Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 33
Текст из файла (страница 33)
К задачам этого класса относятся рассмотренные в гл. УП т. 1 задачи о вытеснении газа поршнем, о распространении взрывных волн и многие другие важные практические задачи. Система уравнений в этом случае нелинейна. 9 12. Потенциальные движения несжимаемой жидкости. Свойства гармонических функций Осиовиые частные решеиия ураввеиии Лапласа ф= е 4кг ») С.
А. Ч з и л ы г и и, 0 газовых струях, Собр. сочиисиий, т. 11, Гост«хи»дат, 1948; отдельное издзиие, Гостзхиздат, 1949. Рассмотрим теперь потенциальные течения идеальной несжимаемой жидкости. Изучим некоторые основные решения уравнения Лапласа. Ранее (см. 9 3 гл. 11) было рассмотрено фундаментальное решение уравнения Лапласа г = )Г(х — хп)з+ (у — ус)' -~- (з — гс)з (12.1) Гл. УП1. Гидромохазика и установлен его физический смысл как течения от источника (при () ) 0) или стока (при () (0), расположенных в точке хо уо зо. Решения уравнения Лапласа в силу его линейности, очевидно, можно складывать, дифференцировать и получать таким путем новые частные решения уравнения Лапласа.
Например, частное решение уравнения Лапласа можно получить путем дифференцирования решения у = — 1/г по некоторому направлению г. Таким образом получаем решение 'Р Сэ д о 1 ' С(х — хо)т+(о — во)п+(о — оо)т Со'оо гв (12. 2) Лх о'о о'г где С = сопз1, х = —, ~) = —, Т = — — косинусы углов на=до = Ь =Ыо правления г с осями координат х, у, з соответственно, радиус-вектор, проведенный из точки х„уо, з„а ло — единичный вектор направления и. В частности, выбрав в качестве направления в ось х, получим следующее решение уравнения Лапласа: ( ) Сх хо Решение р = С вЂ” ( — имеет простой физический смысл. Оно получается в пределе из суммы течений от стока и источника с равными расходами ~/, расположенных на расстоянии Ло в направлении вдруг от друга, при условии, что Лг — ~0, а 1 ~/ -о.оо так что — (/ Ло стремится к конечной величине С.
4и Это течение называется течением от точечного диполл в лростралслове, С называется моментом диполя, а направление л — его осью, Точка хо, уо, го, где расположен диполь, является особой точкой, в пей, как легко проверить, скорость бесконечна.Жидкость, если С ) О, вытекает из этой точки по направлению в и втекает в ту же точку с противоположной стороны (рис. 67). Решение С вЂ” ( — ), уравнения Лапласа, как и решение Ч/4пг, д г11 зо (, ) играет важную роль при построении других, более общих решений уравнения Лапласа. При повторном многократном дифференцировании потенциала (12 1) по различным направлениям л» в„..., л„получаются новые решения уравнения Лапласа д д д Г1) (12,3) 1 12. Потенциальные двяжеввя несжимаемой жидкости 159 Соответствующие течения жидкости прн постоянных хе, уе, ге регулярны во всем пространстве х, у, г, кроме точки хе, у, г„; потенциалы (12.3) и их производные имеют повышенный порядок исчезания в бесконечности по сравнению с 1!г.
Б Точках =-х„у = уо я=ге (г = 0) является особой, в этой точке скорость жидкости обращается в бесконечность. Построенные таким способом течения называготся течениями от мультиполсй. Свойства течения от мультиполя определяются постоянной С„и направлениями дифференцирования вы л„...,в„, которые можно выбирать произвольным способом. Рве. 67. Течевле от длпслл. С помощью сложения реигений вида (12.3) можно построить сходящийся при всех г г, (где ге — некоторый подходящим образом выбранный радиус) ряд вида (12.4) о =1 содержащий значительный произвол. Соответствующий потенциал определяет регулярное течение жидкости вне сферы ра.
днуса го с центром в точке хе, уо, г,. Возьмем некоторый объем Уо вне области Потенциал объемного Я, занятой движущейся несжимаемой я.идкостыо и не совпадающей со всем бесконечным пространством. Пусть координаты хе, у„, г„соответствуют точкам объема Ке, Очевидно, что функция ор (хо уо г) определяемая интегралом 1 Я~ оо(хо, Уо, го)оохоооуок'о (12 5) ~=- —.л = ..Я, .(г ч.+ -.." го где Р(хо, уо, г„) — некоторая произвольная интегрируемая функция, является гармонической функцией в Ю.
В некоторых случаях при регпении гидродинамических задач можно исходить из формулы (12.5) и с помощью выбора функции находить нужный потенциал ор. Можно показать '), что, если г) См. 1 25 этой главы. Гл. УШ. Гвдрсмеханякв функция (г (х„ув, хв) непрерывная кусочно гладкая внутри )го то в объеме У„потенциал гр(х, у, г) удовлетворяет уравнению Пуассона Ь<р = 'г' (х, у, г). (12.6) (12,7) где д — некоторая произвольная интегрируемая функция точек поверхности Е.
Очевидно, потенциал (12.7), полученный с помощью распределения источников по поверхности Х, является гармонической функцией вне Х. Решение уравнения Лапласа, представляемое формулой л г (12.7), называется потенциалом простого слоя. я г Лпалогкчным путем можно Ж~,уигр (ху,м построить решение с помощью распределения по поверхности Х диполей, оси которых направлены по нормали гг к Х.
