Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 35
Текст из файла (страница 35)
поверхности Х. Поверхность Х~ может совпадать с поверхностью Х, так как по (12.9) ~ сЬ вЂ” ~д гЬ=-О, если между Х» и Е функция сс регулярна. Знак минус у второго интеграла связан с тем, что нормаль на Х взята внутренней к К. Очевидно, что величина М равняется расходу жидкости через поверхность Х, т. е. М= ~гсг1з= где г1К/г)1 — изменение объема внутри Х, которое может быть вообще отличным от нуля. Расход М .== О, если Х состоит из поверхностей твердых тел, движущихся внутри жидкости. Величина М будет конечной и отличной от нуля, если мы будем рассматривать, например, задачу о расширении сферы в несжимаемой жидкости, Обратимся теперь к доказательству справедливости разложения (12.24).
Пусть Х„ — сфера с центром в начале координат радиуса В„охватывающая поверхности Х, и Хг — сфера с центром в точке х, у, з, весьма большого радиуса Л„содержащая сферу Е внутри себя (рис. 70). Потенциал се (х, у, з) является гармонической функцией внутри объема, ограниченного сферами Хг и Хг, и поэтому согласно 12. Потенциальные движения несжимаемой жидкости 169 (8.23) можно написать 1 з, (12.25) Устремляя радиус 77з к бесконечности, определим предельные значения интегралов, взятых по сфере Хз. Так как — Ы = М, то Пт — — ~ сй = О. (12.26) ~ д~р .
1 ~ д~р Для элемента сферы Х з имеем Йт — Л',Ы ю, где в — телесный угол, поэтому первое ра- з венство нз (12.26) дает откуда М ~р Ыи = — — + йяС Лз и, следовательно, 1'т ') <р —,' =- йпС, (12,27) и. зз Ц где С вЂ” постоянная Рис. 70. Схема к доказательству разинтегрирования по 17 . ложения (12.24). Покажем теперь, что величина С не зависит от координат х, у, з центр» сферы Хз. В самом деле, возьмем сферу Х, радиуса Л, =- Лз сцентром в точке с координатами х + Ьх, у, з. Для этой сферы будем иметь срйм = — —, -х чпС'.
йг Я Можно написать, что ~ р'(р+ аз, ч, д — р (р, ч, д „с — с Лз Ьз 17О Гл. УП1. Гкдромехаквка где $, т1, ь — координаты точек на сфере Ха. В пределе при Лх — э О получим — — — ° — Нгв = 4я —. др ОС , дЗ Оа' По условию (12.17) имеем, что производная дгр/да исчезает при /(х — г- а, следовательно, дС/дх = О. Аналогичным образом можно показать, что дс/ду = дС/дг = О, откуда вытекает, что С есть не зависящая от координат х, у, е, постоянная.
Из формулы (12.25) на основании (12.26) и (12.27) получим 1 — — — ~~/ г, С. а2.28) Эта формула представляет собой обоби/ение формулы (12.23) на случай внегиней задачи. Очевидно, что после замены производной д/дЛх через производную д/дп поверхность интегрирования (сфору Х,) в формуле (12.28) можно заменить любой другой замкнутой поверхностью, охватывающей все внутренние границы области Ю. В окрестности всякой внутренней точки области 3' с конечными координатами х', у', г' функции 1/ги д (1/г)/дп разлагаются в ряды Тейлора по х — х', у — у', — з', сходящиеся обсолютно н равномерно внутри некоторой сферы, в которой г + О. Отсюда следует, что вблизи точки х', у', з', в которой потенциал гр регулярен, потенциал гр (х, у, г) представляется сходящимся степенным рядом по х — х', у — у', г — з'. Следовательно, гармонические функции в точках регулярности х', у', з' являются аналитическими функциями, имеющими производные любых порядков.
С помощью рис. 70 легко усмотреть, что 1 1 = /(а — Л,), УЬ*+ (а — Я,) причем / (а) = 1//7. Функция 1 /(а — Л1) =- — „ является регулярной всюду, где г+ О. Считая, что точка х, у, х, в которой определяется потенциал гр, расположена достаточно далеко от сферы Х„разложим функцию / (а — Я,) в ряд Тейлора по Ях 1 1 д /11 1 да/11 / (а — Нх) — = — — — ~ — ~ геа + — — — ~ На —... г В да1Л/ 21 даа ~ й / (12.29) 12. Потенциальные движения несжимаемой жадности з71 Производная по направлению а, очевидно, равна д д д д — = -+~ — +т— да дх ду дз ' где сс, р, у — направляющие косинусы вектора хьд, соединяющего начало координат с переменной точкой1 $, Ч, ~,лежащей на сфере Х .
