Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 61
Текст из файла (страница 61)
т,)»+с(Чае (2.5) (2.6) >) В настоящее аремл вводятся более общие модели упругих сред, в которых а аргумектм у к р могут входить рааличлых порядкоа прои»- кодаке по аремеяя и по координатам от компонент теизора деформации. 1 2. Модель упругого тела Уравнения (2.5) и (2.6) написаны с учетом допущения, что д„. не зависят от времени г, т.
е. е„.= ь(с~/дг (см. т. 1, стр. 97 и стр. 210 — 2!1). Для выделения определенной модели упругого тела и получения замкнутой системы уравнений в конкретном случае движения достаточно, как мы покажем дальше, задать внутреннюю энергию П (з,,'йея Рьп )(з) (или свободную энергию г'(Т, йы, ь";;, тз)), компоненты внешних массовых сил гч, величину притока впешкого тепла ь(д<') (который входит только в (2.1)) и величину притока внешней энергии ддзз. Задание величин у или Р, Р' н ь(дзз, О задании внешнего вообще говоря, связано с установлением модели, отделением рассматриваемой данной среды от внешних объектов(электромагнитного поля, внешних компонент примесей, внешнего жесткого или подвижного микроскопического каркаса или вообще некоторых внешних распределенных по объему геометрических связей и т.
п.). В общем случае неооходимо вводить ь(паз + О даже при отсутствии взаимодействия данной среды с какими-либо другими внешнимн объектами. При учете усложненного поверхностного или объемного взаимодействия выделенной малой частицы среды с соседними частицами той н1е среды появляется необходимость вводить ья)зз + О. Однако при наличии существенных допущений, заключенных в равенствах (2.1) и (2.2) ь), з) В более сложных л1сдзлях упругих тзл, в которых внутренняя эпергвя ааввспт не только отяоыпоязпт тзпзорз дефорпацпй,по и ат про- яаводпых этих компонент по пространственным коордппзтаы, т. е. когда У = У (з, дя, зн, ф ьз; ) (здесь пспользузтся обозначение зм для ком- понент тепзора деформацяй е = зяз з, зп — — з;; =- -.,- (,, — Хз )), я ураз- псппп (2.5) слева будст присутствовать член дУ вЂ” дд„ьо, ачь.'о который, если псссльзозать существенное прсдпсло'пеппе о тоы, что ком- поненты р" = — рв яе зависят от прояззодпых по зрзпзвп зЧ;,.зияй, дол- жен балансироваться с членом ЛШ'Ы)узам, зходящпя справа з Лд**.
Для удобства выкладок здесь рзссматрязз|отся градиенты з фвяснроззвпоп пространстве начальных ссстояпяй, что пе является ограппчеппеи общности; зто позволяет дзя пядпвядузльяых производных по зрзмепп делать перестзпозкп: Ырз ° И вЂ” = Чав з'ь ~й Восле сразнзпяя правой в левой частей з (2.5) ввиду проязвсльпсстя приращении сЮьз;; пслузяп равенства дьг (А) ду, з, Гл. 1Х. Теория упругости З14 можно рассматривать модели упругих тел, для которых )д- =О. (2.7) Для классических простейших моделей упругих сред, построенных без учета эффектов электрической поляризации и намагничивания, равенство (2.7) принимается всегда как основное без каких-либо специальных оговорок.
Опираясь на уравнение (2,5) при условиях уравнения состояния (2,7) и (2.2), выведем теперь общие уран упругого тела пения состояния для упругой среды. Уравиеиие (2.5) перепишем в виде д(1 - д(Г д(1 р" — ае ° + — »Ь; — Н)(а = — — с(е .)- Т г)з, (2,8) д" ы да ' дг р Коли компоненты Л" '=Л"» задать независимо, или считать, что Ля»=0, то соотношения (А) представят собой дополнительные уравнения сверх уже имеющейся замкнутой системы уравнений. Уравнения дополнительных связей (А) в атом сз»учао существенно ограничат свободу изменения определяющих параметров независимо от влияния внешних сил, притоков тепла и краевых условий, что, вообще говоря, непрнемлемо (нет внутренних геометрических связей). Поэтому соотноп»ения (А) должны представлять собой то*кдества, определяющие ЛЯ» ~ О.