По- лучим Ряс. 88. Схема для построенвя потенциалов простого я двойного слоя. д г1' гг = $ р (М) — ( — ) с(5в. дяо ~. г (12.8) Здесь и (М) — некоторая интегрируемая функция точек поверхности Е. Функция ~р, определяемая формулой (12.8),— гармоническая функция вне Х. Потенциал (12.8) называется потенциалом двойного слоя. Во многих приложениях задачу об отыскании потенциала ~р (х, у, я) сводят к задаче об отыскании функций точек поверхности Х, входящих под знаки интегралов в формулах (12.7) или (12.8), т. е. к задаче об отыскании плотностей распределения источников д (М) или диполей и (М).
В этом случае неизвестные функции входят под знак интеграла, поэтому соответству- Внутри У, имеется распределение объемных источников с плотностью ч (х, у, я). Прп продолжении движения несгкимаемой жидкости в объем Ув получим, что в объеме Рв условие несжимаемости (Ит х =- 0) пе удовлетворяется. Пусть имеем некоторую поверхность Х, и двойного слоя Потенциалы простого замкнутую или незамкнутую, расположенную вне области движения жидкости Ю (рис. 68). Поверхность Х может в некоторых случаях совпадать со всей границей области,Т. или с некоторой ее частшо.
Рассмотрим интеграл 12. Потенциальные движения несжимаемой жидкости 161 ющие уравнения для определения этих функций получаются интегральными уравнениями. Рассмотрим несколько очень важных свойств гармонических функций. Пусть Я вЂ” некоторая замкнутая поверхность, расположенная в области 'О, внутри которой происходит регулярное потенциальное течение несжимаемой жидкости. Непосредственно из уравнения неразрывности видно, что всегда имеет место следующее равенство: Свойства гармоиичсских функций (12.9) где à — объем, ограниченный поверхностью Я, т. е.
поток несжимаелеой жидкости через любую замкнутую поверхность, расположенную в области д, равен нулю. Поверхность Я может совпадать с границей области Ю. Возьмем в качестве поверхности д сферу радиуса Й с центром в некоторой точке М. На основании формулы (12.9) можно написать "ар 3 дЛ ~~ Лс Аэ = 0 или Вс — ~р с(и = О, ал~ где йо — телесный угол, 1г — единичная сфера, концентрическая Я, значения подынтегральных функций берутся в точках д, соответствующих точкам 1с. Отсюда следует, что независимо от радиуса сферы Я ) арды = связь, т. е. 1зсраж = еум 4л.
(12.10) Последнее равенство (12.10) можно еще переписать в виде 1 сгм = — е~ег а5, (12.11) В л. и. Седов, ток 2 следовательно, значение гармонической функции в данной точке М равно среднему по поверхности любой сферы с центром в точке М. Это — важное свойство гармонических функций. Можно показать, что всякая функция, непрерывная вместе со своими вторыми производными и удовлетворяющая в области Я теореме о среднем, выраженной равенством (12 11), для сфер Я с:. Я с 1ег Гл.
Ч1!1, Гидроиехавика произвольными радиусами является гармонической функцией, т. е. удовлетворяет уравнени1о Лапласа. Пусть .'б — область, в которой функция р (х, у, г) гармонична; пользуясь свойством (12.11), легко показать, что функция не может достигать ни максимума, ни минимума внутри области Х. В самом деле, предположим противное. Пусть в некоторой точке М внутри Я потенциал ф достигает минимума, тогда во всех точках Л" сколь угодно малой окрестности точки М должно выполняться неравенство (12 12) но при наличии такого неравенства формула (12.11) не ьгоясет выполняться, следовательно, неравенство (12.12) длн всех точек Х в малой окрестности точки М недопустимо. Аналогичным образом получим, что внутри Ю нет точек максимумов функции ф.
Следовательно, максимальные и минимальные значения потенциала ф регулярного течения несжимаемой жидкости в области л достигаются только на границе области .'Г.. Это справедливо для всех гармонических функций, в частности, это свойство выполняется и для производных дф/дх, дф/ду, дф!дг, Рассмотрим теперь квадрат величины скорости при потенциальном движении несжимаемой жидкости: "=(' —:.)'+('— ',)е к( г)г Величина скорости и квадрат величины скорости не являются гармоническими функциями, тем не менее максимальное значение величины скорости при потенциальном двилсении несжимаемой жидкости достигается на границе регулярного потока жидкости.
Докажем это. Предположим противное: пусть в некоторой точке М внутри Х величина скорости достигает максимума. Тогда ом "ь вк, гдедг — любая точка в достаточно малой окрестности точки М. Направим ось х параллельно скорости в точке М, тогда будем иметь ( — ) =и >О, ( — ) =О, ( — ) — О. Так как гармоническая функция дф!дх в точке М не может иметь максимума, то в любой малой окрестности точки М найдется такая точка АГ, в которой (дг)м (дг)м ' 1 12. Потенциальные движеипя иесжииаемей жидкости 163 Но при наличии этого неравенства подавно должно выполняться неравенство т. е. внутри потока невозможна реализация максимума скорости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