Для первой производной будем иметь ох+ до+ "(3 яз(х, о, 3) Лз Лз где яз — однородный колином от х, у, г первой стспенк. Исполь- зуя метод математической индукции, легко показать, что (ззз) яв и (х' (а) = где я„+з — однородный колином от х, у, степени и + 1 с коэффициентами, зависящими от $, з), Ь, если верно, что (1) я„(х, у, з) Лзв 1 где я„— однородный колином х, у, г степени п с коэффициентами, зависящими от $, Ч, ь. Таким образом, разложение (12.20) можно записать в виде ( 1 ох+ йу+ тз Л яз (х, у, х) (зз оз ( 1)"""'х " 'И + (12.30) Каждый из членов этого ряда является гармонической функцией и представляет собой течение от источника, диполя и мульти- полей более высокого порядка, расположеннык в начале координат О. Этот ряд сходится равномерно, и его можно почленно дифференцировать и интегрировать. Подставляя разложение (12.30) для 1/г в формулу (12.28) для потенциала ф, получим разложение (12.24).
Гармоничность каждого члена в разложении (12.24) непосредственно очевидна из вывода. 172 Рл. ЧП1. Ридромвхаввка Гармоничность однородных полиномов У„(х, у, г) в (12.24) вытекает из равенства х ~,Уч (х, Ю х)') Л.У„ (х, Л, г) /(Х ' 1 ! )(~ччт которое получается в результате дифференцирования.
лч(х, Л, х) Однородные гармонические функции,„,, получающиеся при дифференцировании 1/Л и путем их суммирования, ;/'„(х, у, )/Л"", называются сферическими функциями. Таким образом, любая гармоническая функция, удовлетворяющая условию (12.17), может быть разложена в ряд по сферическим функциям .'Р„(х, у, г)/Л"' вне сферы Хы Несущественную для определения поля НоРЯдек Убывая"Я потек- скоростей аддитнвную постоянную, вхоцкала а еекопе ности. дящую в разложение (12.24) для по- неограниченного объема тенциала <р, можно определить из условия жидкости при скорости, ~р = О. Тогда С = О, и ясно, что потенРаа"ой "У""' а бее"о циал ~р в случае течения жидкости, вызванного движением в ней твердого тела (т.
е. при. М =- 0), будет стремиться в бесконечности к нулю по крайней мере как 1/Л', а решение внешней задачи Неймана в случае М+ 0 — по крайней мере как 1/Л. Для кинетической знергии Е некоторого объема )х идеальной несжимаемой жидкости, ограниченного поверхностью Ь', имеется формула (12.16). Рассмотрим случай, когда объем Р не ограничен, а на бесконечности выполняется условие (12.17). Тогда для потенциала ~Р в окрестности бесконечно удаленной точки будет справедливо разложенио (12.24). Возьмем поверхность Ь', состоящую из Х вЂ” поверхности тел, находящихся в ясидкости и охватывающей их поверхности Х„которую потом устремим в бесконечность, тогда Е = —, ~ф — (Й + —. ) ф — ~й.
р Г д~р . р Г дср 2 д др 2 ) дл в Первый интеграл будет конечной величиной, если мы будем рассматривать такие течения, для которых на поверхности тел Х проиаведение ~р (др/дп) интегрируемо. Второй интеграл по Х, в силу разложения (12.24) при М = 0 или при С = О будет стремиться к О при Х, -ч- сэ, так как подынтегральное выражение будет убывать при атом по крайней мере как 1/Лз.
Для кинети 1 12. Потенциальные движения несжимаемой жидкости 123 ческой энергии Е неограниченной массы жидкости при этом будем иметь ') Р = —. ')(лгал ч") Ит = —,, ~у — ~й. (12.31) р в Таким образом, кинетическая энергия неограниченного объема несжимаемой жидкости конечна, если в этом объеме происходит регулярное потенциальное течение и скорость течения в бесконечности равна нулю. Из существования конечной кинетичеЕдикствеккость внешних ской энергии следует, что приведенные выше доказательства о единственности однозначных решений внутренних аадач Дирнхле, Неймана и смошанпой при наличии условия (12.17) автоматически распространяются на случай вношних задач.
Заметим, что если граничная поверхность Х простирается до бесконечности, то проведенное выше рассуждение о поведении гармонических функций в бесконечности недействительно. В этих случаях требуется отдельное специальное аналогичное исследование, в частности, зто необходимо для плоских задач, в которых поверхности Х вЂ” бесконечные цилиндры.
