Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Если обратиться к формулам (16.1), то станет очевидным, что суммарная сила и суммарный момент будут отличаться от соответствующих снл н моментов, определенных для относительных скоростей ~Т (16.16), только «гидростатическнми» слагаемыми, определенными по значениям сил инерции. При определении этих сил нужно учесть, что роль ускорения силы тяжести д теперь будет играть величина — дТ7„„,/й, где производная по времени берется относительно «неподвижной» инерциальной системы координат. В частности, если тело в порывистом потоке идеальной жидкости неподвижно, то на него со стороны я«ндкости будет действовать сила Архимеда, равная — рг'ЛТ»«,Яг, где г — объем тела.
Зта сила направлена не по скорости ветра, а по его ускорению. Очевидно, что эта сила может быть противоположна скорости ветра. Однако надо иметь в виду, что в данном случае рассматривается непрерывное двия«ение идеальной несжимаемой жидкости и прн отсутствии ускорения внешнего потока имеет место парадокс Даламбера. Сделанные выше выводы о различии гндродинамнческнх сил прн обращении ускоренных потоков только за счет «силы Архимеда», вызванной силами инерции, сохраняют свою силу в общем случае для других схем течения и других сред, когда условия, определяющие поток, имеют кинематический характер н не зависят от добавления каких-либо массовых сил в уравнения движения.
й 17. Движения газа е малыми возмущениями В з 11 было показано, что задача об определении потенциала скоростей ~р (х, у, г, 1) возмущенного баротропного движения газа в случае малых возмущений сводится к решению волнового уравнения » Д~~ (17.1) в При рассмотрении конкретных задач необходимо находить решения волнового уравнения, удовлетворяющие соответствующим дополнительным условиям: краевым, начальным или другим.
1 17. Движения газа с малммн возмущениями 211 Решение волнового уравнения е илоеянми волнами Рассмотрим сначала случай движений газа с плоскими волнами, когда потенциал ф зависит только от одной координаты х и от времени г. В атом случае волновое уравнение (17.1) приобретает следующую простую форму: (17.2) оо Легко видеть, что общее решение этого уравнения имеет вид ф (х, о) = 1г (х — аД +1о (х +аор) =- 1г ($) +1о (з)), (17.3) где 1г (з), 1о (ц) — произвольные дважды дифференцируемые функции своих аргументов ~ = х — аоз н Л = х +а„! соответственно. Действительно, в результате дифференцирования (17.3) будем иметь ар - - сор ,=„, =1.а+1(ц), — „, = .(1.В+1.(ц)) Отсюда непосредственно видно, что (17.3) удовлетворяет уравнению (17.2) при произвольных функциях 1г и 1о, вид которых при решении конкретных задач необходимо определять из дополнительных условий.
Установим теперь некоторые основные свойства решений уравнения (17.2). Рассмотрим сначала случай ф = 1 (х — аМ = 1г й) и допустим, что в момент времени г = 0 потенциал возмущенного движения ф (х), а следовательно, и 1, ($) имеет зид, изображенный на рнс. 77, т. е. функция 1г(з) отлична от нуля только на участке от 0 до хо = $о. В любой последующий момент времеви г ) 0 'р (х р) — 1з (* ао~) = 1г(з) и потенциал ф (х, р) отличен от нуля только при 0» х — ао1~ х„т. е.
при ао~ (х( х,+ аог (рис. 78). Видно, что область возмущенного движения переместится по оси х вправо на расстояние х =- аог. Ясно, что существенной особенностью решения уравнения (17.2) для плоских волн прн малых возмущениях является свойство сохранения в плоскости х1 формы возмущения. Рассматриваемое возмущенное движение Гл. УШ.
Гидромеханнка представляет собой перемещающуюся поступательно вправо прогрессиеную волну неизменного вида (см. рис. 78). Поступа- тельная скорость распространен(х)-)Ф ния первоначального возмущения вдоль оси х будет равна ае = Ядр/гор)« — «скорости авука» в незозмущенном состоянии покоя. Отсюда непосредственно видно, что скорость ае Р действительно представляет собой скорость распространения слабых возмущений, зтим оправдывается Рнс. 77.
Начальное значение название о, — «скорость звука», потенциала возмущенного дви- так как, в частности, звуковые ження. колебания можно рассматривать как малые механические возмущения в жидкостях, газах н вообще деформируемых средах. Аналогично решение 7 (х г) = 7» (1)) представляет собой прогрессивную волну, распространяющуюся поступательно влево со скоростью а„а сумма решений ~р (х, 7) = 7' ($) +ЯЧ) представляет собой сумму двух прогрессивных волн, одна из котоРьгх, 7«($), РаспРостРаниетсЯ впРаво, а втоРаЯ, 7«(Ч), Рнс. 78.
Возмущение в проиавояьнмй момент времеви. влево вдоль оси х со скоростью звука а, (рис. 79). В общем случае, если 7', (З) и 7' («)) отличны от нуля только на конечном интервале О ( 5 < х, и О < «) < х„стечением времени произойдет рааделение первоначального возмущения на две отдельные прогрессивные волны, распространяющиеся в разные стороны; зто разделение произойдет за конечное время $17. Движении газа с малыми возмущениями 213 ст= хс/ас. Эффект рааделения возмущения, заданного в конечной области, на две бегущие в разные стороны прогрессивные волны будет сохраняться, начиная с некоторого момента времени, до рве а! с~(х,г) аа Рис.
