Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Точки Р и Р' являготся зеркальными изображениями друг друга относительно плоскости ь .= О (см. рис. 71). Из свой- ства симметрии (12.38) легко выводим (12.39) Задача об ударе плаваю щего тела ф(х,у, г)= — — ' о Свойства симметрии (12.38) и (12.39), доказанные выше только в области сходимости ряда (12.32), после аналитического продолжения функции ф будут выполняться во всей области л) определения гармонической функции ф, причем область Ю получится симметричной относительно плоскости ь =-- О. Внутри сферы радиуса сходимости ряда (12.32) на плоскости ~ =- О функция ф обращается в нуль.
Однако это не означает, что ф =- О во всех точках плоскости ь — — — О. Если возможно аналитическое продолжение функции ф, то при достаточно больших й, Ч на плоскости ь = О могут появиться части плоскости ~ = О, на которых ф чь О; при подходе к этой части плоскости ~ = О с разных сторон значения ф будут отличаться знаком. Область Ю может быть многолистной, на плоскости ~ =- О могут появиться особые точки и т. п. Пусть имеем твердое тело, плавающее на горизонтальной поверхности несжимаемой жидкости, занимающей все нижнее полупространство (рис. 71). Для простоты примем, что вначале жидкость и тело покоились. В результате внезапного приложения внешних импульсивных сил тело и жидкость начинают двигаться.
Двия'ение жидкости после удара будет потенциальным и потенциал этого движения сразу после удара будет равен 'г76 Гл. ЧШ. Гидронеханика где и р, =11ш)ряс х Зл о — импульс давления, подействовавший на жидкость в момент удара. Для определения гармонической функции ~р (х, у, г) в момент, следующий непосредственно после- удара, имеемусловия: на Рис. 7К К задаче об ударе тела, плавающего иа го- ризонтальной поверхности жидкости. свободной границе жидкости (на части плоскости лОу вне тела) ~р = 0; (12.40) на смоченной поверхности тела Х, импульс давлении р, отличен от нуля, но вообще неизвестен заранее. Однако, если движение тела, возникающее в результате удара, известно, то при отсутствии отрыва жидкости от тела, т.
е. при сохранении контакта тела с жидкостью, яа поверхности Х, имеем условие д<р бл — =у (12.41) где у„— известная составляющая скорости тела по направлению нормали к его поверхности. Примем еще, что в бесконечности жидкость покоится, и по- атому (игаб ~р) = 0 (12.42) Таким образом, определение потенциала <р (л, у, х) сводится к решению смешанной задачи, Гл. о Ш. Гкдромеханлка Из равенства (12.46) следует, что на плоскости ь = 0 внутри жидкости ф = О, а р а, ц, О) -,ь О.
(12.47) Очевидно, что в атом случае задача Неймана для внешней по отношению к симметричной поверхности Хо + Хо области с симметричными на Х, + Хо данными (12.48) зквивалентна следующей задаче Неймана: — ="г'„ка Хд и — = — „-=0 зне тела при ь=О. (12,49) ар т др др дл и дл д„" Эта задача соответствует задаче об определении движения жидкости, возникшего в результате удара тела, погруженного в жидкость, когда жидкость ограничена не свободной поверхностью, а горизонтальной неподвижной плоской непроницаемой стенкой. Основываясь на рассмотренных здесь свойствах зеркальной симметрии, ио- для полупростракства, ограккчелиого плоскостью строим функции Грина для задач Дирихле и Неймана в области Ю, представляющей собой верхнее или нижнее полупространство, ограниченное плоскостью г = О.
