Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 96
Текст из файла (страница 96)
При одноосном вдоль оси р растяжении в декартовь1х координатах имеем следующие условия в бесконечности: р = О р = р р = р = О Гл. Х1. Плоские задачи и теория трещин зоз В полярных координатах Р, 0 в плоскости з,у, з = ре'о эти ус- ловия можно записать в виде Ро = Росса'О, Р о = 2 Р,з1п 20, 1 Р„=О при р= оо. Рр Ро з[п На границе выреза условие отсутствия внешних сил имеет вид ро=роо=О при р=а.
Легко проверить непосредственно, что условия в бесконечности при ь = со и на границе выреза при [ь[ = р = а будут удовлетворены, если положить: Ч~(~) 4 Ро ~ 2 ~ ) ' ф (~) 2 Ро ~ ~ а ~ — + ~„ )1 . (2.3) Эти формулы легко установить, если предварительно задаться для функций <р(~) и ~[~(Д разложением в ряды Лорана около бесконечно удаленной точки ~ = со. Коэффициенты этих разложений определяются из граничных условий при р = а и из условий в бесконечности. Из формул (2.1) и (2.3) на окружности выреза при р = а, где Р, =- О, сразу получим р„= р,.(1 + 2 соз 20).
Величина Ро достигает максимума в точках 0 .— — (О, я); в этих точках Ро шок Ро' Из формул (2.1), (2.2) и (2.3) легко найти компоненты напря- жений р„ро и Р,о во всех точках пластины. В частности, на оси л при [з[ ..э а верны формулы Р,= Рм= о Ро[( — ) — ( — )~~ Роо=рто= Решение сформулированной задачи легко получить с помощью подбора функций гр(г) и фг) = т'(г) комплексного переменного г .= и + 1у, введенных в предыдущем параграфе при решении бигармонического уравнения для функции Эри. Полагая г .— —:.
ь =--. Ре'о и учитывая принятые выше обозначения Ф(~):-- ор'(з) =- ~р'(~), ф'(з) =- ф'(~) =- Ч"(~), перепишем формулы (1.50) в виде Р, 4- Р, = 2 [ р'(~) + Ч '(~)1, (2.1) Р,— р +2ор,.= —,, [фр"(~)-~ ф'(~)[. (2.2) 1 2. Концентрация напряжений 509 Рв =. Рвз 2 Рп ~2+ ( — ) + 3 ( — ) ~ . На рис. 168 приведены зпюры напряжений рвю р,з вдоль оси х и любопытная диаграмма для изменения рп вдоль границы кругового выреза. рис, 168. Эпюры яапрнжпявй при одкепсяпм (здпль оси у) растяжении плоскости с круговым вырезом. Всестороннее растяжение плоскости с эллиптичес- ким вырезом г=х+ Следовательно, связь между декартовыми координатами х, у и криволинейными координатами р, 0 в плоскости з определяется Рассмотрим упругую плоскость с эллиптическим отверстием, всесторонне растягиваемуго на бесконечности напряжениями рп =-- сопев.
Обозначим полуоси эллипса через о и Ь (а ) Ь) и выберем оси координат х и у так, чтобы ось х б1лла направлена по большой оси эллипса. Конформное отображение внешности зллипса в плоскости г на внешность единичного круга в плоскости Ь определяется преобразованием: 510 Гл. Х). Плоские задачи н теория трещин формулами а+Ы тс х = —, ( р -). — ) соз О, а+Ь( т> у = — (р — — ) з(п9. 2 ) р) Эти криволинейные координаты называются эллиптическими, криные р = сопз1 в плоскости з соответствуют эллипсам (а + Ь~ ты+ т'о а кривые О =- сопз1 — гиперболам — — =4 ('~~ ). Контур вырезанного отверстия в плоскости г в криволинейной системе координат р, О соответствует эллипсу р = 1.