79. а) Начальное возмущение, 6) две прогрессивные вол- ны, распространиющиссп вправо и влево со скоростью ас. Рещение волнового уравнения со сферическими волнами (17.4) где г — произвольная дважды дифференцируемая функция своего аргумента г -~- а г. Действительно, в результатедиффе- в том случае, когда вначале покоящаяся среда бесконечна по оси х вправо и влево. Если на оси х имеются граничные точки (плоская стенка, свободная граница и т.
п.), то прогрессивные волны при подходе к границе будут взаимодействовать с ней и могут возникнуть «отраженные» волны, распространяющиеся от границы внутрь среды. Если возмущенное движение газа обладает сферической симметрией относительно начала координат, то потенциал возмущенного движения у зависит только от г = )~ха + ус + хс й от времени г. Покажем, что волновое уравнение (17.1) в случае возмущенного движения со сферическими волнами имеет решение вида 214 Гл. Ъ'Ш.
Гидромехаиикз реицирования (17.4), так как дг(дх = х!г, дг7ду = угг и дгlдх = Ыг, получим дф (х, г'х х гз ' гг Фф (, З(х'- ('х (' 2рх~ ("х дх' г' га г' г~ гз дгф а„'(" дп г Отсюда непосредственно видно, что выражение (17.4) удовлет- воряет волновому уравнению (17.1) при любой функции г' от г-( лай Для исследования решения (17.4) запишем это решение в виде Я (аи — г) 4яг (17.5) Примем вначале, для простоты, что ч — аналитическая функция своего аргумента. Нетрудно усмотреть, что потенциал скоростей (17.5), удовлетворяющий волновому уравнению, можно рассматривать как обобщение соответствующего потенциала от источника в несжимаемой жидкости ф = — () (()г4яг, удовлетворяющего уравнению Лапласа. Действительно, при малых г, разлоя.ив () в ряд Тейлора, получим выражение 4 4ч + Я(аы) О( г) главный член которого совпадает с выражением для потенциала скоростей течения от источника, расположенного в точке г = О в несжимаемой жидкости.
Переменный объемный расход этого источника определяется функцией () (ааг). Для характеристики основных особенностей соответствующего сферически симметричного движения среды предположим теперь, что в точке г = О безграничной массы жидкости имеется источник, который действует некоторый малый промежуток времени т. Зависимость расхода этого источника С) (ааг) от времени г имеет вид, изображенный на рис. 80, расход отличен от нуля только при О ( ( < т. Посмотрим, как со временем будут распространяться по объему жидкости возмущения, посланные этим источником.
Из вида решения (17.5) ясно, что при ( ) О и г ) О потенциал возмущенного течения будет отличен от нуля только тогда, когда аа( — г будет лежать в пределах О .- ааг — г ( аэ т. В каждый фиксированный момент времени ( ) О потенциал ф будет отличен от нуля только для тех г, которые удовлетворяют 17. Движеюдя гааа с малыми возмущениями 218 неравенству В противоположность плоским волнам, форма которых прн их распространении сохраняется, интенсивность сферических волн при их распространении со временем падает благодаря наличию множителя 1/г в формуле (17.5). Это связано с тем, что, распространяясь, возмущения захватьдвают область пространства между двумя сферами Яд н Я„объем которой возрастает пропорционально га.
Решение волнового уравнения (17.5) представляет собой движение с расходящимися от точки г = 0 сферическими волнами. Аналогичным путем можно рассмотреть решение волнового уравнения вида Ч' = О (г+ аеО Рис. 80. Пример зависимости расхода источника, действующего в начале координат, от времени. Рис. 81. Заштрихована область возмущенного в момент времени д ь т движения жидкости от источника с расходом, отличным от нуля только в конечный промежуток времени т.
которое представляет собой сходящиеся из бесконечности к точке г = 0 сферические волны (источник в бесконечности). Для сходящейся волны интенсивность возмущений нарастает при подходе к центру симметрии. Для многих приложений особенно важен случай расходящихся сферических волн. Однако аффект усиления возмущений в сходящихся волнах во многих вопросах также интересен и используется на практике. Возмущения, посланные источником, в несжимаемой жидкости мгновенно распространяются на всю массу жидкости.
аег ~~ г -.л ао (1 — т). Таким образом, область возмущенного Ор + 0) течения будет расположена между двумя сферами Юд и Яд радиусов гд — — ае(1 — т) и гд=аег = г, +ает с центрами в точке г = 0 (рис. 81). уд аут) Указанная область возмущений подвижна, передний Я, н задний Яд фронты возмущения распространяются по жидкости со скоростью ае.' агд йд а — = — = ае. ,дд,н е лат атг г(Е Гл. УП1. Гпдромоханкка В сжимаемых средах возмущения распространяются с конечной скоростью, причем малые возмущения распространяются со скоростью звука ао = )г (ггр/г(р)о . Выше (см. гл. ЧН т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
