Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Введем проекции скоростей Го и 1в на оси подвижной системы Пв = и'з + Пз,1 + ПЧс, (14.2) 14 Цвз ' Цву -в загсу в'гз + вв у + ввввс. (1 в.й) Поле скоростей в твердом теле будет известно, если будут известны шесть функций ув времени г. Если движение идоальной несжимаемой Поетакозка задачи жидкости, вызванное движением тверо движении жидкости дого тела, возникло из состояния покоя и непрерывно, а внешние массовые силы потенциальны или отсутствуют, то это движение будет потенциальным Гл. УШ. Гидромеханика и = дгаг) ф, причем потенциал ф будет одноаначной') функцией координат.
Для определения движения жидкости достаточно онределить потенциал скоростей ф (х, у, з, г), который должен удовлетворять всюду в области Ю вне твердого тела уравнению Лапласа (14.4) дзф деф д'ф Аф = —. ч- — + — =О даа дчз дзз и следующим граничным условиям: в бесконечности должно быть (14.5) (ягаб ф) = О, так как по условию скорость двилсения жидкости, вызванного движением твердого тела, должна затухать в бесконечности, на поверхности Х твердого тела должно выполняться условие непроницаемости и безотрывности течения — = 5ге =Р);.и+(йхг) и =оТ„.зз + й.(гхтз), (14,6) Сведение задачи о движении жзшкости в шести аадачам Иеймана, зависящим только от геометрии тела (14.7) или в виде (14,8) ф = ~?е.
Ф, + ьг Ф„ где Ф, = Р,з+ фзт'+ фзус, Фз = фзб + фз| -~с фз~ (14.9) г) Внешность поверхности тела, область, в которой происходит непрерывное возмущенное движение жидкости, может быть многосвязной. Однозначность потепциала, свяванная с равенством нулю циркуляции по любым замкнутым контурам, следует из теоремы Томсона и условия непрерывности движения жидкости. где тз — внешняя по отношению к области, занятой жидкостью, нормаль к ловерхностн тела Х. Таким образом, искомый потенциал должен быть решением внешней задачи Неймана. В з 12 мы показали, что кинетическая энергия такого возмущенного движения жидкости коночна, если скорости частиц жидкости конечны, и что так поставленная аадача Неймана имеет единственное решение. Пользуясь линейностью поставленной выше внешней задачи Неймана, потенциал ф можно искать в виде суммы 1 14. Кииеиатическая аадача о деижеиии твердого тела и жидкости $89' и уг, у„уа, ую ~р зависят от х, у, х — координат сопутствующей точкам тела системы.
Для определения каждого из однозначных потенциалов <р; имеем внешнюю задачу Неймана: Лор„= О всюду вне Х; в бесконечно удаленной точке (угад ~ре) = О и на границе Х твердого тела (см. условие (14.6)) лр1 — =и; ди (1=1, 2,3), (14.10) (!=1, 2, 3). (14. И) С помощью (14.9) условия на поверхности Х можно также записать следующим образом: Фг (14.12) Таким образом, вместо одной внешней задачи Неймана для определения потенциала ~р, в формулировку которой (в условие на поверхности тела) входило время Г, мы получили шесть внешних задач Неймана для определения шести потенциалов гр;, в формулировку каждой из которых время уже не входит.
Из линейности и единственности решения задачи Неймана непосредственно вытекает, что решение одной задачи об определении потенциала ~р для произвольных 0т, уа,..., гге эквивалентно регпению этих шести задач. Замечательно, что функциональная связь потенциалов гр„ ~рт, ~р„ ~рю ~р„ гре и координат х, у, з вскрепленной с телом системе координат определяется только геометрическими свойствами поверхности твердого тела и не зависитот кинематики движения. Следовательно, потенциалы ~Рг,~Р„ гРа,9И,~Р„ ~Ре длЯ тела заданной фоРмы могУт быть вычислены раз и навсегда. Потенциал ~р будет равняться ~рг, если бгг = 1, а Пг = О при 1 =- 2, 3,..., 6, т.
е. у, является потенциалом возмущенного движения жидкости в случае поступательного движения тела в направлении оси х с единичной скоростью; аналогично ~ра и уа представляют собой потенциалы возмущенного движения жидкости в тех случаях, когда тело движется поступательно с единичной скоростью в направлении осей у и т соответственно. Потенциалы ~ре, ~ре и гре являются потенциалами возмущенного движения в тех случаях, когда тело вращается с единичной Гл. Ч111, Гидромеханика угловой скоростью вокруг координатных осей х, у и г соответственно. Формула (14.8) устанавливает зависимость потенциала от времени.
Потенциал скоростей в подвижной системе координат зависит от времени 1 только через компоненты вектора скорости 17е и мгновенной угловой скорости Й твердого тела. Если тело симметричноотносительно плосСвойства потенциалов ~р,. ,еющнх ' кости ху, то нетрудно усмотреть, что для плоскость симметрии точек Р и Р', лежащих на поверхности тела и симметричных относительно плоскости ху, справедливы следующие соотношения (рис. 75): ( — ') =,— ') (1 = — 1, 2, 6), (14.13) — =.- —,' ~') (й = 3, 4, 5).