Легко видеть, что для точек л, у, г и хо, уо, г, при г ь 0 и го ) 0 функция Грина о(оь для задачи Дирихле в области г ) 0 представится формулой 1 Фо— У(* — ло)о-о-(Л вЂ” Ло)о+ (о — оор , (12,50) (л — ло)о+ (у — ро)о+ (о + го)г гм р гмр. так как функция ф, удовлетворяет условию (12Л9), а на границе Х (плоскости г = 0) орь = О. Из условия (12.19) ясно, что соответствующая функция Грина для нижнего полупространства г( 0 будет равняться орх = — о)о,, Очевидно, что функция Грина оро при г ) 0 и при г( 0 для задачи Неймана одна и та же, она представляется формулой ого= + (12. 51) г~ р гмр.
' так как при г = 0 выполняется краевое условие дд(л дФа О дл доо 1 12. Потеициальиме движевик несжимаемой жидкости 179 йотеипиал скоростей от системы оеобеииоетей в полупроетракетве в ) О, ограиичеииом плоскостью в =- О Рассмотрим задачу об отыскании потенциала скоростей движения несжимаемой жидкости в верхнем полупространстве, ограниченном плоской стенкой г = О, от системы заданных особенностей: источников, диполей и мультиполей. Для удовлетворения условия обтекания — =О прн к=О ар дк (12.52) достаточно наряду с течением от заданных особенностей в верхнем полупространстве ввести еще фиктивное течение в нижнем полупространстве.
Внизу под стенкой в зеркально симметричных точках следует поместить такую нсе систему особенностей. Очевидно, что суммарное течение будет удовлетворять краевому условию (12.52). Например, если искомое течение обусловлено источниками в точках Р„и днполями в точках ~',1;, то соответствующий потенциал течения несжнмемой нсидкости в точке М с координатами х, у, к представится формулой 1 г 1 1 с, г д 1 д 1 4к"-'"У" ~ г + г,) "-~~ г (дг г + ' г 4к Ь ~гМГ г,) (дг1 гыс дг', г,)' (12.53) гДЕ дь и тг — заДанные постоЯнные, а Р„и Рв, 1гг и1гг, сйд и Иад — зеркально симметричные точки и направления относительно плоскости г =.
О. Пусть дана сфера Я с центром в начале координат и радиусом А. Рассмотрим преобразование координат Преобравовавие инверсии отиоеительио сферы Л2 — где ге = к' + у'+ з'. (12.54) д2 Ч= — ь гь г.= —... у= — „, г= —... гте г'е= "- ( Ччч ' (12,55) Нетрудно усмотреть, что точке Р с координатами к, у, г и радиусом г внутри сферы соответствует точка Р' с координатами $, Ч, $ и радиусом г' = 11в/г вне сферы; точки Р и Р' лежат на одной прямой, проходящей через центр сферы. Легко проверить, что иа (12.54) следуют аналогичные обратные формулы: ао Гл. Ч!И.
Гндромеханмка гр, — — (х — хо) о + (У вЂ” Уо) о ~ (з — хо) = го — г„— 2г го г', = ($ — х,)'+ (ц — уо)'+ (~ — го)о = го + г" — 2г'.о о = йл Ил = г' -'- — — 2г — г' о ' го о' „о Очевидно, в том случае, когда точка М лежит на сфоре 8 (го =- Л), верно равенство го = — г' йм Р'м го рм' (12. 58) Симметричная относительно переменных х, у, х и х„уо, функция Л 1 (12,57) р'м гм у г~г +1+во"го 1 ллл— гр является гармонической внутри Я, имеет особенность типа 1~'грал вблизиточки Р, не имеет внутри Я других особенностей и обращается в силу (12.56) в нуль на сфере Я.
Следовательно, функция лр„определенная формулой (12.57), является функцией Грина для задачи Дирихле внутри сферы. Легко усмотреть, что функция Грина для задачи Дирихлс вне сферы представится формулой 1 г г, Нг, (12. 58) Таким образом получается полное решение внешней и внутренней аадач Дирихле для сферы с помощью формулы (12.21), в которой функции лр или лрл определены формулами (12.57) и (12.58).