Однако и в этом случае требование об исчезновении скорости при удалении от внутренних границ области в бесконечность и требование об однозначности потенциала гарантируют единственность решения рассматриваемых основных краевых задач. Пусть гармоническая функция ~р (х, у, г), Условия зеркальной регулярная вблизи точки х', у', г', на сколь угодно малом элементе плоскости якческкх функций г = з', проходящем через точку х', у, г', обращается в нуль.
Очевидно, что все частные производные от ~р, содержащие дифференцирование только по х и у, обращаются в нуль в точке х', у', г'. Полагая х — х' = $, у — у' = т) и г — г' =- ь, в силу доказанной выше разложимости функции ~р Я, т), з) в ряд Тейлора получим, что вблизи то~ки $ = — т) = ь = О потенциал ~р ($, т), $) разлагается в ряд следующего вида: ~р = ~ ~У„Я, т), ~с)+ ~',~',Я„(~, т), ~'), (12.32) о=О ь=т ') Если С ча О и М + О, то справа а (12.31) появится добавочный член СМ р —. Напомним, что если объем, ограниченный поверхностью Х, 2 постоянный, то М =- О. Так как потенциал о определен с точностью до аддктивной функции / (1), то всегда можно принимать, что С = О. 174 Рл.
УШ. Гядромехаввка где У„и ж„— однородные полиномы степени' п по $, ц, ~. В первом члене (12.32) сгруппированы все члены ряда Тейлора с нечетными степенями ~, во втором — с четными степенями ~. Покажем теперь, что в нашем случае из свойства гармоничности функции следует, что все 6„= О. Путем дифференцирования легко проверить, что после применения оператора Лапласа к однородному полиному по З, т), Ь опять получается однородный полипом,причем степень этого полинома будет на две единицы меньше степени исходного.
Таким образом, й(1У„) = 1Я„,($, ть Г) (1г.зз) и й(~'6).) = ~ Я.-2Я ть ~')+ 20 (з, ть ~'), (12 34) где Я„, и Я„-з — однородные полиномы по 5, д, ь степени и — 2. Так как для любых и степени однородных полиномов (12.33) нечетные, а степени полиномов (12.34) четные и так как однородные полиномы по З, из ~ с различными показателями однородности линейно независимы, то правые части в (12.33) и (12.34) в силу гармоничности функции ~р должны обращаться в нуль тождественно.
Отсюда слодует, что полиномы ~%„(~ь, Ч, ~') должны быть регулярными гармоническими функциями во всем пространстве, но это невозможно, так как они не удовлетворяют теореме о среднеи в точках плоскости ь = О. В самом деле, пусть ь%„($, Ч, ь') = ьз"ж„' ($, ц, ь'), где й'„' ($, Ч, О) отлично от нуля при некоторых $, ц„не равных нулю, причем целое число р -- 1. По теоремео среднем должно иметь место точное равенство: О = ~ ~'"~~ „($, Л, ~') (Ь, (12.35) где Я вЂ” сфера любого радиуса с центром в фиксированной точке $г М- О, пи + О на плоскости ~ = О, принадлежащей области, где ~р = О. Для достаточно малого радиуса з ) О сферы Я имеем 1'"й„(~, д, 1з) = ~'"Ю„ф„ц„О) (1+ 0(~)), (12.36) где 0 (з) — величина, стремящаяся к нулю вместе с з.
После подстановки (12.36) в (12.35) получим, что интеграл в (12.35) отличен от нуля при достаточно малых е, не равных нулю. Отсюда следует справедливость утверждения о том, что й „= О для любых п. Другое доказательство обращения в нуль Й„для любых и можно получить непосредственно из (12.34) после приравнивания правой части этого выраясения нулю. 1 12. Потеициаяьиме движения несжимаемой жидкости 175 Равенство (12.32) приобретает следующий вид: ф=Ьм($,Ч,Г), (12.37) где ее д, Ч, ьв) — некоторая аналитическая функция своих аргументов. Из этой формулы, полученной из предположения, что ф обращается в нуль па некоторой сколь угодно малой площади в плоскости ь = О, непосредственно вытекает следующее свойство симметрии для потенциала ф (й, Ч, ~); ф (з, Ч, ь) = — ф (ь Ч вЂ” ь) нли ф (Р) = — ф (Р'), (12.38) где Р и Р' — точки, симметричные относительно плоскости ~ = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
