Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Даже в том случае, когда вихре( вая нить С является просто окружностью, получающиеся в результате интегрирования формулы довольно сложны. Все результаты сильно упрощаются в пределе, когда радиус вихревой нити — окружности стремится к бесконечности и окружность переходит в прямую линию. Пусть вихревая нить совпадает с осью з системы декартовых координат х, у, г (рис, 100).
Рассчитаем поле скоростей с помощью формулы +ее и= — (, олз, ге х г 4п „г' 10 Л. и. Седов, лом 2 Гл. Ч!П. Гндромехвннкв 290 где гв — единичный вектор, направленный вдоль оси г и совпадаюший с направлением вектора вихря в точках оси г.
г Рассмотрим точку М (х, у) в плоскости ху. Очевидно, что вектор скорости М ленсит в плоскости ху и перпендикулярен к радиусу-вектору р точки М в плоскости ху. у Для величины скорости имеем +сю Г " вга асс и =— 4л р'+ гв Рнс. 100. К Расчету поля скоРостей, ю е сс гол вгеткду 7с и рч пндуцнрувного прямолинейной вихревой нитью, расположенной по осн г. диусом-вектором т*, направленным от оси - в точку М. Этот интеграл легко вычислить. Имеем дг= р —., р +з' = —.— а'а в р' вш'а в1пт а г — = — с18 а, р повтому Г Г Г и =- — ~ в1пайх = —.
4лр З 2лр ' с (26.16) Отсюда следует, что в плоскости хр, а также в любой точке вне оси в имеем Г Ч (26Л7) 2лр р Соответствующее поле скоростей плоскопараллельно, движение жидкости симметрично относительно оси г и одинаково во всех плоскостях, параллельных плоскости ху. Из формул (26.17) следует, что тг =- ягаб ~р, у = — агс18 — +сопв1=- — 6+ сопзг, (26Л8) Г л Г 2л в 2л где 6 — полярный угол в плоскости хр. 11отенциал скоростей представляет собой неоднозначную гармоническую функцию. В плоскости ху начало координат х =- у = 0 является особой точкойдляпотенциала ~р (26.18) и для вектора скорости жидкости (26Л7).
Обозначим через ф (х, р) функцию тока — гармоническую функцию, сопряженнунт с потенциалом 9к Уравнения Коши— 5 26. Важные вримеры вихревых полей 22! Римана др др Г* д! др Гу дл ду 2лр" ду дл 2лра дают Г 1у = — — 1пр '- сопя!, 2л Соответствующая характеристическая функция течения имеет вид ю(г) =- (р+ гф = —. (1пр .- а6) -р сопя$ .—. —.1пг+ сопла, г 2л! ' ' " 2л~ (26.20) Очевидно, что если прямолинейная вихревая нить получается как предел бескояечно тонкой вихревой трубки, для которой вектор вихря оз направлен против оси г, то формула (26.20) остается справедливой с учетом того, что циркуляция Г в этом случае имеет отрицательное значение. Коли прямолияейная вихревая нить параллельна оси г, но не совпадает с осью г, то для характеристической функции ю (г) в атом случае иыеет место формула ж= —. 1п (г — го) + сопя!, г 2л! где г, = — ла + !уа — комплексная координата точки в плоскости ху, через которую проходит прямолинейная вихревая нить, Для конечной или бесконечной системы прямолинейных вихрей (внхревых шнуров), параллельных осн г, проходящих в плоскости .тр через точки га„, будем иметь т ю =,У,~ —,' 1п(г — гвх) + —,!и С„), (2(!.21) а Поле и потенциал скоростей системы нрлмолияейных вихревых линий Ыы .
ч à — = ы — !в= т. Ла ~-~ 2кг (т — т ) оа (26.22) Для определения скорости частицы в точке расположения вихря г», необходимо по определению воспользоваться суммой 10» где ф— постоянные, которые можно выбирать дополнительно для обеспечивания сходнмости бесконечной суммы (26.21). Поде скоростей можно вычислить, взяв производную т!ыЯг = и — !в, называемую функцией скорости. На основании (26.21) имеем 292 Гл. УПК Гидроиехаиика (26.22), в которой опущен один член, отвечающий точке з„„ Г, 1 2ж х — т гв В частности, для периодической цепочки точечных впхрей с одинаковыми циркуляциями Г» = Г, расположеяных в плоскости ху вдоль прямой с периодом 1 (( может быть комплексным), имеем х«» — — х, + И ( — оо ( й ( + оо).
Ряд (26.22) ври объединении членов с г«» и хц»> легко суммируется и получается, что Поле и потенциал скоростей «доро»а<ив вяхрей Нш Г г — ы †.= — сфл и'г 2П 1 (26.23) откуда Поле скоростей иепрерывиого распределеиия прлиоаииейиых вихрей ж = — 1п »1п — (г — х«) + сопзЬ. Г .
л (26.24) 2л$ Фор»1ула (26.24) следует из (26.23) в результате простого интегрирования, агу формулу можно вывести непосредственно из (26.21) при подходящем определении С». Прп С» = — - 1 ряд для и в (26.21) расходится. Пользуясь формулами вида (26.23), путем суммирования можно строить воле скоростей от нескольких периодических «дорожек» вихрей, расположенных вдоль одной и той же лрямой или вдоль различных прямых. В предыдущих выводах рассматривалось поле скоростей, индуцируемое заданной системой вихрей. Коли область, занятая движущейся жидкостжо, имеет границы, то при построении поля скоростей, ивдуцируемого вихрями, необходимо опереться на соображения, развитыо в конце предыдущего параграфа. Ро многих интереспых случаях можпо удовлетворить граничным условиям иа плоских участках границы или на границе, составленной из частей окружности, с помощью метода зеркальных изображений.