Таким образом, для более сложных моделей упругих сред, в которых внутренняя энергия зависит от градиентов компонепт тепзора деформаций, приток энергии»(се* должен быть отличным от нуля п может определяться свойствами внутренней энергии, заданной как функция своих аргументов. Следовательно, при конструнроваиии некоторых моделей сплошных сред проблема окределенпя Идее может разрешаться автоматически после задания внутренней энергшг. В рассмотренном вып»е примере, если прпнять, что приток Нд"е определен поверхностныьш взаимодействиями на границе малой частицы, вызванными яеоднородиостью деформаций, будем иметь »(а*ар»(т= ~ рЛ»1"де»гпх»(з =- ~ и (рЛВ~»(е»,) Ыт; У к ото»ода, так как р У д .= рю )» д и л"а = г»еа (см. (зп) гл.
1ъ, т. 1), получим ,» оа(рЛ»да:и) = 1 дроРЯй "зя 1 ра )» З дйг т» (ре д., »(е»1) . и Эта формула определяет собой обратимый притокмеханической энергии за счет неоднородности деформаций, когда внутренняя энергия зависит от градиентов деформаций, $2. Модель упругого тела Соотношение (2.8) и аналогичное соотношение, вытекающее из (2.6), выполняются для любых процессов в упругом теле.
Изменяя систему внешних сил, величину притока тепла, условия на границе и другие внешние условия, можно осуществить бесконечное число различных процессов, в которых для данной малой частицы в данный момент времени величины д;;, ось г, )(г, ро, Т и р — одни и те же, а приращения ~(ем, ~(г (или г(Т() и Ы)(г различны. Если существует система независимых приращений г)е;;, дг(ЙТ), И)(ю то при дополнительном условии, что )ти зависят только от г;;, ем, ую г (или Т) и что д((ее = О, из (2.8) или соответственно из (2.6) получаются следующие равенства '): (2.9) I зп ( др ', г е1 ° тг )2" хт и и, р,т о' Соотношения (2.9) — (2.11) называются уравнениями состояния упругого тела. Равенства (2.9) связывают компоненты напряжений с аргументами функций с) или Р. Равенства (2.10) служат для вычисления температуры Т (при использовании Г)) или энтропии г (при использовании Р).
Соотношения (2.11) определяют законы изменения параметров )(т, эти соотнопгения аналогичны известным уравнениям Гульдберга — Вааге для описания обратимых химических реаш(ий. Б дальнейшем мы рассмотрим наиболее часто встречающийся случай, когда )(ь постоянны, и не оудем обршцаться к уравнениям (2.11). Уравнения состояния (2.9) для упругого тела представляют собой соотношения, обобщающие закон Гула на случай учета нелинейных эффектов, влияния температуры и возможного присутствия переменных физических параметров (фазовых плотностей и т. и.). Уравнения состоянии (2.9) получены в Уравнения еостовнвя предположении, что величины деы, лг У"РУ "о"о (или г) Т) и г()( линейно независимы.
материала Если между ними существует связь, то формулы (2.9) изменяются. Например, для нес'кимаемого материала имеется дополнительная связь дядем= О, (2.12) ') Прн выводе формул (2.9) подразумеваетоя, что (дП(деп) = = (д(Г/дед), т. е. компоненты симметричного тензора еп входят в фувкцвв й к р симметрично. Гл. > Х. Теория упругости В этом случае, если ввести множители Лагранжа д и >)', то из (2.8) п (2.12) нли нз (2.6) н (2.12) вместо (2.9) получим равенства д>.>' Р" = — Убс —:— Р= де> ° нлн дР р»= ддн, Р дег Для определения множителей Лагран>ка о н д' необходимо воспользоваться уравнением связи (2.12), Зги величины не следует смешивать с давлением. В общем случае о -! о', в конкретных задачах нужно определить либо только д, лабо только ~у'.
Соотношения (2.9) — (2,11) вместе с уравуравнений, описывающих Замкнутая система пением неразрывности (2.3), уравнениями поведение упругого тела движения (2.4) и совместности при е;; = 0 (или дополнительными данными о е>н которые зависят от условий изготовления данного образца материала и в соответствующих задачах должны задаваться отдельно), а такяге вместе с уравнением, выражающим второе начало термодинамики, которое в этом случае может быть записано в виде ~оы> = >>е пли >ууы> = — Т>(',— — ), (2 14) д»" > длт де 'дТ)' образуют замкнутую систему уравнений для описания различных процессов в упругом теле.
При этом долхсны быть заданы У или Р как функции соответствующих параметров и должны быть известны Рг и е)>(ЫЦ Для изотермических процессов удобнее пользоваться соотношениями, в которые входит свободная энергия >>. В этом случае температура Т известна и постоянна, а уравнения движения замыкаются без использования соотношений (2.10) и (2.14). Второе соотношение (2.10) служит при этом только для вычисления энтропии (если это нужно), а (2.14) — для вычисления бды>, необходимого для того, чтобы обеспечить изотермичность процесса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
