Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 46
Текст из файла (страница 46)
у111. Гидромеханнна На сфере условия прилипания на основании (19.12) дают а а 0 = и = — — + и„откуда и, = —, ЗН 311 (19.16) О=-и=-и, д О=ш=юд. Отсюда ясно, что задачи Дирихле для дд и идд, обращающихся в нуль на сфере и в бесконечности, имеют решения, тождественно равные пулю х =иг ==О. (19.17) Компонента скорости и, обращается в а'(ЗЛ) на сфере и имеет постоянное значение 77 в бесконечности. Обоим этим условиям можно удовлетворить, если взять для ид гармоническую функцию: дгд = 7'+ —, где с — постоянная. На сфере первое из условий (19.16) дает 77 + — ' = — откуда с = — — 77Л. (19.18) и зк ' 3 Для определения а осталось использовать и удовлетворить уравнение (19.1), которое имеет вид — — — + ядр = О.
да,, да, д, дх ' ду дг (19.19) Так как хд =- и, = —..О, то это уравнение на основании (19.14) приводится к виду дид сх ах дх га г га Отсюда и из (19.18) найдем Формулы для данненин и скорости раллельной оси х 377Я1дх Р = Ра (19.20) 3 /1 и = — — Л77( —, 4 1г' и= — — Л77( —, 4 ю — — Л77 (— 3 /1 4 31дгд а = с ==— 2 Таким образом, полное решение задачи об установившемся обтекании шара потоком с постоянной скоростью 17, папредставится в виде формул: Лд , 3 1 Я377 — — „, ) ха — — '77Л вЂ” — — + 77, га 1 4 г 4г' Л' — — „, ) ху, гда д Гл.
ч П1. Гндромеханнка Примем теперь, что поверхность Хе состоит из поверхности сферы Хе и любой взятой в жидкости замкнутой поверхности Х, охватывающей сферу. Из (19.22) следует, что А = ~ тт с1о = ~2т„Ыа. Ее Е (19.23) В качестве поверхности Е возьмем поверхность параллелепипеда с центром в начале координат и со сторонами, параллельными координатным плоскостям. Пусть 21 — размеры ребер, параллельных оси х, а 2Ь вЂ” размеры ребер, параллельных осям у н х (рис. 85). Формула (19.23) в проекции на ось х на основании свойств симметрии решения дает ') А„=и =4 1 р,„бс+ з.ц,ы + ~ р„„(с — ~ р„.
(;; з,(ь,ь) зкь,ь> (19.24) здесь через Я, и Я обозначены передняя н задняя грани параллелепипеда, перпендикулярныо к оси х, а через Яа — грань, перпендикулярная к осн г(см. рис. 85). В силу симметрии силы по всем четырем граням, перпендикулярным к осям з и у, одинаковы,поэтому интеграл по Яа взято множителем 4. Длл вычисления интегралов от поверхностных сил найдем р,„и р „,. На основании закона Навье — Стокса и решения (19.20) имеем Рнс. 85.
Выделенный объем жидкости ограничен параллелепипедом к сферой. ди 9(„1гЛ ве р = — р Ь 2)ь — = — ре+— лх а 2 га (ди дю) 9 хгх Р. =)г(д, + дх)=-2~~(х ~+". (19.25) (19. 26) ') Для изменения проекции ла ось х количества движения имеем Щ„/вс = ~ ии„дс, где китеграл взят по поверхности параллелепипеда. Иэ-еа симметрии интеграл по всем боковым граням обратится в нуль, интегралы по равноудаленным от центра сферы передней и аааией гралвм отличаются только знаком, так как в силу решения (19.20) и (*) = и ( — с), а оа = и на передней грани и се = — и ва задней грани. Следовательно, при таком выборе контрольной поверхности Х е = 2а + 2 для решения (19,20) верно точное равенство Ы(1 Яс = О. 1 20.
Движение жидкости э цклвкдрическцх трубах 225 В этих формулах указаны только главные члены. Следующие члены при больших г имеют более высокий порядок малости. Сначала перейдем в (19.24) к пределу при Ь -э- . Из (19.26) следует, что при конечных х величина р,„при г -+- са имеет по- 1 рядок †,,поэтомупри Ь -+. получим, что 1нп р„А=.О. Учитывая это равенство и формулу (19.25), из (19.24) при Ь =- с получим И' == 2 ~~ ~ ~2 Н, Ь ...)з1з)з)с(6, (19.27) э где з1 н 6 — полярные координаты в плоскости Яз. Первый член в скобках имеет порядок 1Пэ, следующие не выписанные явно члены имеют порядок И'. Полагая з) =Ъ и переходя к пределу при 1-» со, найдем И' = 18(з(7Ля ~, =- 6и)зЛГ7, (19,27') так как не выписанные члены в (19.24) в пределе при 1-+.
