Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Последний вывод совершенно очевиден п справедлив прп подходящем выборе одного определяющего параметра вообще для любых моделей веупругпх тол. Вместе с этим псобходпмо отметить, что в глобальной аадачс прп определанном аакояе пагружсппя конечного тела внешними силами пути пагружскпя для отдельных мавых частиц тела раалвчвы п эаравсс ПспзВсстпц, будет связывать между собой ри и Т, т.
е. определять (при Т = сопз1) поверхность Х в пространстве рн, которая будет содержать точки поверхностей нагружения Хр, так как по определению модели пластического тела с упрочнением на поверхности нагружепия величины еб и К, постоянны. Рассмотрим сначала случай, когда при фиксированной температуре поверхность нагружения Хр представляет собой пятнмерную поверхность в шестимерном пространстве значений рп. Тогда поверхности, определяемые уравнениями (3.2), будут совпадать с поверхностью нагружения. Ясно, что при нагружениях в случае постоянной температуры без разгрузок, если для некоторых двух состояний остаточные деформации зз~ и зв~ различны, при наличии связей (3.1) получится, что соответствующие поверхности нагружения Хр„ и Бра различны и не могут иметь обпгих точек, так как иначе одним и тем я"е значениям рн и Т могли бы соответствовать различные остаточные деформации зй и з';, что противоречило бы однозначности формул (3,1).
Таким образом, если зафиксировать, например, г~ = Сгм то соотношение егг (ро, Т, рд, ..., р ) = Сы определит однозначно поверхность нагружения 2'р и этим самым определятся все компоненты зут = Сы и К, = С„которые также постоянны на Хр. Поэтому все постоянные С,-; и С, можно рассматривать как уннверсалъньсе функции (независимые от рм и Т) одной из ннх, например от Сп =. е~,, т. е.
з$ =- юя (зать) и К, = К, (ахат), (3.3) 432 Гл. Х. Теория пластичности по различным путям в переменных р» и Т возмолтен только один вполне определенный путь (3.3) пластического деформи- РованиЯ в пеРеменных е1р Если материал пластически нес>кимаем, то при малых деформациях тензор пластических деформаций ея является девиа- тором. Легко видеть, что предыдущие общие выводы распространяются и на этот случай, когда по предполо>кению в соотношениях (3.1) в аргументах функций фигурируют только компоненты девиатора напряжений р'>, а совокупность пределов упругости образует четырехмерную поверхность в пятимерном пространстве девиатора тензора напряжений. В общем случае, если размерность области возможных значений пределов упругости для компонент тенаора напрялтений рп при переходе из упругой области в пластическую меньше шести, из предположения о существовании взаимно однозначной связи (3.1) следует, что размерность возможных значений для ав также меньше шести, и пластические деформации могут иметь только некоторый специальный вид, независимый от системы внешних воздействий.
Следовательно, предположения (ЗЛ) и предположения о допустимости и р о и з в о л ь н ы х пластических деформаций находятся в противоречии. Таким образом, показано, что в случае пластических тел с упрочнением для произвольных путей нагружения даже без разгрузок конечные однозначные соотноп>ения вида (3.1) невозможны. С этим связано характерное основное свойство законов теории пластичности, которое состоит в том, что эти законы имеют вид д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х н е и н т е гр и р у е м ы х (неголономных) соотношений.
Очевццно, что для тел с упрочненнем для О деформацноплмх каждого вполне определенного фиксиро- теорпях пластичности ванного закона нагруятения можно написать конечные соотношения вида (3.1), причем эти соотношения будут аависеть от выбранного пути нагружения. Вместе с этим нередко получается так, что для некоторых различных, вообще говоря, близких путей нагруження мол>по применять одно и то же соотношение вида (ЗЛ). В связи с этим на практике иногда можно пользоваться так называемыми деформационными теориями пластичности, основанными на соотношениях вида (ЗЛ). Нужно, однако, твердо помнить, что эти соотношения верны только для одного или нескольких определенных процессов нагрултения рассматриваемой частицы среды и не определяют ее поведение в других случаях пластического деформирования, т.
е. фиксируют не свойства среды, а лишь свойства некоторых частных процессов в ней, $3. Основные соотношения в теории пластических тел 433 где ро — некоторый постоянный тензор, а х — переменный скалярный параметр. В некоторых приложениях употребляют приблия<енные деформационные теории для процессов с пропорциональным нагружением. Связи между напряжениями и деформациямн для различных пропорциональных путей нагружения вообще различны и зависЯт от паРаметРического тензоРа Рог.
ПРи геометРически малых деформациях в линейно-упругом по Гуку конечном фиксированном теле пропорциональное изменение внешних нагрузок ведет к пропорциональному изменению компонент напряжений и компонент тензора деформаций во всех точках тела. При конечных деформациях пропорциональное изменение компонент тензора деформаций во всех точках тела в общем случае геометрически невозможно '). В случае произвольного пластического деформировання конечных тел в рамках теории малых деформаций при пропорциональном изменении внешних нагрузок пропорциональныепути нагружения для всех его малых частиц, вообще говоря, невозможны.
Сформулируем теперь некоторое термодинамическое неравенство, которое в работах многих современных авторов принимается в качестве дополнительного термодинамического принципа и служит основой для построения моделей пластических тел. Введем в рассмотрение элементарную работу напряжений на соответствующих приращениях упругих деформаций (3.5) Р Принцип минимума работы нетннных напряженнй на приращениях пааетнчеснвх яеформацвй к их элементарную работу «Ар на приращениях пластических деформаций, отвечающих некоторому изотермическому процессу нагружения, проходящему через данну<о точку рн на поверхности нагружения Хю аР— < Зев о ') См.
