Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Х. Теория пластичности 4зо В пластической области рг'. а поверхность напряжений г = К (х, у) будет частью боковой поверхности кругового конуса, направляющей которого слуа;ит окружность С, а тангенс угла наклона образующих к плоскости ху равен 7с.
Поэтому функция напряжений в пластической области будет следующей: я'р(х, у) = й(а — г). В упругой области 0 < г с.' р функция напряжений должна быть решением уравнения Пуассона (5.15), следовательно, согласно (7.24), (7.21), (7.13) 4 7 гл. 1Х, должна иметь вид гг (х, у) = — — рх -,. соазг. Па границе л,' упругого ядра г= р функция напряжений непрерывна ля= л', поэтому ~~'(х, у) = -рх(рг — г') + й(а — р). Величина крутящего момента, соответствующая заданному углу а, вычисляется по формуле (5.18) и оказывается равной М = 4я('гзгггсгг-(-( УРге)г1= — — Ы(аг — — рг|, (5.40) е Заметим, что при вычислении М использована формула (5.39) для радиуса упругого ядра.
При р -г 0 крутящий момент стремится к значению 2 Мир —— — яа%. 3 Предельное значение крутящего момента, соответствутощее появлению предельных значений касательных напряжений на внешней боковой поверхности стержня, получается из формулы (5.40) при р =.- а 1 Мя~ л 2 Я)га'. Легко видеть,что поперечное сечение стержня при его кручении не искривляется. решение рассмотренной задачи сильно облегчается тем, что форма упругого ядра оказывается известной из соображений симметрии. ГЛАВА Х! ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ТЕОРИЮ ТРЕЩИН 3 1.
Плоские задачи теории упругости и вторая для компонент тензора деформаций еп = еы(х, У), егз =езз(х У) еш = езз (х У)~ езз = ззз (х у), згз =сзз = О. (1. 2) Данное определение плоской задачи в общем случае не связано с видом соотношений между напряжениями и деформациямн и не связано со свойствами среды.
Однако возможность реализации плоской задачи в тех или иных условиях тесно связана со свойствами рассматриваемой модели сплошной среды. ') Использованное ниже довольно общее определение плоской задачи можно еще расширить. См, например, Л я в, Математическая теория упругости, ОНТИ, 1935, Ц $45, ЗОН 302, 303. 16 л. и.
седов, ток 3 Рассмотрим теперь плоские задачи теории упругости. В случае плоской задачи при соответствующем выборе декартовой системы координат хОуз существенными аргументами для искомых функций являются только координаты х и у. Характеристики состояния и движения в плоской задаче вообще не зависят от координаты з или зависят от нее известным простым образом.
Теория плоской задачи включает в себя задачи плоского деформированного, плоского напряженного и обобщенного плоского напряженного состояний, определения которых будут даны ниже. Далее будем рассматривать только статические или квази- статические задачи в линеаризированной постановке для малых деформаций. В решения квазистатических задач время мелеет входить только иак параметр, Ограничимся' ) рассмотрением плоской задачи, когда по определению имеют место одновременно две группы равенств: первая дли компонент тензора напряжений Рп = Рз (х У), Рш = Рш(х У) Рз = Рш(х У) ( ) Рзз=Рзз(х У) Рж=Рж=б l ел. ХП Плоские задачи и теория трещии К омпоиеиты перемещений а случае плоской задачи дзезг дзезз дзезз — + — ", =2 —, дуз дхз деду ' (1.
3) дзезз дзем д'езз — = — = — = О. дх' дуз деду (1.4) Остальные два уравнения Сеп-Венана удовлетворяются тождественно. Из (1.4) следует, что е,з может быть только линейной функцией х и у: за= — = Ах+ Ву ', С, дх дг (1.5) где А, В и С вЂ” постоянные. Отсюда для компоненты вектора перемещений вдоль оси г будем иметь (1.6) пг = — (Ах+ Ву+ С)г+ ~ (х, у), где ( (х, у) — произвольная функция. По определению плоской задачи (1.2) имеем 1 /ди дг 1 1 здз диг1 е„= — ( †.~.—,=0, е,з= — ~ — Р— )=О 2(дг дх~ ' ' 2(дг дуг' и поэтому компоненты и и и вектора перемещений должны представляться в виде гз и = — А — — /„(х, у) г + езг (х, у) гз о = —  — — („(х, у) г + изз (х, у), где ез (х, у) и «зз (х, у) — произвольные функции.
Далее, так как да ди ди дз д, =е" (х у) д — — е„(х,у)' д + д — — 2е„(х,у), рассмотрим теперь возможные упрощения, которые возникают в основных уравнениях в случае плоской задачи, Дальше ограничимся приложениями теории к плоским задачам, в которых можно ввести перемещения из начального состояния, применяемого для определения компонент тензора деформаций, В этом случае можно пользоваться уравнениями совместности. Шесть уравнений совместности Сеп-Венина В;;з, —— — 0 (см. з 5 гл.