со равны нулю, а определенный интеграл в (19.27') не зависит от1и равен 1/3. При движении шара в вязкой несжимаемой жидкости сопротивление получилось отличным ат нуля. В этом случае очевидно, что коэффициенты сзх в формуле (19.3) сводятся к сбх, причем прис(=- Л с= 6я. Выше была решена задача о движении сферывнутри вязкой несжимаемой жидкости. Это решение соответствует действительности только при малых значениях числа Рейнольдса й .= (УЛ/т) (( 1.
Границы применимости формулы (19.7) мозкно усмотреть из графика, приведенного на стр. 419, т. 1. $ 20. Движение неся<ииаемой вязкой жидкости в цилиндрических трубах Система ураевенкй движения Рассмотрим движение несжимаемой вязкой жидкости в длинной цилиндрической трубе произвольногопоперечногосечения.
Выберем декартовы оси координат так, чтобы ось х была направлена по оси трубы. Обозначим через Х поперечное сечение трубы плоскостью ху и через С контур, ограничивающий Х (рис. 86). Будем искать решения уравнений движения, Гл. т Ш. Гидрокеханика предполагая, что линии тока — прямые, параллельные оси х, иначе говоря, примем, что и = и = О, нт~ О. с Рис. 86. К течению вязкой жидкости в цичиндрнческой трубе. Полная система уравнений движения я<идьости, состоящая из уравнения неразрывности йрко = 0 и уравнений Навье — Стокса де — == — — ягад р + чйо, ~Й в этом случае сильно упрощается и принимает следующий вид: — =О, (20.1) др д, — = — =О, дх ду (20.2) дю $ др /дхю дех 1 дс р дв ' ( дх' дут) (20. 3) Из (20.1) и (20.2) непосредственно вытекает, что ю = нт (х, у, К) (20.4) (20.5) р =- р(х 1).
Ясно, что равенстно (20.3) может иметь место только тогда, когда др ! д~в дею ~ дх — =р( — + — ) — р— дг (, дхе дуе! д~ является функцией только одного времени 1 в случае неуста- новившихся движений и постоянной величиной в случае уста- новившихся движений. $20. Движение жидкости в цилиндрических трубах 237 Обозначив др/дг через — 1, будем иметь р= — 7г+См (20.6) Распределение давлений вдоль оси трубы где постоянная интегрирования С зависит вообще от 7, если движение неустановившееся. Таким образом, вдоль трубы давление изменяется в зависимости от г по линейному закону и имеет одно и то же значение во всех точках сечения, перпендикулярного к оси трубы.
, Величина др да (20.7) дю 7 н — = — + — Лю, д1 р о (20.8) и граничное условие прилипания на контуре С: ш= иlе, (20.9) где ше — заданная, параллельная оси г скорость стенок трубы. Если стенки трубы неподвижны, то ше = О. В общем случае контур С может быть составлен нз нескольких замкнутых контуров, некоторые из которых могут быть подвижными. Если движение жидкости неустановившееся, то для определения движения следует задать начальное условие при г = Ге (х Р Ге)=1( Р) где г(х, у) — известная функция.
Если рассматривается задача об установивптихся колебаниях вязкой жидкости в цилиндрической трубе, когда 1 =. Вее1(1ееом), где 1е и со — заданные постоянные, то для ю можно искать решение в виде ш(х, у, г) = Кее1 [1, (х, у) е'""1. представляет собой изменение давления вдоль оси трубы, отнесенное к единице длины трубы, и называется перепадом давления вдоль оси трубы.
Для полного определения вида прямой (20.6), характеричующой изменение давления вдоль оси трубы, т. е. для определения перепада 1 и С, достаточно задать значения давлений в каких-либо двух сечениях трубы. Рассмотрим теперь задачу об определении Задача об ондеделенни скорости движения жидкости в труба при саорости условии, что перепад давления 1 задан. Для определения ш (х, у, г) на основании (20.3) и (20.6) имеем следующее уравнение: 233 Гл. УП1.
Гкдромехаккка Если движение жидкости установившееся, то ю' = сопьг, дш~де = 0; скорость ш (х, у) должна удовлетворять уравнению Пуассона с постоянной правой частью йш= —— 1 (20.10) и граничному условию (20.9) на контуре С. Поставленная та- ким образом задача об определении функции ш (х, у) простой заменой искомой функции ш(х, у) = ф (х, у) — — (х'+ йа) 4р (20.11) сводится к задаче Дирихле об определении гармонической функции ф (х, у) в области Х, ограниченной контуром С. Действительно, подставив (20.11) в уравнение Пуассона (20.10), видим, что функция ф (х, у) должна удовлетворять уравнению Лапласа —.
+ —. = О, д'~~ 3~ф дх' ' ду~ (20.12) и, согласно граничному условию (20.9) для ш, получим, что функция ф на С должна принимать значения ф —.— шд + — (х'+ у'). 4р (20.13) В нашем случае, очевидно, 1 дш е 2 ду 1 д е„= — —, 2 дх' ем = ем = езз = е,» = О, Очевидно, что на заданном контуре С функция ~р известна, когда скорость ше известна. Решение внутренней задачи Дирихле, а следовательно, и задачи об определении скорости ш (х, у) единственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
