = уз (г)х + уз (г), (5.25) (5.26) Отсюда видно, что уз, уз и )', должны быть равны нулю, т. е. (5.27) 1з = хг -з- С„ где и и Сз — произвольные постоянные. После этого из урав- нений (5.26) непосредственно вытекает, что )з и ~з также яв- ляются линейными функциями г: ~з = Сзг + Сз, ~з = Сзг + Сз, (5.28) где )з и 1з — произвольные функции г. Продифференцнровав (5.22) и (5.23) с учетом (5.25) по г, будем иметь — (,у + ), = О, 1,х + ), = О.
1 5. Кручение упруго-пластического стержня 475 где Сз, Сз, С„С, — произвольные постоянные. Для компонент вектора перемещений получаются следующие формулы: юд = — азу — Сду -~- Сзг -(- С„ юз = ахи —, Сдх + Сзз + Сз, юз = 1(х. У) — Сзу — Сзх + Ст, (5.29) где иа неизвестной пока функции7' (х, у) выделена специальная часть, линейно зависящая от х и у. Входящие в формулы (5.29) линейные относительно х, у и г члены являются общим репдением однородных уравнений (5.20) — (5.23) и характериауют перемещение стержня как абсолютно твердого (см.
5 3 гл. 1Х). Таким образом, с точностью до перемещений стержня как абсолютно твердого, перемещения в скручиваемом стержне иа упругого материала определяются формулами (5.19). Функция кручения 7'(х, у) определяется в упругой области непосредственным интегрированием уравнений — = ау+ — ', — = — ах д( рм д(, рдз (5.30) дл р ' дз ' р Если точка А лежит в пластической области, то деформации в этой точке складываются из упругих и пластических; для компонент текзора деформаций имеем е, р ем = ем + ея.
Если упругие свойства среды нс зависят от пластических деформаций, то упругие деформации в пластической области связаны с напряжениями теми же формулами, что и упругие деформации в упругой области, причем е (5.31) ее рзз зз Исключив параметр ддЛ, получим следующую связь между приращениями пластических деформаций и компонентами тепзора напряжений: деедз = сеезз. р рдз р ,рзз Пластические деформации в общем случае зависят от пути нагружения.
Если деформация стержня, в соответствии с указанным выпде, развилась под действием монотонно возраставдпего крутящего момента д7д, то Ые~дд с(е(~з = с)езз — — д7еддз = О, д(ей = 2рдз сдЛ леаз = 2рдз с(Л 476 Гл. Х. Теория пластичности Так как в каждой точке поперечного сечения стержня, принад- лежашей пластической области, р,з и р,в в процессе кручения стержня остаются постоянными, а деформации считаются ма- лыми, будем иметь с,в — — сзз —— сопзс, р рвз и рвз р рвв р свв — — звз = О.
р,в (5.32) Из (5.3в) и (5.32) вытекает, что и для полных деформаций в этом случае должно выполняться соотношение свз рп свв рвв (5.33) Система уравнений для определения перемещений в данном случае частично совпадает с уравнениями (5.20)— (5.2в) для упругих перемещений дхв ди:в Ди~в — = зп = 0 — — = евз = 0 — = сзз = 0 дх ' ду '"' ' дв 1 вдов див~ — ( — -;- — ) =св,=О, 2 ~ ду дх (5.34) а вместо(5.22) и (5.23), согласно (5.33), имеем только одно урав- нение двч дивв :.
+ дв дх рвз див див рзз :+ д дд (5.35) Здесь правая часть известна и зависит только от х и у. При наличии пластических деформаций компоненты вектора полного перемещения тп должны быть определены как решения уравнений (5.34), (5.35) с учетом непрерывного нарастания компонент тензора полных деформаций и условия совпадения перемещений с упругими в момент возникновения в данной частице максимального касательного напряжения. После достижения напряжения р,юз = 7с упругие деформации и уп- где р„и р„зависят только от х и у. Пластические деформации см н с,в одновременно были равны ну;по в тот момент, когда Р через рассматриваемую точку А проходила граница упругого ядра, поэтому постоянная интегрирования равна нулю, т.
е. 1 5. Кручение упруго-пласткческого стержкк 477 ругие перемещения фиксируются, при дальнейшем повышении закручивающего момента в данной точке происходит нарастание компонент тензора пластических деформаций, в соответствии с этим определяются компоненты вектора полных перемещений. Так же как и из уравнений (5,20) и (5.21), из уравнений (5.34), справедливых как в упругой, так и в пластической областях, следует, что ша —. Дз)У +Л (а) ада =7а(а)х +/а (в), иа — --7'(х, Р). Из решения задачи о напряжениях следует, что в каждом сечении при любом з имеется упругое ядро, внутри которого прн закреплении точек оси . имеют место формулы ша = — кар, и~а = кзх.