Точки Р и Р' называются зеркально симметричными относительно сферы 8. На сфере Я имеем Р' = Р, так как в этом случае $ = х, т) = у и ~ =- х. Рассмотрим расстояния грм и гр и от ~оетр'льтллю фуякцкм Рн- симметричных относительно сферы я толля сферы чек Р (х, у, г) и Р ($, ц, ь) с радиусами- векторами г и г' относительно центра сферы, соответственно, до некоторой точки ЛХ (х„у,, зо) с радиусом-вектором ко внутри сферы: 1 13. Задача о лвнжевнн сферы 181 б 13. Задача о движении сферы в безграничном объеме итеазьной несжимаемой жидкости Рассмотрим задачу о движении абсолютно твердой сферы в безграничной массе несжимаемой идеальной жидкости, когда на жидкость не действуют внешние массовые силы.
Пусть сфера радиуса а движется поступательно относительно некоторой непоДвижной системы отсчета (х„Ум вг) со скоРостью Р (1) в неограниченном объеме идеальнои несжимаемой жидкости. Движение жидкости, вызванное движением сферы, относительно етой системы отсчета будем называть «абсолютным» движением. Изучать «абсолютное» даик<ение жидкости будем, пользуясь подвижной системой координат х, у, г, которая жестко скреплена со сферой и имеет начало в ее центре.
Воз»»ущенное движение жидкости будет потенциальным, если оно непрерывно и возникло из состояния покоя. Потенциал ~р в силу уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости должен удовлетворять уравнению Лапласа всюду вне сферы Постановка задача о движении сферы (13.1) и следующим добавочным условиям: в бесконечности жидкость покоится и, следовательно, (13. 2) (йгад ср) = О, — = т'соз (т', х) = Исоа О, ( >— дф ~ 8.), .— (13.
3) где через О обозначен переменный угол между г и х. Заметим, что с точки зрения условия обтекания случай движения сферы вдоль оси х се скоростью )' (1) является, в силу полной симметрии сферы, наиболее общим случаем движения сферы в идеальной жидкости. Таким образом, требуется решить простейшую частную задачу Неймана. на поверхности сферы Х должно выполняться условие непроницаемости и безотрывности течения жидкости, т. е. нормальная составляющая скорости го жидкости должна равняться нормальной составляющей скорости точек поверхности сферы У„. Если сфера двинется поступательно со скоростью Г вдоль оси х (так выбираем ось х), то условие обтекания запишется следующим образом: 182 Рл.
УП1. Гидромеханика Потенциал абсолютного даюкения ~р=А — ( — ~= — А — = — А —, д (4~ в сов0 (13.4) дв(г1 гв гв где А — некоторая постоянная. Так подобранная функция вр удовлетворяет вне сферы уравненшо Лапласа и в бесконечности стремится к нулю вместе со своимн производными, т. е. удовлетворяет граничному условию в бесконечности. Посмотрим, нельзя лн подбором постоянной А удовлетворить и граничному условию непроницаемости (13.3). На поверхности сферы, очевидно, будем иметь Подставляя зто значение в (13.3), получим ЗАсов 0 у 0 соз а" т. е. условие (13.3) будет удовлетворено, если положить А= —,,' . Таким образом, функция Уав в ав Усов 0 (13.5) фр = дает решение поставленной задачи о движении сферы в жидкости.
Линии тока построенного течения показаны на рис. 72. Если сфера движется поступательно со скоростью, направленной как угодно относительно осей координат, то для потенциала скоростей возмущенного движения жидкости будет верна формула ев ~р = — —., (У,х + У,у + Увг), (13.6) где через У„Кв, Ув обозначены компоненты скорости г' сферы на оси координат. Кслн скорость поступательного движения Решение поставленной аадачи единственно; его легко сконструировать с помощью рассмотренных выше частных решений уравнения Лапласа. Решение типа источника — 1/г, очевидно,для атой цели не годится, так оно не удовлетворяет условию непроницаемости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
