Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 94
Текст из файла (страница 94)
(1.36) Отсюда легко получитьвыражениядля следующих комбинаций Р11~ Р22 12 Р1'1 р„+ р„= 2 [Ф (2) + Ф(з)! = 4йеФ(2) = 4йеф'(2), р„— рм + 21Р1, = 2 [гФ' (2) + Т (г)!. Эти формулы потребуются в дальнейшем. 496 Гл. ХП Плоские задачи и теория трещин Закон Гука для случая плоской деформации представим в виде, разрешенном относительно компонент тензора деформаций: )г+ 29 2)еем 2(г + р) Р Ргм 2)гееа 2(г +р) Р Р~г 2Регг = Рмо где р = р„-(-р„.
Отсюда, вводя компоненты вектора перемещений и функцию Зри, получим д'Н д г ди 2)г —. дх да 2р— ду (1.38) )г'( д Так как р = г."гУ,а гггаУ =- О, то р — гармоническая функция. Пусть д — сопряженная с ней гармоническая функция. Легко видеть (см. (1.37)), что ( (е) = р + (д = 4гр' (а), где функпия гр (а) определена формулой Гурса (1.35). Обозначая гр (а) = Р + (г;), поясно записать р=4 — =4 —, д= — 4 — =4 —. (1.39) дР, дО др д() Поэтому два первых соотношения (1.38) можно переписать в виде ди дг(У 2 (е+ 29) дх~ дх дг(У, 2 (Ь+ 2р) дР После интегрирования получим 2ри = — — + дгг' 2(Ь+ 29) дх Х-)-р Р )-Л(р),1 2ро = — — + () + ~,(х), ! дУ, 2(Л+ 29) (1.40) где Гг (и) и уг (х) — произвольные функции. Подставляя (1.40) в последнее соотношение (1.38) и принимая во внимание, что — + ~=0, ду ' дх )г+ 2р 2(е+ и) " е+ 29 2().--(г) Р дг(г ду' дг(г' дхду дх дО ду ' 1 1.
Плоские задачи теории упругости получим )г' (у) + ~з' (х) = О. Отсюда следует, что уг = уу + а, уз = — ух + (), где а, р, у — постоянные. Очевидно, что функции уг (р) и уз (х) соответствуют перемещениям тела как абсолютно твердого и поэтому в дальнейшем могут быть отброшены. Составим из (1.40) коашлексную комбинацию 2р(и.';. (э) = ' — гр(г) — ~ — -г- ( — ). (1.41) 2(Х+ 2р) (д(( .. д(г) ) +р (, дк ду / ' На основании формулы Гурса (1.35) верно равенство — + 1 — = 2 = ср(г) + зср'(з) + ф(г). (1.42) дп . д(г д(г (., 2) Лоэтому равенству (1.41) можно придать форму 2р(и'+ (э) = Л~р(г) — гр'(з) — ~Р(г), (1,43) где В случае плоского напряженного состояния в выражении для Л надо заменить Лна )* (в этом случае Л = (3 — о)/(1+о)) и и, и через огг и огз. Формулы (1.37) и (1.43) были получены Г.
В. Колосовым. Как указывалось выше (см. стр. 493), услопня для определения формулы, выражающие перемещения чепостоянныхннтегрнровання рез функцию Эрн, в частности, необходиз грзннчных услокняк мы в том случае, когда область, занятая для функции Эрн упругим телом, многосвязна. В граничные условия для (7 и Ы(7Ыи на каягдом из контуров С», ограничивающих поперечное сечение цилиндрического тела, входят три произвольные постоянные, причем только на одном из контуров С», например внепгнем по отношению ко всем другим контурам С», контуре С (рис. 165) они могут быть выбраны произвольно.
На остальных контурах их можно определять так, чтобы перемещения и н п (1.40) были однозначными функциями х и у, т. е. так, чтобы при обходе любого иа внутренних контуров С» функции 2(Х+ 2р) ды Х+р дх возвращались к своим первоначальным значениям.
г, л. 1Х. Плоские задачи п теории трещин При обходе по некоторому контуру С«в указанном на рис. 165 направлении производные дИду и — дИдх (см. (1.31)) получают приращения, равные Х«и Ъ"« — суммам проекций внешних сил, приложенных к границе этого контура, на оси х и у соответственно. Следовательно, функции 2 (Л+ 2(«) Л+ 2р Г Л ( Р = 2 (Л+ Р) ~ (" 2(Л+2(т] Л+2р Е = —.,„,.„~~(р Ь+ у1) Рнс. 165, Л(нотосзнзнаа область поперечного се.
чении пнлиндрического (см (1.39)) при обходе контура С долтела. жны получать такие же приращения, как дИдх и — дИду, т. е. должны выполняться условия 2(Лч- у) Л+2)« ~( ( ~) у (1.44) , ~- ~ (рс(у+ дух) = Х«. 2(Хтв) с Кроме того, с помощью(1.40) легко установить кинематический смысл гармонической функции д, сопряженной с р = р„+ ра„которая, очевидно, определяется формулой Г др др д — о = 1 — ду — — с)х. е=д дх ду о Действительно, согласно (1.40), имеем 1 1 (дх ди) от = — (го1 те) Л-~-2р (д() ду( 1 Л+2)ь («(Л+ )т) ( дх ду / 2 )т(Л+ у) т. е. функция д с точностью до постоянного множителя представляет собой малый угол поворота главных осей тензора деформаций элемента деформирующейся среды.