Так как в общем случае как в пластической, так и в упругой области фУнкции 7а (а), /а (г), 7а (г) могУт зависеть только от -, то отсюда ясно, что при непрерывном (начиная от нуля на границе с упругой областью) нарастании пластических перемещений в пластической области, так же как и в упругой, верны формулы уа(г) =аз, 7а(а) =/а(г) = О. Определение функции 7'(х, у) можно произвести с помощью уравнения (5.35), которое как в упругой, так и з пластической области с учетом формул для ша, иа и а е можно написать в виде г д! д ч7 Раа(д + (5.36) сов Т = сов (Рг, х) сов (та, Д), 91пу= сов(1т„р) = сов(ть,х) В данной точке при упругом состоянии компоненты ра, и р,а изменяются пропорционально углу закрутки са, или внешнему моменту ЛХ, после достижения пластического состояния значения р„ и р,а в фиксированной точке сохраняются неизменпьтми.
Уравнение (5.36) легко преобразовать так, чтобы в пластической области оно допускало простое геометрическое истолкование. Обозначим через у угол между вектором напряжения та, = р ай + Р,Д и осью х (рис. 161); тогда Раа = Ра сову Раа = Р вгп Т, Гл. Х, Теория пластичности и уравнение (5.38) можно представить в виде д — соз (и,, х) + д соз (ть, р) = и [рсоа (йтю р) + х соя(/тт~ х)[ д/ д/ или и/ — =кг — и (5.37) где г, — проекция вектора г = хг + уу на направление /т, в данной точке Л. Напряитение р, направлено по касательной Рис.
161. К истолкованию уравнения (5.36). к семейству линий / = сопМ, проекция г, постоянна для всех точек Л, лежащих в пластической области на одной общей нормали ') ть к семейству кривых х~ = сопз1. Позтому, интегрируя уравнение (5.37) вдоль данной нормали п от точки А „принадлежащей границе упругой области У, до рассматриваемой точки Л, получим / = хг,п+/', (5.38) где/" — значение/ (х, у) в точке Лс, известное из решения упругой задачи, а г, иавестно, если известен контур С.
Таким образом,с помощью (5.38) можно определить депланацию поперечного сечения /(х, у) скручиваемого стержня в пластической области, если депланация поперечного сечения стержня в упругой области и граница упругой области определены. Ясно, что депланация поперечного сечения в пласти- ') Заметим, что прямолинейное семейство нормалей являетсл семейством характеристик уравнения (5.36], так как вдоль них Ыу сое (те, И) рм Лх соз (те, х) Рюа и прои вводные дЦдх и д//да слева и справа от и ие могут быть однозначно определены только с помощью уравнения (5.37), из которого следует, что приращение / известно только вдоль те.
$5. Кручение упруго-пластического стержня 470 ческой области изменяется линейно вдоль любой нормали к контуру С поперечного сечения. Если поперечное сечение скручиваемого стержня имеет две оси симметрии и начало координат О выбрано в точке их пересечения и закреплено, то в точках обеих осей симметрии В самом деле, для таких точек г, .;. О и ус = )"'. Кроме того, если вдоль осей симметрии направить оси координат х и у, то из (5.30) непосредственно вытекает, что изменение ~' вдоль этих направлений равно нулю (так как,тт, перпендикулярно к осям симметрии). С ростом крутящего момента Лу или угла закрутки сс форма границы упругого ядра ь', а следовательно, и значение величины 7 меняется сложным образом, поэтому в общем случае депланация поперечного сечения в пластической области не пропорциональна углу закрутки а.
Для примера рассмотрим кручение стерКручепие стержня круглого жня круглого поперечного сечения рапоперечного сечеввя диуса а. При достаточно малых углах закрутки а материал стержни будет вести себя как упругий и касательные напряжения р, будут связаны с х равенством (7 14) ~ 7 гл.
1Х: р,=рхг, где г = у зл -)- р'. Очевидно, что при значении сс, равном а к ри касательные напряжения на внешней окружности С вЂ” границе поперечного сечения стержня — достигнут предельного значения Й, и при а )~ ае часть материала стержня перейдет в пластическое состояние. Вследствие осевой симметрии граница М упругой и пластической областей представляет собой окружность, концентрическую с С.
Обозначим радиус этой окружности через р; очевидно, что при некоторомзаданном а ) ае радиус упругого ядра будет равен (5.39) Ясно, что радиус р может обратиться в нуль только при а — ~- сс, и поэтому при любом коне пюм угле закрутки а внутри стержня будет существовать упругое ядро. Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
