Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 55
Текст из файла (страница 55)
При решении некоторых частных задач прп продолжении в л) распределения вектора ю, заданного в Т, могут оказаться очень полезными соображения симметрии. Обозначим через и, (х, р, з) вектор скорости, полученный по формуле (25.28) после продолжения е н гв во все пространство, и положим Гл. ЧП1. Гилромехаиика Для определения индуцированного магнитного поля Л' или соответственно индуцированного вихревой нитью поля вектора скорости тг иа основании формулы (25.26) можно на- писать и —— 1 ГмХг г)т, 2я ) ге (26Л) где интеграл распространен па объемвихревой трубки. Вдоль тонкой вихревой трубки имеем ю' И = го гЬ Ж = Ивог 6с = — Г 6в, 2 где дв — елемент линии С, йт — бесконечно малая площадь нормального сечения вихревой трубки, а à — циркуляция скорости по любому контуру г, охватывающему один раа вихревую Рис.
94. Замкнутая тонкая вихревая трубка в беаграиичном объеме жидкости. трубку (см. рис, 94). Постоянное вдоль трубки апачеиие циркуляции Г является основной кикематической характеристикой вихревой трубки. Переходя в (26.4) к пределу при до -+.0 и оз — оо при условии конечной циркуляции Г = 2го да, получим Г ~леХз с (26.2) Эта формула определяет распределение скоростей от вихревой линии или распределенно магнитной напряженности от соответствующего линейного тока. Формулу (26.2) мо~кио написать в виде и(х, у,х) — — ~дп, где ггс(х, у, г) = — е ". (26.3) Элементарный вектор Ии можно трактовать как бесконечно малую скорость, иидуцируемую элементом 4~ вихревой линии в рас- сматриваемой точке (см.
рис. 94). $26. Важные прнмеры вихревых полей 281 Векторное равенство (26.2) или иная его запись в форме (26.3) составляет закон Био — Савара. Элементарная скорость Ит/, индуцируемая элементом вихревой линии дд, перпендикулярна к площадке, определяемой векторами с/д и т, н равна по величине Г 'р/азша! Йю) =— 4и еа (26.4) = )/ (х — $)'+ (у — ц)а -(- (з — Г)', то — = дгайщс „, с1(1/г), (т =- ХМ), и поэтому по формуле (26.2) имеем ~4 ~ а е ~ 4 $~д~( ) " дз' (26.5) Применим теперь к контурному интегралу (26.5) формулу Стокса ~ РН$+ ((й~+ А((~ = ~~„% зо) + % дн) + в где Х вЂ” поверхность, натянутая на контур С, а, (), у — направляющие косинусы положительной нормали к Х, направление которой определяется направлением интегрирования по контуру С, связанному с направлением вектора вихря /о.
Под (11 д /11 лоясим Р =О, ~ = — ( — ), В = — — ~ — ~; учитывая, что 1 Лк — = О, получим гдв а — угол между сЬ и т (см, рис. 94). Очевидно, что поле скоростей от взолиПотеппиал скоростей, рованной вихревой нити во всем проствндуцируеиых вихревой ранстве вне точек этой нити безвихревое и, следовательно, котенцнальное. (Вычислим потенциал скоростей, индуцируемых изолированной аамкнутой вихревой нитью. Так как 282 рл. Ъ'Ш. Глдромехаккка Так как то можно написать дГд /1; 4л дх ~да,(,г / или окончательно ГГ д где гр = — — ~ — — е)5.
(26.6) 4л ~дал, Е Теорема Ампера Следовательно, потенциал поля скоростей, индуцированных замкнутой вихревой нитью в безграничной массе жидкости, можно рассматривать как потенциал двойного слоя — потенциал распределения днполей постоянной интенсивности по поверхности Х, натянутой на контур вихревой нити. Это предлох;ение в крнмененин к магнитному полю показывает, что магнитное поле, индуцнрованное замкнутым током, можно рассматривать как магнитное поле от системы элементарных магнитов постоянной плотности, распределенных по поверхности Х, натянутой на контур тока, т. е.
магнитное поле от магнитного листка. Поверхностный интеграл в формуле ',26.6) определяется положением точки М и поверхности Х; этот интеграл является геометрической характеристикой, он зависит только откоординат точки М и контура С, так как поверхность Х может быть любой поверхностью, натянутой яа контур С. Выясним детально геометрический смысл талия лотекцкалаиагайт- потенциала ф в формуле (26.6), Возьмем ного листка элемент й~ поверхности Х (рис.95).