На границе выреза, так как она по условию свободна от внешних сил, имеем следующие граничные условия: р =О, Р,=.О при р=1. Легко проверить, что функции ~р(Ь) и ф(Ь) в данном случае определяются формулами: 4 («ь)' ро(а + Ь) ( т о р, ( + Ь>(1 + т ) 2 4з — т' Согласно (1.50) при этом будем иметь щ~ — те) р4 — то Р«+ Ре Ро(4« )(4з т) оса — 2трасоз2Š— ', тт' Ре — Р -и 2(Р о = — ' ~(1 4- тз) (т+ ~')— (Ье — т) (~а — т)а — 2ьт(ь+ — „)~ „ Очевидно, что напряжение ре на контуре отверстия достигает максимума в точках, соответствующих концам большой полу- Отсюда нетрудно найти напряжения как функции криволинейных координат р, О или декартовых координат х, у.
В частности, на контуре эллиптического отверстия (р = — 1) имеем 2 (1 — и') Ре ' о1 — 2тсоз20+ «и ' 511 1 2. Концентрация напряжений оси эллипса (р = +- 1; О == О, я; х = 1- а, у =. 0), причем (2.4) Приведем также формулы для распределения напряжений вдоль положительной оси х р,х (ха — ат) Р, = Ры — ( „, + гв)у рах (х — ах + 2У) (ха — ах+ ьх) а , „=р„=О. На рис. 169 построены зпюры напряжений ры, р„вдоль оси х рзс. 169. Эпюры напряжений прв всестороннем растяжении неограниченной пластины с эллип- тическим вырезом Яа/Ъ) = 3, и =- (1)2)), и изменение ре вдоль контура эллиптического выреза при (а!Ь)=3, т=(1/2). Для заданного не слишком большого р, полученные распределения напряжений хорошо отвечают опыту дли всех (Ь)а) ) з, где е — некоторое положительное число.
При Ь вЂ” ~ О, когда эллиптический вырез вырождается в прямолинейный разрез в точках х = +- а, у = О, значение ре = (ре)„,„„обращается в бесконечность. Рассмотрим упругую плоскость с эллнпОлноосное растяжение тическим отверстием, растягиваемую на "ловкости с эллиптичее бесконечности усилиями р, под углом вим вырезом О, к оси х (рнс. 170).
Нетрудно проверить, что решение этой задачи получается с помощью функций ~р (й) и ф(Ь), которые определяются формулами: й ©= йро —,, ~1+2 512 Рл. х!. Плоские задачи и теория трез(ии Как и раньше, с помощью общих формул (1.50) можно найти поле напряжений. На контуре эллипса при р =- 1 будем иметь Р,=Р„=О, 1 — т'+2э соз20,— 2соз2(0+О,) Ра Ре 1 — 2т соз 20 + та Ото|ода видно, что при т = 2, т.
е. в случае прямолинейного разреза, при любых 8, =ь О или л в точках р = 1 и 9 =- О и 0 =- л (т. е. на концах разреза) Рз — -- оо. ра ф -йт 77я Рнс. 170. Одноосное растяжение неограниченной пластины с эллиптическим вырезом. Рис. 171. Эпюры напряжений при одноосном рас- тяжении неограниченной пластины с эллипти- ческим вырезом Иа/Ь) = 3, т = (1/2)). Предположим, что растяжение происходит в направлении осиу(9, = -+ ц/2), тогда 1 — та — 2т + 2 соз 20 Рэ = Ре 1 — 2т соз 20 + та Напряжение ре достигает максимума на контуре отверстия ) 1Ъ в точках р = 1, 0 = О, я,х = -~ а, у = О,причем (Рэ)шах = Ре 1 т = (1 + 2 Ц Ра' (2.5) а) Так как все компоненты напряжений в декартовой системе координат представляют собой бигармонические функции, то по основному свойств у таких функций максимальные значения компонент напряжения достигаются на гравице области; аналогичное положение зстречаетс идя вг родинамике (см.