В случае однозначных перемещений должны выполняться равенства Ну бх да 0 др др Г др дх ду Э ди с, с„ Равенства (1.44) и (1.44') представляют собой условия для определения постоянных интегрирования в граничных усло- (. Плоские задачи теории уаругоста 499 виях для У и ((())6п на внутренних контурах Сю Функция б' и ее производные при этом, в противоположность случаю одно- связной области, занятой упругим телом, уже не являются, вообще говоря, однозначными. Коли на границе поперечного сечения тела задано распределение компонент Р 1 Р„ю то с помощью (1.31) легко получить граничное условие для (д7Лдх) + ((дс((ду) на этой границе. Действительно, из (1.31) на контуре Сь в этом случае имеем Граничные условия и классификация краевых задач для определевия фувкций комплексного переменного дУ ,, ау — (- ( — = — У(з) — (Х(з) .) ж, дл ' ду ю В случае задания в плоскости ху на границе поперечного сечения тела перемещений и = — из (з) э = ге (з) краевые условия для функций комплексного переменного ф (г) и у (г), согласно (1.43), (так как 2р = Н)(1 + а)) примут вид Л(р(с) — зю'(х) — у,'(х) = —, (ио(з) + (га(з)).
(1.45') Итак, решение основных плоских задач теории упругости свелось к определению двух функций комплексного переменного ~р (з) и у (с) при двух тинах краевых условий (1.45) или (1.45') г). ') Заметим, что прк ааданном напра.кеиаом состоянии или заданных перемещениях функции ю (л) и )( (г), согласво ((.36) в ((.43), имеют некоторый произвол, который можно устранять з различных краевых задачах разными путами, напрвмер с помощью фвксирозапвл зваченвй самих функций или их мнимых частей в определенных точках. где а — длина дуги контура, отсчитываемая от некоторой точки О, а Х (з) и У (л) компоненты сил, действующих па участке С„от О до з, гол — вообще комплексная постоянная, которую можно считать равной нулю, если область, занятая упругим телом, односвязна; постоянные та для многосвязных областей на всех контурах, кроме одного, на котором постоянная может быть выбрана произвольно, определяются при решении задачи.
Отсюда с помощью (1.42) получаем следующее граничное условие на контуре С„для функций ~р (г) и )( (х) комплексного переменного ьс <р(г) .) г~'(г]+ у..'(х) = — У (з) + (Х (з) + тз. ('1.45) 500 Гл. Х1. Плоские задачи и теория трещин Первая краевая задача имеет место, когда на границе тела заданы напряжения и граничные условия для ~р (з) и у, (г) определены в форме (1.45). Вторая краевая задача имеет место при граничном условии (1.45') (на границе тела заданы перемещения). Смешанная задача имеет место в том случае, когда на некоторой части границы имеется граничное условие (1.45), а на остальной части границы — условие (1.45'). Иногда для решения отих краевых задач Переход к крввозввейвым теории функций комплексного перемен- координатам, связанным ного, поставленных для некоторой из"овформвым ~тображе вестной области К, ограниченной конввем туром С в плоскости г = — х + 1у, удобно пользоваться заменой переменных, связанной с конформным отображением ь = —.
~ (з) области Ю на некоторую простую вспомогательную область Ю'в плоскости ь = 5 + п1, и получать решение в параметрической форме с помощью переменной Если область У~ ограничена одним замкнутым контуром С, то в качестве области У..' мозкно выбирать внутренность или внешность круга единичного радиуса и проводить решение краевой задачи, сформулированной для новой переменной Ь, в полярной системе координат, а для переменной з — в криволинейной ортогональной системе координат, в координатные линии которой переходят координатные линии полярной системы координат в плоскости Ь при рассматриваемом конформном отображении. В связи с этим посмотрим, как преобразуются компоненты тензора напряжений и вектора перемещений в плоскости з при переходе от декартовой системы координат х и у к укаэанной криволинейной системе координат; установим вид зависимости компонент тензора напряжений и вектора перемещений в этой криволинейной системе координат от вспомогательной комплексной переменной ь и сформулируем граничные условия, которым должны удовлетворять искомые функции комплексного переменного ~р (г) и т (г) в плоскости Ь на единичном круге, соответствующем границе С в плоскости з.
Заметим, что применение конформных отображений ь = $ + п1 =- ) (з), з= к (ь) в плоской задаче теории упругости отличается по своему смыслу и результатам от применения конформных отображений в плоской задаче гидродинамики. Это связано с тем, что, в противоположность гармоническим функциям, бигармонические функции У (х, у) в результате конформного преобразования, т. е. после замены х и у через $ и ц, в общем случае перестают удовлетворять бигармоническому уравнению в переменных ~, ц. Однако формула Гурса (1.35) позволяет просто определять вид функций, в которые переходят бигармонические функции в плоскости г после 1 1.
Плоские задачи теории упругости 001 конформного преобразования г = х (ь): с' В Ч) = х (1) 7 К) х (1) Т © + ~~ Б) + Х (Р где через ~р ( ~) и т ( ь) вновь обозначены аналитические функции ~р (г) и т (г), соответственно, после замены в них переменной г через ь согласно конформному отображению г = к (~). Очевидно, что функцию У($, ц) нельзя рассматривать как соответствующую функцию напряжений Эри для области Ю' в плоскости ь, в которую в результате конформного преобразования переходит область Х в плоскости г. Рассмотрим теперь подробно случай, когда конформное соответствие области и) в плоскости г и внешности или внутренности единичного круга л'.г в плоскости ь однозначно установлено с помощью функции комплексного переменного г = к (ь), г =- х + лу, ь = $ + лт).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