Имеем где оз, — проекция оо на плоскость, перпендикулярную к радиусу-вектору г, а ой — телесный угол, под которым элемент еЬ виден из точки Лт. Величина е)е) -О, если у(90' (т— угол между и и ЗХ.дг), и й)(0, когда у) 90'. На основании (26.7) получим З 26. Важные крямеры вихревых полей 283 где аз — полный телесный угол, под которым видна ориентированная поверхность Х из рассматриваемой точки М (рис.
96). Рис. 95. Геометрический смысл элемопта полыктегральпого выражения в формуле (26.6) величины — д!дя ((/г) Ыо), Рис. 96. Для точки Мг имеем Яг ) О, лля точки Ма имеем Йэ (О. Для точки М, имеем у ( 90', поэтому йг ~~ О, для точки Ме т > 90, и поэтому йз(0. Согласно формуле Био — Савара поле скоростей непрерывно во всем пространстве, аа исключением контура вихревой нити С.
Из формулы (26.6) следует, что в бесконечности потенциал <р (х, у, з) исчезает как 1/Ва, где В = у' х'+ ра+ яз, а величина скорости исчезает в бесконечности как т/Вз. Потенциал ~р, определенный формулой На магнитном листке (26,6), является регулярной гармоничепотепциал Ф и телеспый ской функцией во всем пространстве, аа угол Й терпят разрыв исключением поверхности Х, ограниченной контуром С. Циркуляция скорости тг по контурам Я, охватывающим вихревую линию, одинакова и равна Г. Из формулы где фэ и ~рг — значения потенциала на разных сторонах поверхности Х, следует, что поверхность Е является поверхностью разрыва потенциала ~р (см.
рис. 96). Таким образом, поверхность Х является поверхностью разрыва для потенциала ф и для угла й, причем скачок этих величии на поверхности Х постоянен. Имеем ~рэ — ~р, = à — - сопл( и ЛЯ = (й)= — 4я (26.8) в случае изолированной вихревой нити. Гл. У1П. Гвдромехавика Скачок ф постоянен вдоль Х, и поэтому поле скоростей вдоль Х непрерывно. В рассматриваемом примере в качестве поверхности Х можно взять любую поверхность, натянутую па контур нити С.
При конечном Г только контур нети С ~Ф является особой линией г поля скоростей, при приближении к точкам конту(' с - ) " " ' ра С интеграл (26.2) расходится, вектор скорости ,1 и стремится при этом к х бесконечности. В пространстве, разрезанном по поверхности Х, потенциал ф — однозначная регулярРис.
97. Вихри, непрерывно распрвде ная гармоническая функ- ленные по поеерхкостк Е', ввдуцкру- ция. В двусвязном простют поле скоростей с разрыеоы касатель- ранстве вне особого контура С потенциал ф является неоднозначной периодической регулярной гармонической функцией. При обходе по контурам вида Ж потенциал получает приращение, равное циркуляции Г.
Из общей формулы (26И) ясно, что поле скоростей, индуцируемое системой конечного или бесконечного числа вихревых нитей, и соответствующий потенциал можно определить с помощью сумм вида ХГь ~ й~х. зя ы х см ~зйл 3 да(,г а вх ф= — — 14Г 1 — — п ва (26.9) при условии, что эти суммы сходятся. Рассмотрим теперь конечную поверхность Х е, ограниченную контуром С, на которой непрерывно распределено семейство замкнутых вихревых нитей с непрерывно изменяющейся от нити к нити интенсивностью (рис.
97). Обозначим через 6Гх интенсивность элементарной вихревой трубки Сд. Потенциал скоростей от такого семейства вихревых нитей представится ин- тегралом 26. Важные примеры ввхрееых полей 285 В этом случае потенциал ~р на каждой из сторон поверхности Хе конечен и непрерывен, но терпит разрыв при пересечении Хе по нормали.
В точках любой промежуточной вихревой линии С» будем иметь р, — р, = Г, = ~ (Г,. с (26.10) Ввхревая поеерхпость— поверхность разрыва касательных скоростей Так как вдоль С» циркуляция Г» — — сопэ1, то при дифференцировании (26.19) вдоль С» получим д(ре д<р1 — — — =е,— и, =О, д, де в э т. е. касательные составляющие поля скоростей на вихревой линии С» непрерывны.
В направлении нормали и, к С», распо- ложенной в плоскости, касательной к поверхности Ве (см. рис. 97), имеем др дте д~р1 3 эен пап дю дя» ощ (26.11) т. е. касательная к Хе в направлении и, составляющая скорости терпит на Хе разрыв, который формулой (26.11) связан с распределенном циркуляции, взятой по замкнутым контурам типа У» (с»ь рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