Л. И. С е д о в, О понятнн простого погружения н о возможных путях деформации, ПММ, т. 23, вып. 2, 1959. пропорцнонааьвое = Например, нк практике для моделей планагруяжнве стических тел с "упрочнением можно рассматривать пропорциональное иагружение, когда РЯ = мР,'~. У = У'о (3.4) Гл. Х. Теория пластячпости Элементарная работа внутренних поверхностных сил представляется в виде суммы НА; и пА».
НА~и = дА, + ААР. Вычислим еще элементарную работу внутренних напряжений Ре«Р, отвечающих любой точке УпРУгой области Яр, на Рассматриваемых приращениях пластических деформаций Не~а аа ЫА = — Р— Ыз»а. Р р (3.7) Постулат, выражающийся неравенством, «э «а Йр — аАР = А „"„>Ю, Р (3.8) носит название принципа минимума работы истинных напряжений на пластических деформациях. Согласно этому принципу (постулату) работа, совершаемая действительными напряжениями на заданных приращениях пластических деформаций, всегда меньше работы, которую совершали бы любые другие напряжения из упругой области на тех же приращениях пластических деформаций. Если компоненты тензоров дсрз и с)ре э = р«з — ре "э трактовать как компоненты векторов в девятимерном евклидовом пространстве компонент тензора напряжений р'«, то постулат (3.8) мо1пно истолковать как условие, что скалярное произведение этих векторов не отрицательно, т.
е. др" з Аз»а > О. (3.9) Из (3.9) вытекает, что если в некоторой точке р«а на Е» провести плоскость, ортогональную вектору й~а, то вся поверхность может быть расположена только по одну сторону от этой плоскости. Отсюда ясно, что поверхность нагруясения Ер со стороны упругой области йр, содержащей точку р'и, выпуклая. Далее, если в точке р"а поверхность наАссецвироваввый заков гружения имеет определенную касательловерхвостей па»румелии ную плоскость, то эта плоскость должна быть ортогональна вектору дс»а. Другими словами, в тех точках поверхности Хр, в которых имеется единствегшая нормаль, векторы Ыера и драй ~ должны быть коллинеарны, и для определения приращений пластических деформаций в процессе пластического нагружения получаютсд т 3.
Основные соотвоюевия в теорни пластпчесавт тел 43э следующие дифферонциальные соотношения: ~(еэ~э = ИХ— где Ю вЂ” некоторая бесконечно малая положительная скалярная величина, так как по условию (3.9) вектор Ие~~ направлен в сторону внешней нормали Х„. Итак, для идеально-пластического материала согласно (3.8) можно принять, что ое'„'а = Й. — при / = О, сЦ = О, дв (3.10) ое",э = 0 при ( = О, гЦ ~0 и при ~(0. В случае пластического тела с уирочнениел на поверхности нагружения г = 0 пластические деформации постоянны, и поэтому дХ = О прн И'~ = О, следовательно, должно быть справедливо равенство где л ) 0 — функция переменных параметров, определяющих физико-механическое состояние частицы.
Соотношения (3.10) в случае пластического тела с упрочнением принимают вид ~й~а = Ь вЂ” ~-а Ы'/ при ( = О, Ы7) О, элиз (3.1() де~э = 0 при д'( О, у = 0 и при у(0. Соотношения (3.10) я (3. И) являются дополнительными соотношениями для определения приращений пластических деформа ций. Они вытекают нз допущения(3.8) и предположения о глад кости поверхности Ер и называются ассоциированным законом. Ассоциированный закон в теории идеально-пластических тел в обгцем виде впервые был предложен и применен Мизесом.
Следует заметить, что допущение (3.8) выдвигается в качестве теоретически недоказанного постулата. Поэтому вместо соотношения (3.8) в качестве основного постулата можно принимать сам ассоциированный закон (ЗЛО) или (З.тт), Справедливость ассоциированного закона в требуемых пределах должна подтверждаться опытными данными путем сопоставления следствий из ассоциированного закона и данных измерений в опытах.
Возможно построение других теорий пластичности, в которых вместо ассоциированного закона можно использовать другие основные законы для определения остаточных деформаций. 436 Гл. Х. Теория пластичности Что касается приращений параметров АХ„то для них в случае пластического тела с упрочнекием можно написать формулы: с(Х, = А, ср/ при А'~) О, сЬ, = 0 прн Ю~(0, (3.12) гак как с(у обращаются в нуль вместе с А'(, А, — функции параметров, определяющих состояние частицы.
Задание функций ~, й и А, входит в опреФункции (, Ь и А. деление конкретной модели пластического при иострееиви иодеаей тела с упрочненнем, Их следует выбирать так, чтобы свойства предлагаемой модели задаются отраясали наблюдаемые в опытах аффекты. ГВ предложенных к настоящему времени н используемых для расчетов конкретных моделях пластических сред с упрочнением параметры у, либо вовсе отсутствуют, либо имеется только один параметр у, от которого зависит функция нагруження 1 и функция Ь в ассоциированном законе.
Приведем некоторые примеры выражений для с(Х. Тейлор, Куинни (1931 г.) и Шмидт (1932 г.) принимали, что сс)( = рцс(згь Одквист (1933 г.) применял следующий параметр упрочнення: Указанные авторы рассматривали только изотермические процессы и принимали, что уравнение поверхности нагруисения имеет вид р (р ) -, ю (Х) Предположения Треска и Мизеса о виде функции нагруження ~ мы подробно рассмотрим в следующем параграфе. Значения пластических деформаций с~с~ и параметров для каждого данного пути нагруисения, когда производные д~фдр'З известны, определяются посредством интегрирования соотнолтений (3.11) и (3.12) и ваеисят опс пути интегрирования, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