Аналитическое продолжение потоков сквозь границы может приводить к необходимости рассмотрения поля скоростей в многолистном римаповом пространстве, — зто относится не только к плоским, но и к пространственным задачам. Рассмотрим плоскопараллельпое явим»ение, когда система точечных вихрей распределена непрерывно вдоль отрезна некоторой кривой о' в плоскости ху.
Имеем „ыг (26.25) и» 2Л»,1 г — Ы («) 2Л$ 3» — Ы а 8 где 0 — аргумент элемента дх«кривой 8. 1 29. Важные примеры вихровых попей 293 Для функции скорости дк!562 получилгя интеграл типа Коши. Согласно (26.26) функция 5(!г,'5(з регулярна во всей плоскости, разрезанной вдоль Я. Криволинеипый отрезок Я (след вихревой поверхности на илоскостн ху) является линией разрыва касательных скоростей.
Если при плоскопараллельном движении вихри расположены непрерывно по некоторой площади Х, то для функции скорости и — 5О мои;но написать ы — 5у = 1 ( Т(М)555 (2(6 26) 2 и!,) а — аа где 7 (М)1Π— — 5(Р— циркуляция элементарного прямолинейного вихря, соответствугощего бесконечно малой площадке йо. Согласно равенству 55! .— —. 2ыда получим, что у (М) = 2ы (М).
Если на площадке Х величина ы постоянна, то для поля скоростей получим формулу и — ап = — ' () -— — — ()~) .. (26.27) Т (' 5(5 Т ('( ~Ьаа(у5а 2п! 3 а — аа 2п! \,) х — ха+5(у — уа) ' Легко видеть, 5то интеграл в правой части (26.27) сходится не только для точек з вне площади Х, но и для точек з, лежащих внутри Х, для которых при з = з, подыптегральное выражение обращается в бесконечность. Если 2 — площадь круга радиуса а с Поле скоростей круглого центром в начале координат, то интегнихри пестепижай нанни рал (26,27) легко вычислить.
Н полярных координатах имеем а! ы, Т ~ ~ ! !о5,,4)!! и о !)ДОЛЬ ОКРУ5КНОСТИ ЗГ (Оо) С НОС!ОЯПНЫЫ РаДИУСОМ Оа ИМООМ !або =- (5(хо55зо). гаоэтому 5! — 5О= — — з! ра а)за о гтеъ) а О ОГ)аа) Если точка з =- рвы находится вне круга радиуса а, то внутренний ингеграл равен 2яа, поэтому во внешних к вихрю точках имеем Тпа' Г 1 Г ы — оп — — 5е"аа (26.29) 2и5а 2ж а 2пр Гл.
УП1. Гкдромеханкка 294 В области, внешней к цилиндрическому вихрю, поле скоростей такое же, как от точечного вихря, расположенного в центре цилиндрического вихря и имеющего ту же, что и цилиндрический вихрь, циркуляцию. Для внутренних точек имеем, что при р, ( р внутренний интеграл по Л' (р,) по-прежнему равен 2л1, прн ре,р р внутренний интеграл точно равен нулю, поэтому верхний предел а во внешнем интеграле следует заменить на р.
По формуле (26.28) найдем тлре юр1,- е 2лм (26.30) Следовательно, внутри цилиндрического вихря с плотностью интенсивности у = 2го распределение скоростей получается таким же, как прн вращении жидкости как твердого Ркс. 101. Распределение скоростей от круглого вихря. внутри вихря 2ле* Гр (26.32) Это распределение скоростей построено на рис. 101. На границе вихря скорость непрерывна. Очевидно, что поле скоростей на далеких расстояниях от точечного вихря можно трактовать как поле скоростей от круглого вихря конечной интенсивности малого радиуса, и наоборот. г) длк определекности принимаем, что и ) О.
тела вокруг оси х с угчовой скоростью ог. Направление ') скорости в обоих случаях определяется множителем — 1е-'е, указывающим, что вектор скорости направлен перпендикулярно к радиусу-вектору р, при !' ) 0 в сторону возрастания угла 6. Для модуля скорости вне вихря имеем — Г=2 Г (26.31) 2лр' 27.
Дянамнчесвая теория цялнндрнческях вихрей 295 5 27. Динамическая теория цилиндрических вихрей раснределенне давленнй в случае круглою вихря конечного раднуса ра = — р — = —— ар г дг где р — плотность ткндкости. Полагая давление в бесконечно- сти равным р„, получилт [ гг2 Р Ров г СО (27.1) Отсюда следует, что давление уменьшается монотонно при дви >кенни из бесконечности к центру вихря. (В (27.1) и следующих формулах радиус-вектор в плоскости движения хр обозначаем буквой г, а не р, как зто было в предыдущем параграфе.) В области, вне|пней к вихрю, т.
е. при г ) а, из (27.1) и (26.31) при постоянной плотности р получим с,ссе4 Р = Рс — — ' 2г' (27.2) Внутри вихря, т. е. при г - а, из (27.1), (26.31) и (26.32) получим р = Є— рготат + — . сгвтг' 2 (27.3) Минимальное давление получается в центре вихря Ряяо = Рс — Рю а ° (27.4) На рис. 102 приведен график распределения давления по радиусу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