(14.14) , ди~г ( де,г Из соотношений (14.13), (14.14) вытекает, что на части плоскости Рис. 75. Схема поверхности Х, симметричной относительно плоскости кю ху, находящейся внутри жидкости, справедливы равенства — ' = — '= д ' — — О, срз = сра = ЧЪ =О. (14.15) В точках, симметричных относительно плоскости ху (см. т 12 этой главы), имеем ~р,. (~)) =- <р; (1."г') (ю' = 1, 2, 6), (14.16) ср„Я) = — срхЯ') (й = 3, 4, 5).
(14.17) Очевидно, что для тола вращения относительно осн х (рис. 76) потенциал <р, не зависит от угла О (6 — полярный угол в плоскости ух), и имеются только три различных потенциала: ~р, ср„~рь. В самом деле, вращение около оси х несущественно, $14. Квнематвчеовая задача о движения твердого тела в жидкости 191 поэтому <Р—.- 0; потенциалы <ре и <Ре в силу симметрии выражаются через потенциалы <ре и <ре по формулам <Ре (х, У, г) = <Р, (х, г, — Р), <Р„(х, У, г) = <Ре (х, г, — У). В цилиндрических координатах эти соотношения принимают вид и< я1 <р, (х, г, О) = <р, (х, г, Π— —:1, <ре (х, г, О) =.
<Ре 1х, г, Π— —,1, Рис. 16. Схема расположения осей координат в случае тела вращения. При поступательном движении с единичной скоростью в направлении, перпендикулярном к оси х, под углом д к оси у, имеем <Р(х,г,О) = — <Р,(х,г,Π— О) = созд<Ре(х,г,О) + + з1п0 р,(х, г, 0).
Отсюда получаем <ре(х, г, Π— О) =- соей,ре(х, г, О) + з!пйр, ~х, г, Π— — '",„) . Положим 9 = 0 и заменим угол д на — О; заметив еще, что <р, ~х, г, — з) = О, получим <Рв (х, г, О) = <ре (х~ г, О) сол О. <рв (х, г, О) = <ре (х, г, 0) з1п О. (14.18) Отсюда Аналогично легко получить формулы <Ре(х, г, О) = <Ре ~х, г, .
~зрпО, (14.19) <ре(х, г, О) — — — <р;(х, г, х) созО. здесь г — полярный радиус в плоскости уг. ОпРеделим тепеРь зависимость потенциалов <Ре и <Ре от угла О. Потенциалы <р, и <ре соответствуют поступательным движениям с единичными скоростями в направлении осей у и г.
192 Гл. Ъ'111. 1'идромехаиика Таким обрааом, для проиавольного движения тела вращения потенциал скоростей можно представить в форме ф =- ф> (х, г) 5>' + фе (х, г, О) (Уе сов 9 + бга з)п 9) ->- + фь (х, г, — ',, ~(11>з>пΠ— ь)'созО). (14.20) 9 15. Энергия, количество движения, момент количества движения жидкости при движении в нел твердого тела и основы теории присоединенных касс Выше было показано, что всякое потенциальное движение однородной несжимаемой ясидкости можно рассматривать как возникшее внеаапно из состояния покоя в результате удара, причем потенциал скоростей связан с импульсом давления формулой (15.1) Рг = — Рф 2Е р ~ф ф,й — р ~фгг Ы>.— ~р>(7„>И, (15.2) дф до л ! (д =- — ~р,>а с>> = >)ф ~(с = р ~ф — с>с, дФ> ди Г дФ Х = — ~ (т х р и) сЬ = р ~ ф (г хгс) <(о = р 1ф — Ыз, (15. 3) где и — единичный вектор нормали к Х, внешней по отношению к области Ю, занятой жидкостью, а г — радиус-вектор, >) В следующем параграфе покааако, чтоэтизеличииы играют такую же роль, как соотаетстзующие величины а динамике системы конечных тел.
где р — плотность жидкости (плотность р одинакова н постоянна для всех частиц жидкости). Задача Дирихле об определении однозначной гармонической функции — потенциала ф (х, у, г) по ее значениям на границе Х области, которой принадле>кит бесконечно удаленная точка, имеет единственное решение при ф = 0 в бесконечности. Кинетическую энергию Е, вектор колижеяия и момент количества чества движения Я и вектор момента движения бесконечной количества даик>ения ль бесконечной масмаееы яощкости сы жидкости определим через импульс давления р„подействовавший на жидкость на поверхности твердого тела, а следовательно, и через ф следующими формулами'): 1 15. Основы теории присоедииоииых масс 193 проведенный в переменную точку на х' из точки О, относительно которой вычисляется момент.
Векторы 9 и .Х равны суммарному импульсу и моменту импульса относительно точки О внешних сил, подействовавших на жидкость со стороны твердого тела, ограниченного поверхностью Х. Так как»>'„= »>о и +1».(> х г»), где»>'е — скорость подвил>ной точки О, скрепленной с твердым телом, из формул (15.2) и (15.3) с учетом (14.8) следует, что в 2Е = Д 77» Ф Х 1) = ~ч'', Х;»У'У», (15.4) а»=> причем для компонент О» (я = 1, 2, 3) и К»» ()» = 4, 5, 6) вер- ны формулы: в в О» = Х)»»~7' К» а = с!>)»»О> »=1 >=.1 где 1>о О>о'+ (7>з > (>»7о 11 77>1 + 77»у ( О»|о (15.4') )»» = Р ')>р» ав >(с %» (15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