П) в случае плоской задачи (1,2) сводятся к следующим четырем соотношениям: 1 1. Плоские ззлачи теории упругости 483 для определения произвольной функции 1 (х, у) имеем равенства до» ен(х, у) = д — >хх(х, у)з, до>з етз (х, у) = — — )>>т (х, у) з, 1 > дз» дпч1 е„(х, у) == — < - >- — > — >>,к (х, у) з. 2, ду ' дл Отсюда непосредственно вытекает, что 1.-= багз =.й =6, зг и = — А — + ю, (х, у), зз и = —  —,+ юз(х,у), ю =- (Ах -р Ву + С) з. (1,7) Функции ю, (х, у), юз (х, у) могут быть истолкованы как компоненты вектора перемещений з плоскости з = О.
Они, очевидно, связаны с компонентами тензора деформаций епл е„и е„уравнениями: дз» дз>, 1 Ь дм. два 1 е» .=, е>з — -- —, е> == — ' — ' + — >. (1.8) дз ' ' ду ' 2, ду ' дх! Закон Гука в случае плоской задачи (1,1), (1.2) записывается в виде р„= М, (е) + 2ре», р„=- И> (е) — , '2ргтм р„= И„(е)( 2резз, р,з= 2репп р„= роз== е„= е.„=- О или, так как е,з является линейной функцией х и у, в виде Связь 1>>1 и е>1 в случае плоской задачи для линейно-упругого тела. Уравнения Бельтраии— Мичелла р =. )>,(е + е„) ->-2реы + Х(Ах члВу+ С), р. = Х (е д+ е ) + 2резз+ )>,(Ах + Ву+ С), рм .— — 2р,етз, р,з = Л (едд+ езз) + (Х + 2р) (Ах + Ву + С). (1.9) 16з т.
е. произвольная функция 1 (х, у) в выражении (1.6) для и> должна быть линейной функцией своих аргументов у (х, у) =- ах+ Ьу+ с, где а, Ь, с — постоянные. Легко убедиться, что определенная таким образом функция 1' (х, у) соответствует пространственным перемещениям тела как абсолютно твердого, и поэтому при изучении деформаций ео можно положить равной нулю.
Таким образом. компоненты перемещений в общем случае плоской задачи независимо от связи между компонентами тензоров напряжений и деформаций представя>потея формулами вида 424 Гл. ХП Плоские задачи и теория трещин Запишем эти соотношения в виде, разрешенном относительно компонент тензора деформаций: с 1 — с]22,'' $ — 22 ! Е [Р11— Х вЂ” с',' Д ', Р22 1-]- с В Р12 еп =— 5 1" 12/ (1 Ао) еее — — (Ах+ Ву,' С) == (1/В) [р22 — а (Р11+ Р22)], (1,11) где р11 == р„— Л (Ах -]- Ву + С), р,„= р,е — Л (Ах + Ву +' С), р[ЗЛ + хр) Л Е =- ' ' — модульЮнгаи -=--,—, Л+ц = 2(Л:.- р) сона.
Подставляя эти соотношения в условие получим дуе ' дл2 деду где коэффициент Пуассовместности (1.3), ЛР, (1 А 2) Условии аа внешние иаесоеые н понерхностаые силы н случае плоской задачи где проекции массовых сил на оси хи удолжны быть функциями только х и у, Третье уравнение равновесия в плоской задаче будет удовлетворено только тогда, когда Р,= — О, т. е, массовые силы вдоль оси г в случае плоской задачи должны отсутствовать. Граничные условия в напряжениях в случае плоской аадачи имеют вкд р,1 сов(м,х) + р„сов(и,, у) = р„1, р12 сов(те, х)+ раисов(те, у) = р„„ р„сов(те, в) = р„,. (1.14) Р Р11 + Р22' Это уравнение является условием совместности напряжений в плоской задаче для линейно-упругого тела и в этом случае может заменить собой уравнения Ьельтрамн — Мичелла.
Уравнения равновесия для плоской задачи имеют вид Ри ..]- Рл = — О, др„, д.„, (1АЗ) де ' ду 1 1, Плоские задачи теории упругости рп = Х(сп + з„) + 2рзтп р... = Х (з„+ зз,) + 2рз„, ры — — 2рззз. (1Лб) Обычно (но не всегда) плоские задачи рассматриваются для цилиндрических тел с образующими, параллельными оси з. В этом случае на боковой поверхности тела соз (и, з) = О и, следовательно, на этой поверхности должно иметь место равенство р„=О В дальнейшем ограничимся рассмотрением плоских задач о деформировании цилиндрических тел, в которых требуемое условие на внешние заданные распределенные силы на цилиндрических боковых поверхностях всегда удовлетворяется, Граничные условия в случае плоской задачи могут быть заданы также в перемещениях. Если имеется цилиндрическое тело с об- 0 постановке плоских задач теории упругости разующими, параллельными оси з, на боковой поверхности которого заданы напряжения р„„р„з как функции только х и у, а риз = О„то компоненты тензора напрязкений р„, рио р„внутри тела можно определить как решение краевой задачи, поставленной в области, ограниченной контуром С поперечного сечения тела, для двух уравнений равновесия (1.13) н одного уравнения совместности (1,12) с граничными условиями (1,14) на контуре С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