стр. 162). 1 2. Концентрация напряжений 513 На рис. 171 построены эпюры напряжений ры, р„вдоль оси х н изменение рэ вдоль границы эллиптического выреза при (а/Ь) = 3, ш = (1/2). В рассмотренных задачах о растяжении О концентрации вапряже- плоскости с эллиптическим вырезом при ввй э слУчае эы™Учете Ь + О напряжения получаются везде эллипса — щели конечными и хорошо согласуются с опытными данными, если р, не слишком велико, т.
е. когда всю пластину можно рассматривать как упругое тело. Предположим, что р, и а фиксированы, а Ь убывает. В этом случае, каь видно из (2.4) и (2.5), (ре)ю„, возрастает и прн Ь вЂ” ~. О, (рэ)мах + сс ° )аким образом, в полученном решении на концах прямолинейной щели (в которую выро;кдается эллипс при Ь вЂ” ~- О) напряжение рэ становится сколь угодно большим при любом конечном значении и растягивающих напряжений Ркс.
172. Характер распределения рс в бесконечности. вапряжеввв вблкзи конца щели со- В еальном материале на- гласно Решению линейной теоРии р а о упругости. пряжения не могут превосходить вполне определенных пределов, поэтому подобный результат линейной теории упругости нуждается в дополнительном обсуждении. В местах очень больших напряжений, высокой концентрации напряжений, линейная теория упругости, вообще говоря, неприложима. Для уточненного описания реальных явлений в этих областях необходимо учитывать эффекты нелинейной теории упругости, пластичности и ползучести материала.
Кроме этого, большое влияние на величину внутренней энергии и других термодинамических функций и на механическое поведение материалов в этих местах могут оказывать не только сами деформации, но и их градиенты, что не учитывается в обычной теории, использующейдля определения напряятений закон Гука. Для некоторых материалов распределение напряжений вблизи концов щели существенно связано с эффектами, описываемыми в рамках нелинейнойтеорнн упругости г).
Используя уравнения геометрически и динамически нелинейной теории упругости, можно получить конечные значения напряжений вблизи конца щели. Даже в рамках линейной теории упругости с ис- ') Вкд деформкроэавных ковтуроэ у края (пунктир) ва рвс. 172 в ка последующих рисунках соответствует экстраполяции упругих решеввй вплоть до края; в дейстэктельвостн форма раарыва у края связана с услолшеввывв реологическнмк свойствами материала, проявляющимися в этой области. 1У Л н.
Солев, тсв 2 514 Гл. Х1. Плоские задачи и теория трещин пользованием закона Гука, если решать нелинеаризированную задачу и удовлетворять граничным условиям на деформированной поверхности (а не на разрезе, как в линеаризованной задаче), напряжения получатся везде конечными, но, вообще говоря, очень большими у края щели.
Таким образом, неограниченное возрастание помпе)лент напряжений при приближении н краю и1ели связано не только с использованием линейного закона Гука, но зто есть регультатп приближенного способа решения задачи. Отметим также, что рассмотренный эффект обращения напряжений в бесконечность на острых краях щели также тесно связан с сильной идеализацией реального разрыва, в конце которого радиус кривизны отличен от нуля. В то же время, как показывают расчеты и данные опыта, размер зоны, в которой проявляются указанные выше усложненные физические особенности реальных материалов, во мчогих случаях, вообп1е говоря, весьма мал. Эксперименты показы ~ают, что уже в достаточной близости от концов щели линейнан теория упругости и указанные выше решения правильно описывают распределение напряжений.
Например, для стали у острых кромок характерный размер зоны, в которой действительные характеристики состояний существенно отличаются от теоретически рассчитанных по линейной теории упругости, имеет порядок полмиллиметра '). Обращение компонент напряжений в бесконечность у конца щели не следует рассматривать как коренное противоречие результатов линейной теории упругости в этой задаче опытам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
